2025屆湖南省邵陽市雙清區(qū)第十一中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆湖南省邵陽市雙清區(qū)第十一中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.2.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.33.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.4.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)5.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.6.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要7.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.8.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.9.做拋擲一枚骰子的試驗,當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時,就說這次試驗成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.110.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.12.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在的零點個數(shù)為_________.14.在正方體中,分別為棱的中點,則直線與直線所成角的正切值為_________.15.在數(shù)列中,,則數(shù)列的通項公式_____.16.已知為等比數(shù)列,是它的前項和.若,且與的等差中項為,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在斜三棱柱中,已知為正三角形,D,E分別是,的中點,平面平面,.(1)求證:平面;(2)求證:平面.18.(12分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點,且與圓相切.(1)求的值;(2)動點在拋物線的準線上,動點在上,若在點處的切線交軸于點,設(shè).求證點在定直線上,并求該定直線的方程.19.(12分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點,與交于點,,都垂直于平面,且,,是線段上一動點.(1)當(dāng)平面,求的值;(2)當(dāng)是中點時,求四面體的體積.20.(12分)已知是拋物線的焦點,點在軸上,為坐標(biāo)原點,且滿足,經(jīng)過點且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點,且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點,若,求點到直線的最大距離.21.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù).(1)設(shè),求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求實數(shù)的值.22.(10分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因為,所以為奇函數(shù),排除選項A,B;因為時,,所以排除選項C,選D.點睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).2、A【解析】

將圓的方程化簡成標(biāo)準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.5、C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.6、B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系,即可得出。【詳解】設(shè)對應(yīng)的集合是,由解得且對應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。7、A【解析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.8、A【解析】

作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示,當(dāng)時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.9、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點睛】本題考查了二項分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10、B【解析】

求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.11、C【解析】因為,所以的虛部是,故選C.12、B【解析】

由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

本問題轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點個數(shù),可以轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,如下圖所示:由圖象可知:當(dāng)時,兩個函數(shù)只有一個交點.故答案為:1【點睛】本題考查了求函數(shù)的零點個數(shù)問題,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.14、【解析】

由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點,∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.15、【解析】

由題意可得,又,數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,分別求出,從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,∴當(dāng)為奇數(shù)時,,當(dāng)為偶數(shù)時,則為奇數(shù),∴,∴數(shù)列的通項公式,故答案為:.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式,解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列,求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項,要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.16、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意求出和的值,進而可求得和的值,利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,由于與的等差中項為,則,則,,,,,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和,解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù),分別是,的中點,即可證明,從而可證平面;(2)先根據(jù)為正三角形,且D是的中點,證出,再根據(jù)平面平面,得到平面,從而得到,結(jié)合,即可得證.【詳解】(1)∵,分別是,的中點∴∵平面,平面∴平面.(2)∵為正三角形,且D是的中點∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定,面面垂直的性質(zhì)等,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),中檔題.18、(1);(2)點在定直線上.【解析】

(1)設(shè)出直線的方程為,由直線和圓相切的條件:,解得;(2)設(shè)出,運用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,求得為切點的切線方程,再由向量的坐標(biāo)表示,可得在定直線上;【詳解】解:(1)依題意設(shè)直線的方程為,由已知得:圓的圓心,半徑,因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離,即,解得或(舍去).所以;(2)依題意設(shè),由(1)知拋物線方程為,所以,所以,設(shè),則以為切點的切線的斜率為,所以切線的方程為.令,,即交軸于點坐標(biāo)為,所以,,,.設(shè)點坐標(biāo)為,則,所以點在定直線上.【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線方程和圓方程的運用,以及切線方程的求法,考查化簡整理的運算能力,屬于綜合題.19、(1).(2)【解析】

(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出,進而得出,利用相似三角形的性質(zhì),得出,從而得出的值;(2)利用線面垂直的判定定理得出平面,進而得出四面體的體積,計算出,,即可得出四面體的體積.【詳解】(1)因為平面,平面,所以又因為,都垂直于平面,所以又,分別是正方形邊,的中點,且,所以.(2)因為,分別是正方形邊,的中點,所以又因為,都垂直于平面,平面,所以因為平面,所以平面所以,四面體的體積,所以.【點睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,以及求棱錐的體積,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】

(1)求得點的坐標(biāo),可得出直線的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,結(jié)合求出正實數(shù)的值,進而可得出拋物線的方程;(2)設(shè)點,,設(shè)的方程為,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達定理,結(jié)合求得的值,可得出直線所過定點的坐標(biāo),由此可得出點到直線的最大距離.【詳解】(1)易知點,又,所以點,則直線的方程為.聯(lián)立,解得或,所以.故拋物線的方程為;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立有,設(shè)點,,則,所以.所以,解得.所以直線的方程為,恒過點.又點,故當(dāng)直線與軸垂直時,點到直線的最大距離為.【點睛】本題考查拋物線方程的求解,同時也考查了拋物線中最值問題的求解,涉及韋達定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.21、(1)(2)【解析】

(1)把f(x)去絕對值寫成分段函數(shù)的形式,分類討論,分別求得解集,綜合可得結(jié)論.(2)把f(x)去絕對值寫成分段函數(shù),畫出f(x)的圖像,找出利用條件求得a的值.【詳解】(1)時,.當(dāng)時,即為,解得.當(dāng)時,,解得.當(dāng)時,,解得.綜上,的解集為.(2).,由的圖象知,,.【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題22、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當(dāng)時,f′(x)<2,當(dāng)時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因為x≥2,故,(?。┊?dāng)a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜

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