2022-2023學(xué)年廣東省深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)科試卷出題人：高二數(shù)學(xué)組說(shuō)明：1、本試卷滿分150分；考試時(shí)間為120分鐘；2、本試卷分試題卷、答題卷兩部分，考試結(jié)束，只交答題卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求）1.若直線：與：平行，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.－2 C. D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.3.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.4.已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.5.阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，面積的最大值是（）A. B. C. D.6.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足，則的值是（）A.14 B.17 C.20 D.237.已知點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，若使取得最小值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線分別與x軸正半軸和橢圓交于點(diǎn)M，N，若，則橢圓C的離心率e的值為（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的不得分）9.已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的一個(gè)方向向量為 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.與直線平行10.圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（）A.公共弦AB所在直線方程為B.公共弦AB的長(zhǎng)為C.線段AB中垂線方程為D.P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為11.已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)且，且，則()A.C的離心率為2 B.C的漸近線方程為C.PM平分 D.12.已知的左，右焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)在橢圓C外，點(diǎn)Q在橢圓C上，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.橢圓C的離心率的取值范圍是B.已知，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，的最大值為3C.存在點(diǎn)Q使得D.最小值為1三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知拋物線：，的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______．14.在第一象限的點(diǎn)到直線的距離為3，則a的值為__________．15.已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為?，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.16.對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4，若動(dòng)點(diǎn)P在圓C上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為________；四、解答題（本題共6小題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）用，，表示；（2）求AE的長(zhǎng)．18.已知的頂點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程．19.如圖，在三棱柱中，平面，，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角余弦值．20.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為32.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.21.如圖，過(guò)點(diǎn)E（1，0）的直線與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C（2，0）且與AB垂直的直線與圓O的另一交點(diǎn)為D.（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，）時(shí)，求直線CD的方程；（2）求四邊形ACBD面積S的最大值.22.已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為.直線過(guò)點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

試題試題深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)科試卷出題人：高二數(shù)學(xué)組說(shuō)明：1、本試卷滿分150分；考試時(shí)間為120分鐘；2、本試卷分試題卷、答題卷兩部分，考試結(jié)束，只交答題卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求）1.若直線：與：平行，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.－2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的一般式方程可確定直線的斜率，結(jié)合兩直線平行的條件，可得答案.【詳解】由題意知，的斜率分別是，，由與平行，得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：C.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．【詳解】可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．3.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即得解.【詳解】解：由題意知，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的漸近線方程為，即.故選：D．4.已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面的向量求法，列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：A5.阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用求出圓的方程和半徑，進(jìn)而利用圓的范圍可求出三角形面積的最大值.【詳解】設(shè)，因?yàn)椤?，且，所以，整理得，即圓的方程為，半徑為；所以，則面積最大值是.故選：D.6.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足，則的值是（）A.14 B.17 C.20 D.23【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程和橢圓的定義求出，再通過(guò)余弦定理和平面向量數(shù)量積的定義即可求得答案.【詳解】設(shè)，由題意.易知，，則，，于是由余弦定理可得，即.故選：D.7.已知點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，若使取得最小值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再求出直線，與直線求交點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)榇胫本€得到，代入直線得到，所以在直線的同側(cè).設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即所以，，即.所以，即.故選：A8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線分別與x軸正半軸和橢圓交于點(diǎn)M，N，若，則橢圓C的離心率e的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出直線的方程與橢圓聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)向量關(guān)系可得，從而求得離心率；【詳解】，，代入得：，，，，，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，計(jì)算量較大.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的不得分）9.已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的一個(gè)方向向量為 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.與直線平行【答案】ACD【解析】【分析】求出直線方程，由直線方程直接判斷D，由直線方程得一法向量，由法向量與方向向量的關(guān)系判斷A，直線方程中令，解出為橫截距，判斷B，由兩直線垂直的關(guān)系判斷C．