（寒假）人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)寒假精講精練02 平行線及其判定+隨堂檢測(cè)（原卷版）

第頁(yè)02平行線及其判定知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一平行線及其表示方法●平行線定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．記作：a∥b；讀作：直線a平行于直線b．◆1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行.【注意】①前提是在同一平面內(nèi)；②同一平面內(nèi)不重合的兩條線段或射線，可能相交，可能平行．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二平行線的畫(huà)法◆過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動(dòng)三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過(guò)已知點(diǎn)；四“畫(huà)”沿三角尺過(guò)已知點(diǎn)的邊畫(huà)直線．【注意】1．經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)不能作已知直線的平行線．2．畫(huà)線段或射線的平行線是指畫(huà)它們所在直線的平行線．3．借助三角尺畫(huà)平行線時(shí)，必須保持緊靠，否則畫(huà)出的直線不平行.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三平行公理及其推論●1、平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.●2、推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說(shuō)：如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.幾何語(yǔ)言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】平行公理的推論中，三條直線可以不在同一個(gè)平面內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四平行線的判定方法◆1、平行線的判定：判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行．幾何語(yǔ)言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．幾何語(yǔ)言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．幾何語(yǔ)言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．◆2、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線垂直.幾何語(yǔ)言表示：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三條直線在“同一平面內(nèi)”是前提，沒(méi)有這個(gè)條件結(jié)論不一定成立.題型一平行線的定義與識(shí)別題型一平行線的定義與識(shí)別【例題1】下列說(shuō)法正確的是（）A．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么它們互相垂直 B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相垂直 C．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相平行 D．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，那么它們互相平行解題技巧提煉解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握平行線的概念，牢記平行線的三個(gè)條件：①在同一平面內(nèi)；②不相交；③都是直線，通過(guò)與定義進(jìn)行對(duì)比來(lái)進(jìn)行判斷.【變式1-1】如圖所示，能相交的是，平行的是．（填序號(hào)）【變式1-2】觀察如圖所示的長(zhǎng)方體，與棱AB平行的棱有幾條（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-3】在同一平面內(nèi)，直線l1與l2滿足下列關(guān)系，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系：（1）若l1與l2沒(méi)有公共點(diǎn)，則l1和l2；（2）若l1與l2只有一個(gè)公共點(diǎn)，則l1和l2；（3）若l1與l2有兩個(gè)公共點(diǎn)，則l1和l2．【變式1-4】在同一平面內(nèi)，直線a，b相交于P，若a∥c，則b與c的位置關(guān)系是．題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系【例題2】若a、b、c是同一平面內(nèi)三條不重合的直線，則它們的交點(diǎn)可以有（）A．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) B．0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) C．1個(gè)或2個(gè) D．以上都不對(duì)解題技巧提煉用分類(lèi)討論的思想根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系去討論求解.【變式2-1】在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能是（）A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交【變式2-2】在同一平面內(nèi)有三條直線，如果使其中有且只有兩條直線平行，那么這三條直線有且只有個(gè)交點(diǎn)．【變式2-3】平面內(nèi)四條直線共有三個(gè)交點(diǎn)，則這四條直線中最多有條平行線．【變式2-4】平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)．題型三作已知直線的平行線題型三作已知直線的平行線【例題3】如圖，直線a，點(diǎn)B，點(diǎn)C．（1）過(guò)點(diǎn)B畫(huà)直線a的平行線，能畫(huà)幾條？（2）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線a的平行線，它與過(guò)點(diǎn)B的平行線平行嗎？解題技巧提煉利用直尺和三角尺過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線，是幾何畫(huà)圖的基本技能之一.注意“移”時(shí)經(jīng)過(guò)的邊是三角尺落在已知直線上的那一邊，而不是任意一邊.【變式3-1】如圖中完成下列各題．（1）用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫(huà)出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過(guò)C點(diǎn)畫(huà)直線垂直于CD．