(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)寒假講義08 勾股定理 本章知識(shí)綜合運(yùn)用+隨堂檢測(cè)（原卷版）

第頁(yè)08勾股定理本章知識(shí)綜合運(yùn)用兩個(gè)概念兩個(gè)概念●●1、互逆命題：如果兩個(gè)命題題設(shè)、結(jié)論正好相反.那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.

如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.●●2、互逆定理：一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理.兩個(gè)定理兩個(gè)定理●●1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.應(yīng)用勾股定理可以解決下面的問(wèn)題：（1）已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)；（2）已知直角三角形的一邊，求兩邊的關(guān)系；（3）解決勾股定理構(gòu)造方程，解決實(shí)際問(wèn)題.●●2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.我們把這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.應(yīng)用勾股定理逆定理可以解決下面的問(wèn)題：（1）判斷三角形的形狀；（2）證明線段的位置關(guān)系；（3）證明線段之間的數(shù)量關(guān)系.兩個(gè)應(yīng)用兩個(gè)應(yīng)用●●1、勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理可以解決和直角三角形有關(guān)的計(jì)算和證明問(wèn)題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實(shí)際問(wèn)題.常見(jiàn)的應(yīng)用類型為:（1）化非直角三角形為直角三角形；（2）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型.●●2勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個(gè)三角形是不是直角三角形．四種思想方法四種思想方法●●1、方程思想：在直角三角形中，求線段的長(zhǎng)時(shí)，常利用勾股定理建立方程求解.●●2、數(shù)學(xué)結(jié)合思想:勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），勾股定理的逆定理的是由三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），得到這個(gè)三角形是直角三角形（形），二者相互結(jié)合，能使抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，從而有效分析和解決問(wèn)題.●●3、建模思想：運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后將已知和未知轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊，利用勾股定理求出直角三角形的邊，最后得出實(shí)際問(wèn)題的解.●●4、分類討論思想：在研究三角形的高時(shí)，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況考慮，另外在探究直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)也應(yīng)注意分類.題型一運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)題型一運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)【例題1】已知三角形的兩邊分別為5和12，要使它是直角三角形，第三邊的長(zhǎng)應(yīng)為．解題技巧提煉勾股定理的作用是已知直角三角形的兩邊求第三邊，所以求直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)應(yīng)該聯(lián)想到勾股定理.【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長(zhǎng)；（2）AD的長(zhǎng)．【變式1-2】已知：如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC邊上的高．題型二勾股定理的證明題型二勾股定理的證明【例題2】如圖是用硬紙板做成的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的全等三角形拼成的圖形，觀察圖形，可以驗(yàn)證（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解題技巧提煉（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．【變式2-1】如圖所示是傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的一種方法，圖（1）中大正方形的面積為邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)小正方形面積和四個(gè)三角形面積的和，即大正方形的面積為：；圖（2）中大正方形的面積為邊長(zhǎng)為c的正方形與四個(gè)直角三角形的面積的和，即大正方形的面積為：；因?yàn)閳D（1）（2）中正方形的邊長(zhǎng)為a+b，面積相等，所以＝，即．【變式2-2】【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正方形，通過(guò)證明可得中間也是一個(gè)正方形．其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．題型三趙爽弦圖的應(yīng)用題型三趙爽弦圖的應(yīng)用【例題3】如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為5，大正方形的邊長(zhǎng)為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．64 C．49 D．25解題技巧提煉“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形．常常利用勾股定理和完全平方公式來(lái)解決相關(guān)的求值問(wèn)題.【變式3-1】如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為20，則（a+b）2的值為．【變式3-2】如圖所示，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個(gè)說(shuō)法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中說(shuō)法正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．題型四利用勾股定理求平面上兩點(diǎn)之間的距離題型四利用勾股定理求平面上兩點(diǎn)之間的距離【例題4】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，3）到原點(diǎn)的距離是（）A．4 B．10 C．22 D．無(wú)法確定解題技巧提煉(1)數(shù)軸上的兩點(diǎn)A，B，則AB=x2(2)兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)平面上任意兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），|P1P2|=(【變式4-1】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，3）到原點(diǎn)的距離是．【變式4-2】已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m﹣2，4）到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為5，則m的值為．【變式4-3】已知點(diǎn)A（2，﹣1），點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，PA＝2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為．