【詳解】由題意直線斜率為，直線方程為，即，它與直線平行，D正確；直線的一個(gè)法向量是，而，因此是直線的一個(gè)方向向量，A正確；在直線方程中令得，B錯(cuò)誤；由于，C正確．故選：ACD．10.圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（）A.公共弦AB所在直線方程為B.公共弦AB的長(zhǎng)為C.線段AB中垂線方程為D.P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，兩圓方程作差即可求出公共弦方程；B選項(xiàng)，求出一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計(jì)算即可；C選項(xiàng)，線段AB的中垂線即為兩圓圓心的連線，利用點(diǎn)斜式求解即可；D選項(xiàng)，求出到公共弦的距離，加上半徑即可求出最值.【詳解】因?yàn)閳A：和圓：的交點(diǎn)為A，B，作差得，所以圓與圓的公共弦AB所在的直線方程為，故A正確；因?yàn)閳A心，，所在直線斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，即，故C正確；圓：的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以P到直線AB的距離的最大值為，圓與圓的公共弦AB的長(zhǎng)為，故B,D錯(cuò)誤．故選:AC.11.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)且，且，則()A.C的離心率為2 B.C的漸近線方程為C.PM平分 D.【答案】ACD【解析】【分析】在直角三角形中，利用列出關(guān)于a、b、c的齊次式求出離心率，從而判斷A；根據(jù)離心率求出漸近線方程，從而判斷B；根據(jù)是否相等即可判斷PM是否平分，從而判斷C；根據(jù)、的比例關(guān)系，利用平面向量的線性運(yùn)算即可表示用表示，從而判斷D.【詳解】由可知，由得，，即，即，即，∴，故A正確；由，∴雙曲線漸近線為，故B錯(cuò)誤；由，﹒則，，∴；∵，，∴，∴，∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PM平分，故C正確；，，，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考查與雙曲線的焦半徑和焦點(diǎn)三角形有關(guān)的性質(zhì)，考察構(gòu)造關(guān)于a、b、c的齊次式求離心率的方法，考察利用角平分線的性質(zhì)，考察了向量的線性運(yùn)算，解題時(shí)需數(shù)形結(jié)合，合理運(yùn)用圖形的幾何關(guān)系.12.已知的左，右焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)在橢圓C外，點(diǎn)Q在橢圓C上，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.橢圓C的離心率的取值范圍是B.已知，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，的最大值為3C.存在點(diǎn)Q使得D.最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】易得，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓C外，可得，從而可求得的范圍，再根據(jù)離心率公式即可判斷A；根據(jù)離心率求出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合橢圓的有界性即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，結(jié)合余弦定理判斷是否大于等于即可判斷C；根據(jù)結(jié)合基本不等式即可判斷D.【詳解】解：根據(jù)題意可知，則橢圓方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C外，所以，所以，所以，則離心率，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，，所以，所以橢圓方程為，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，此時(shí)，，即當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)為鈍角，所以存在點(diǎn)Q使得為直角，所以存在點(diǎn)Q使得，故C正確；對(duì)于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為1，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知拋物線：，的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______．【答案】5【解析】【分析】利用焦半徑公式即可求解.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則有，所以．故答案為：514.在第一象限的點(diǎn)到直線的距離為3，則a的值為__________．【答案】4【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離代入即可求出答案.【詳解】在一象限，所以，點(diǎn)到直線的距離為3，則，解得：或.因?yàn)?，所?故答案為：4.15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為?，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】利用雙曲線定義可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可確定最小值為三點(diǎn)共線時(shí)的取值，由此可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：，，，則，，由雙曲線定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取等號(hào)），又，.故答案：.16.對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4，若動(dòng)點(diǎn)P在圓C上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為________；【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意確定圓心和半徑，即可求得點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值.【詳解】直線x＋my－3m－4＝0即，故直線過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)距離為5，由對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4可知：直線過(guò)圓的圓心，即圓心為定點(diǎn)，且圓的直徑為4，故圓上動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為：5-2=3，故答案為：3.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）用，，表示；（2）求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.（2）結(jié)合（1）利用平方的方法，結(jié)合向量運(yùn)算求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】由（1）得，兩邊平方得，所以.18.已知頂點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的中點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可求出所求；（2）分類討論截距是否為0的情況，再利用截距式即可求得所求．【小問(wèn)1詳解】線段的中點(diǎn)為，則中線所在直線方程為：，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)兩坐標(biāo)軸上的截距為，若，則直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斜率，直線方程為，即；若，則設(shè)直線方程為，即，把點(diǎn)代入得，即，直線方程為；綜上，所求直線方程為或．19.如圖，在三棱柱中，平面，，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，【小問(wèn)1詳解】證明：連接，記，連接．由三棱柱的定義可知四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn)．因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，是棱的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面．故以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，從而，．設(shè)平面的法向量，則令，得．平面的一個(gè)法向量．則平面與平面夾角的余弦值20.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為32.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由離心率和四邊形的面積建立關(guān)于的方程，解方程即可；（2）直接通過(guò)點(diǎn)差法求出直線斜率，再通過(guò)點(diǎn)斜式寫出方程即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡x心率，所