（2）用符號(hào)表示上面①、②中的平行、垂直關(guān)系．【變式3-2】如圖，已知直線a和直線a外一點(diǎn)A．（1）完成下列畫(huà)圖：過(guò)點(diǎn)A畫(huà)AB⊥a，垂足為點(diǎn)B，畫(huà)AC∥a；（2）過(guò)點(diǎn)A你能畫(huà)幾條直線和a垂直？為什么？過(guò)點(diǎn)A你能畫(huà)幾條直線和a平行？為什么？（3）說(shuō)出直線AC與直線AB的位置關(guān)系．【變式3-3】作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：（1）過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線；（2）過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點(diǎn)D；（3）過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線．【變式3-4】如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P．（1）過(guò)P畫(huà)l1∥OA；（2）過(guò)P畫(huà)l2∥OB；（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？題型四對(duì)平行公及其推論的理解和應(yīng)用題型四對(duì)平行公及其推論的理解和應(yīng)用【例題4】下列推理正確的是（）A．因?yàn)閍∥d，b∥c，所以c∥d B．因?yàn)閍∥c，b∥d，所以c∥d C．因?yàn)閍∥b，a∥c，所以b∥c D．因?yàn)閍∥b，d∥c，所以a∥c解題技巧提煉在判定兩條直線平行時(shí)，一定要理解它們成立的條件，特別是關(guān)鍵字詞及其重要特征.【變式4-1】如圖，過(guò)C點(diǎn)作線段AB的平行線，說(shuō)法正確的是（）A．不能作 B．只能作一條 C．能作兩條 D．能作無(wú)數(shù)條【變式4-2】下列語(yǔ)句正確的有（）個(gè)①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行③過(guò)兩條直線a，b外一點(diǎn)P，畫(huà)直線c，使c∥a，且c∥b④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【變式4-3】如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點(diǎn)O、M、N三點(diǎn)共線的理由是．【變式4-4】若P，Q是直線AB外不重合的兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．直線PQ可能與直線AB垂直 B．直線PQ可能與直線AB平行 C．過(guò)點(diǎn)P的直線一定與直線AB相交 D．過(guò)點(diǎn)Q只能畫(huà)出一條直線與直線AB平行【變式4-5】如圖所示，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折三次，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無(wú)法確定題型五探究?jī)芍本€平行的條件題型五探究?jī)芍本€平行的條件【例題5】如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3解題技巧提煉綜合圖形特征和已知條件，看添加什么條件最好，就添加什么條件.有時(shí)答案是不唯一的.【變式5-1】下列圖形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（）A．B． C．D．【變式5-2】如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1＝50°，則當(dāng)∠2＝時(shí)，a∥b．【變式5-3】如圖，下列條件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-4】如圖，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的條件有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【變式5-5】如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【變式5-6】以下四種沿AB折疊的方法中，由相應(yīng)條件不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A．展開(kāi)后測(cè)得∠1＝∠2 B．展開(kāi)后測(cè)得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．測(cè)得∠1＝∠2 D．測(cè)得∠1＝∠2【變式5-7】取一副三角尺按如圖所示的方式拼接，固定三角尺ADC，將三角尺ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角得到三角形AB′C′，示意圖如圖所示．（1）當(dāng)為多少度時(shí)，能使圖2中的AB′∥CD？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)α分別為多少度時(shí)，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必說(shuō)明理由）題型六利用兩直線平行的條件解決實(shí)際問(wèn)題題型六利用兩直線平行的條件解決實(shí)際問(wèn)題【例題6】光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵?，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說(shuō)明理由．解題技巧提煉題中會(huì)給出一個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題，要讀懂題意，結(jié)合圖形構(gòu)造平行線模型，選擇相應(yīng)的判定定理求解.【變式6-1】木工師傅用圖中的角尺畫(huà)平行線，他依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【變式6-2】如圖，是一個(gè)防盜窗欞的示意圖，如果測(cè)得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否斷定AB∥CD，已知條件夠不夠？如不夠，需要再補(bǔ)充一個(gè)什么條件？【變式6-3】學(xué)習(xí)平行線后，張明想出了過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線的新方法，他是通過(guò)折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開(kāi)后折痕CD所在的直線即為過(guò)點(diǎn)P與已知直線a平行的直線．由操作過(guò)程可知張明畫(huà)平行線的依據(jù)有（）①同位角相等，兩直線平行；②兩直線平行，同位角相等；③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【變式6-4】如圖所示，一束光線在兩面垂直的玻璃墻內(nèi)進(jìn)行傳播，路徑為A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直線AB與CD是否平行？為什么？【變式6-5】你知道潛水艇嗎？它在軍事上的作用可大呢．潛水艇下潛后，艇內(nèi)人員以用潛望鏡來(lái)觀察水面上的情況，如圖①．其實(shí)它的原理非常簡(jiǎn)單，（如圖②，潛望鏡中的兩個(gè)平面鏡與水平方向的夾角都為45°，光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解釋為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行嗎？

