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文檔簡介
2023屆青海省大通回族土族自治縣第一中學第一次教學質(zhì)量檢測試題數(shù)學試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則()A. B.C. D.2.已知定義在R上的函數(shù)(m為實數(shù))為偶函數(shù),記,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.5.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當時,,則()A. B. C. D.6.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A. B.1 C. D.8.已知函數(shù)滿足,當時,,則()A.或 B.或C.或 D.或9.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知拋物線上一點的縱坐標為4,則點到拋物線焦點的距離為()A.2 B.3 C.4 D.511.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點,,使得,且的中點在軸上,則正實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知雙曲線的一個焦點為,點是的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點,以為直徑的圓過且交的左支于兩點,若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在區(qū)間上的值域為______.14.若點在直線上,則的值等于______________.15.三個小朋友之間送禮物,約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同),則三人都收到禮物的概率為______.16.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.18.(12分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).19.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)判斷函數(shù)的零點個數(shù).20.(12分)為了解本學期學生參加公益勞動的情況,某校從初高中學生中抽取100名學生,收集了他們參加公益勞動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的概率:(2)從參加公益勞動時間的學生中抽取3人進行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當時,高中生和初中生相比,那學段學生平均參加公益勞動時間較長.(直接寫出結(jié)果)21.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.22.(10分)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大??;(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合,∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時,常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.2.B【解析】
根據(jù)f(x)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解:∵f(x)為偶函數(shù);∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故選B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0,+∞)上,根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大?。?.B【解析】
由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調(diào)遞增,因為,是銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.4.A【解析】
根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
由題設(shè)條件,可得函數(shù)的周期是,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當時,,所以,.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查交集的計算,同時也考查了一元二次不等式的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積.故選.8.C【解析】
簡單判斷可知函數(shù)關(guān)于對稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計算,結(jié)合對稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關(guān)于對稱當時,,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗分析能力,屬中檔題.9.A【解析】
函數(shù)的零點就是方程的解,設(shè),方程可化為,即或,求出的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍.【詳解】由題意得有四個大于的不等實根,記,則上述方程轉(zhuǎn)化為,即,所以或.因為,當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因為,所以有兩個符合條件的實數(shù)解,故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點,需且.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點.考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解,方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),本題考查了學生分析問題解決問題的能力.10.D【解析】試題分析:拋物線焦點在軸上,開口向上,所以焦點坐標為,準線方程為,因為點A的縱坐標為4,所以點A到拋物線準線的距離為,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點:本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離,考查學生的運算求解能力.點評:拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到,可以簡化運算.11.D【解析】
根據(jù)中點在軸上,設(shè)出兩點的坐標,,().對分成三類,利用則,列方程,化簡后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點的橫坐標互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因為,所以函數(shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域為,故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運算能力,屬于較難的題目.12.B【解析】
由雙曲線的對稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線的對稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由二倍角公式降冪,再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域.【詳解】,,則,.故答案為:.【點睛】本題考查三角恒等變換(二倍角公式、兩角和的正弦公式),考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.14.【解析】
根據(jù)題意可得,再由,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,得,又,解得,當時,則,此時;當時,則,此時,綜上,.故答案為:.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù).由此能求出三人都收到禮物的概率.【詳解】三個小朋友之間準備送禮物,約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同),基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù).則三人都收到禮物的概率.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.5.【解析】
由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當直線經(jīng)過點時,取最大值5.故答案為:5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復(fù)合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.由已知,有的最小正周期.(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),,,∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.考點:1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式;2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.18.(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)新定義,的定義域和值域都是,且在上單調(diào),建立方程求解;(2)依據(jù)新定義,討論的單調(diào)性,列出方程求解即可?!驹斀狻浚?)當時,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知,在區(qū)間上是增函數(shù),即有,解得;同理,當時,有,解得,綜上,。(2)若在上是閉函數(shù),則在上是單調(diào)函數(shù),①當在上是單調(diào)增函數(shù),則,解得,檢驗符合;②當在上是單調(diào)減函數(shù),則,解得,在上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。【點睛】本題主要考查學生的應(yīng)用意識,利用所學知識分析解決新定義問題。19.(1)(2)答案見解析(3)答案見解析【解析】
(1)設(shè)曲線在點,處的切線的斜率為,可求得,,利用直線的點斜式方程即可求得答案;(2)由(Ⅰ)知,,分時,,三類討論,即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為;(3)分與兩類討論,即可判斷函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】(1),,設(shè)曲線在點,處的切線的斜率為,則,又,曲線在點,處的切線方程為:,即;(2)由(1)知,,故當時,,所以在上單調(diào)遞增;當時,,;,,;的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;當時,同理可得的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;綜上所述,時,單調(diào)遞增為,無遞減區(qū)間;當時,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;當時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;(3)當時,恒成立,所以無零點;當時,由,得:,只有一個零點.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想與推理、運算能力,屬于中檔題.20.(1)(2)詳見解析(3)初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】
(1)由圖表直接利用隨機事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,則分布列可求;(3)由圖表直接判斷結(jié)果.【詳解】(1)100名學生中共有男生48名,其中共有20人參加公益勞動時間在,設(shè)男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為,那么;(2)的所有可能取值為0,1,2,3.∴;;;.∴隨機變量的分布列為:(3)由圖表可知,初中生平均參加公益勞動時間較長.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查超幾何分布的分布列的計算,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點,則就是的極大值點也是最大值點,計算的值并利用進行化簡,從而確定.【詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當時,.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存
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