（復(fù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測05 三角函數(shù)公式及三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 （原卷版）

第頁專題05三角函數(shù)公式及三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、任意角和弧度制考點(diǎn)二、三角函數(shù)的概念考點(diǎn)三、誘導(dǎo)公式考點(diǎn)四、三角恒等變換考點(diǎn)五、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考點(diǎn)六、伸縮變換考點(diǎn)七、三角函數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)八、三角函數(shù)的綜合運(yùn)用考點(diǎn)九、ω的取值與范圍問題知識(shí)點(diǎn)一：任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角.2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.知識(shí)點(diǎn)二：弧度制1、弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）.2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745（rad）3、弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：.知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即.知識(shí)點(diǎn)四：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.知識(shí)點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)六：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，.，，其中知識(shí)點(diǎn)七：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)八：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)九：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無限接近于時(shí)，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當(dāng)，無限減小，記作（趨向于負(fù)無窮大）.也可以從單位圓上的正切線來考慮.因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒有最大值和最小值.稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線.3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即.5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識(shí)點(diǎn)十：三角恒等變換公式1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）和角公式（），（），（）.（2）差角公式（），（），（）.2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（），（），（）3、降冪公式，，.4、半角公式，，.其中，符號(hào)由所在象限決定.5、輔助角公式，其中，.叫做輔助角，的終邊過點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)十一：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是.若可先作的圖象，再以軸為對(duì)稱軸翻折，稱為振幅.2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）.若則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖.決定了函數(shù)周期.3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長度而得到.（用平移法注意講清方向：“左加右減”）.4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為.（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、任意角和弧度制例1.已知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對(duì)的弦長為4，則該扇形的面積為（

）A.B.C.D.例2.折扇圖1在我國已有三千多年的歷史，.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，間的圓弧長為，，間的圓弧長為，當(dāng)弦長為，圓弧所對(duì)的圓心角為，則扇面字畫部分的面積為（

）A.B.C.D.例3.若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A.B.C.D.例4.已知為第二象限角，那么是（

）A.第一或第二象限角B.第一或第四象限角C.第二或第四象限角D.第一、二或第四象限角考點(diǎn)二、三角函數(shù)的概念例5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A.B.C.D.例6.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)、從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則、兩點(diǎn)在第次相遇時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A.B.C.D.例7.已知角的終邊過點(diǎn)，則的值為（

）A.B.C.D.考點(diǎn)三、誘導(dǎo)公式例8.已知(1)化簡；(2)若是第三象限角，且，求的值.例9.已知.(1)化簡函數(shù)；(2)若，求和的值.例10.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的非負(fù)半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn).(1)若，求及的值；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo).例11.已知.(1)求的值；(2)當(dāng)為第三象限角時(shí)，求的值.考點(diǎn)四、三角恒等變換例11.已知，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且.求：(1)；(2).例12.已知，，則.例13.已知，則.例14.已知，，，，則.考點(diǎn)五、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例15.（多選）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)為各類用戶提供全天候、全天時(shí)、高精度、高定位、導(dǎo)航、授時(shí)服務(wù)，2020年7月31日上午，北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式開通，北斗導(dǎo)航能實(shí)現(xiàn)“天地互通”的關(guān)鍵是信號(hào)處理，其中某語言通訊的傳遞可以用函數(shù)近似模擬其信號(hào)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是D.若，，則的最小值為例16.（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象例17.已知函數(shù)（，，）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是，當(dāng)時(shí)取得最大值2.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值；(3)若函數(shù)的零點(diǎn)為，求.考點(diǎn)六、伸縮變換例18.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到新函數(shù)解析式為.

例19.已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖像，只要將的圖像（

）A.向左平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D.向右平移個(gè)單位長度考點(diǎn)七、三角函數(shù)的應(yīng)用例20.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為1～48號(hào)的48個(gè)座艙.開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要.若甲、乙兩人分別坐在1號(hào)和9號(hào)座艙里，當(dāng)時(shí)，兩人距離地面的高度差h（單位：m）取最大值時(shí)，時(shí)間t的值是.考點(diǎn)八、三角函數(shù)的綜合運(yùn)用例21.已知.(1)若，求在上的值域；(2)若，求的最大值.例22.已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值的和.例23.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求在上的值域；(3)試討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).例24.已知函數(shù).(1)已知，求的值；(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意的，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例25.已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存在x∈[0,），使等式成立，求實(shí)數(shù)m的最大值和最小值.例26.定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.考點(diǎn)九、ω的取值與范圍問題例27.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則的范圍為.例28.已知奇函數(shù)在上有2個(gè)最值點(diǎn)和1個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是.例29.函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則ω的范圍是（

）A.B.C.D.例30.已知，（），若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對(duì)稱軸，則的范圍為（

）A.B.C.D.例31.已知函數(shù)在上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A.B.C.D.過關(guān)檢測一、單選題1.的值是(

)A.B.C.D.2.函數(shù)是（

）A.周期為的偶函數(shù)B.周期為的奇函數(shù)C.周期為的偶函數(shù)D.周期為的奇函數(shù)3.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（

）A.B.1C.1或D.4.若，則的化簡結(jié)果是（

）A.B.C.D.5.已知角的頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若角的終邊所在直線的方程為，則的值為（

）A.B.C.3D.56.已知在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A.B.C.D.7.已知，且為第二象限角，則（

）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.B.C.，D.，二、多選題9.下列命題為真命題的是（

）A.若是第一象限角，則B.終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是C.對(duì)，恒成立D.若，且，則10.下列選項(xiàng)正確的是（

）A.若銳角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則B.△ABC中，“”是“△ABC是鈍角三角形”的充要條件C.函數(shù)的對(duì)稱中心是（）D.若，則11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A.的最小正周期是B.的最小值是C.的對(duì)稱軸是，D.在上單調(diào)遞減12.已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，記，下列結(jié)論中正確的是（

）A.為奇函數(shù)B.若的一個(gè)零點(diǎn)為，且，則C.若在上的所有零點(diǎn)和記為，則D.在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)三、填空題13.若扇形的弧長為8，圓心角為，則扇形的面積為.14.已知，則，若，則.15.已知函數(shù)，且，則.16.已知函數(shù)的一部分圖象如圖所示，其中，，，則.四、解答題17.已知.(1)求；(2)求的值.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點(diǎn)，射線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.(1)求的表達(dá)式，并求；(2)若，，求的值.19.函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.20.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱中心、單調(diào)減區(qū)間；(2)若定義在區(qū)間上的函數(shù)的最大值為6，最小值為，求實(shí)數(shù)的值.21.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.22.已知函數(shù)，且滿足函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，函數(shù)為奇函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值，并寫出對(duì)應(yīng)的值；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)依次為，，，，求的值.三角函數(shù)隨堂檢測1.800°是以下哪個(gè)象限的角（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則m等于（

）A.－3B.3C.D.3.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）A.B.C.D.4.下列不等關(guān)系成立的是（

）A.B.C.D.5.已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，，則（

）A.B.C.D.6.（多選）下列說法正確的是（