題型七通過(guò)閱讀推理過(guò)程填空題型七通過(guò)閱讀推理過(guò)程填空【例題7】如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？抄寫(xiě)下面的解答過(guò)程，并填空或填寫(xiě)理由．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）∴∠1＝∠2（）；∴AC∥BD（）；又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），∴（垂直的定義）；∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（）；即∠＝∠；∴∥（同位角相等，兩直線平行）．解題技巧提煉題中會(huì)給出一個(gè)平行線判定問(wèn)題的求解過(guò)程，要求填寫(xiě)理由，此時(shí)要認(rèn)真分析題意，然后聯(lián)系上下文求.【變式7-1】在橫線上填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，完成下面的證明．已知，直線a，b，c，d的位置如圖所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求證：c∥d．證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴＝∠3（），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（），∴c∥d（）．【變式7-2】如圖AF與BD相交于點(diǎn)C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求證：AB∥CE．請(qǐng)完成下列推理過(guò)程：證明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD＝（）．∵∠ACB＝∠FCD（），∴∠ECD＝∠ACB（）∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠（）．∴AB∥CE（）．【變式7-3】請(qǐng)你將下面的證明補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)推理依據(jù)．如圖，點(diǎn)M在直線AB上，MP⊥直線CD，垂足為P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求證：AB∥CD．證明：∵M(jìn)P平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（）∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+＝+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵M(jìn)P⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（）．∴AB∥CD（）【變式7-4】完成下面的證明：已知：如圖．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【變式7-5】按邏輯填寫(xiě)步驟和理由，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等）∠BFG＝∠2（）∴∠ABF＝（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12（∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12（∴∠EBF＝，∴BE∥CF（）．題型八靈活運(yùn)用判定方法說(shuō)明兩直線平行題型八靈活運(yùn)用判定方法說(shuō)明兩直線平行【例題8】如圖，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，且∠2＝∠3，求證：BC∥AD．解題技巧提煉由兩角相等或互補(bǔ)關(guān)系，判定兩條直線平行，其關(guān)鍵是找出兩個(gè)角是哪兩條直線被第三條直線所截而成的角.2、選用兩角相等，還是選用互補(bǔ)關(guān)系說(shuō)明兩條直線平行，應(yīng)根據(jù)所給的圖形，靈活運(yùn)用其中一種方法說(shuō)明即可.【變式8-1】已知：如圖∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求證：AB∥CD．【變式8-2】如圖，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求證：BE∥DF．【變式8-3】如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請(qǐng)說(shuō)明AE∥GF的理由．【變式8-4】如圖，已知點(diǎn)E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．（1）求證：AE⊥CE；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求證：AB∥CD．【變式8-5】將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起（如圖），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝112°，求∠ACE的度數(shù)；（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若三角板ABC保持不動(dòng)，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)三角板DCE，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，試探究∠BCD等于多少度時(shí)，CD∥AB？請(qǐng)你直接寫(xiě)出答案．平行線的判定隨堂檢測(cè)1.下列說(shuō)法中，正確的是（）A．有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角 B．不相交的兩條直線叫做平行線 C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等2.如圖是小明學(xué)習(xí)“探索直線平行的條件”時(shí)用到的學(xué)具，經(jīng)測(cè)量∠2＝105°，要使木條a與b平行，則∠1的度數(shù)應(yīng)為（）A．45° B．75° C．105° D．135°3.如圖，∠1＝∠2，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠3＝∠4 B．AD∥BC C．AB＝CD D．AB∥CD4.如圖，現(xiàn)給出下列條件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°．其中能夠得到AB∥CD的條件有（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④5.如圖，已知∠F+∠FGD＝80°