題型五利用勾股定理解決折疊問(wèn)題題型五利用勾股定理解決折疊問(wèn)題【例題5】如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處，（1）求BD的長(zhǎng)．（2）求AE的長(zhǎng)．解題技巧提煉關(guān)于折疊問(wèn)題要緊扣折疊前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，其解題步驟為：（1）利用重合的圖形傳遞數(shù)據(jù).（2）選擇直角三角形，利用勾股定理列方程求解.【變式5-1】如圖，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，那么NB的長(zhǎng)為（）A．3 B．83 C．4 D．題型六利用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題題型六利用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題【例題6】如圖，一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm、8cm、12cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)B．螞蟻要爬行的最短路程是cm．解題技巧提煉1、平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．2、幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短路程的求法：將幾何體表面展開(kāi)，將立體幾何圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定路線，最后利用勾股定理計(jì)算.【變式6-1】如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（）A．8km B．10km C．12km D．14km【變式6-2】如圖，若圓柱的底面周長(zhǎng)是30cm，高是120cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞幾圈絲線到頂部B處做裝飾，則按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長(zhǎng)度是cm．題型七用勾股定理探究規(guī)律題型七用勾股定理探究規(guī)律【例題7】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，以該等腰直角三角形的一條直角邊DE為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2按照此規(guī)律繼續(xù)作圖，則S2021的值為（）A．122018 B．122019 C．解題技巧提煉以某個(gè)基本圖形為背景的類推構(gòu)造直角三角形求值問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮.解答這類題目,有時(shí)需要我們根據(jù)勾股定理依次計(jì)算,然后探索其中隱含的規(guī)律并靈活利用這個(gè)規(guī)律.【變式7-1】圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣7）的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如圖乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此規(guī)律，在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【變式7-2】細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題：12+1＝2，S1=12，(2)2+1＝3，S2=（1）請(qǐng)用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律．（2）推算出OA10的長(zhǎng)．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．題型八題型八勾股定理的逆定理的應(yīng)用【例題8】如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=85cm，D是腰BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，且BD＝16cm，CD＝8（1）判斷△BDC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．解題技巧提煉勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個(gè)三角形是不是直角三角形.【變式8-1】甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲、乙兩位探險(xiǎn)者的速度分別為3km/h、4km/h，且2h后分別到達(dá)A，B點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)的直線距離為10km，甲探險(xiǎn)者沿著北偏東30°的方向行走，則乙探險(xiǎn)者的行走方向可能是（）A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏東60° D．南偏西60°【變式8-1】2021年12月12日是西安事變85周年紀(jì)念日，西安事變及其和平解決在中國(guó)社會(huì)發(fā)展中占有重要的歷史地位，為中國(guó)社會(huì)的發(fā)展起到了無(wú)可替代的作用．為此，某社區(qū)開(kāi)展了系列紀(jì)念活動(dòng)，如圖，有一塊三角形空地ABC，社區(qū)計(jì)劃將其布置成展區(qū)，△BCD區(qū)域擺放花草，陰影部分陳列有關(guān)西安事變的歷史圖片，現(xiàn)測(cè)得AB＝20米，AC＝105米，BD＝6米，CD＝8米，且∠BDC＝90°．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求陰影部分的面積．題型題型九方程思想在勾股定理中的應(yīng)用【例題9】如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路，完成解答過(guò)程．（1）作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD＝x，用含x的代數(shù)式表示CD，則CD＝；（2）分別在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再計(jì)算△ABC的面積．解題技巧提煉在直角三角形中，求線段的長(zhǎng)時(shí)，常利用勾股定理建立方程求解.【變式9-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BC于點(diǎn)E．若BD＝CE，則AC的長(zhǎng)為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【變式9-2】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時(shí)（即水平距離CD＝6m），踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長(zhǎng)是（）m．A．212 B．152 C．6 勾股定理本章知識(shí)綜合運(yùn)用課堂檢測(cè)1.若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a，b，且滿足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，則該直角三角形的第三邊長(zhǎng)的平方為（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或162.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3；B.三邊長(zhǎng)的平方之比為1∶2∶3；C.三邊長(zhǎng)之比為3∶4∶5.D.三內(nèi)角之比為3∶4∶5；3.下列定理中，沒(méi)有逆定理的是（）A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；B.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等；C.兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；D.在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.4.如圖，以