大學(xué)物理課后習(xí)題-答案詳解

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、（習(xí)題L1）：一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)函數(shù)為x=2t,y=4t2-8<.（1）求質(zhì)點(diǎn)

的軌道方程；（2）求t=ls和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。

解：（1）由x=2t得，

y=4t2-8可得：y=x2-8即軌道曲線

（2）質(zhì)點(diǎn)的位置：了=2/7+（4/-8）7

由K=d尸/dE則速度：v=2Z+8Z/

由之二dE/d/則加速度：a=Sj

則當(dāng)t=ls時(shí)，有r-2i-4j,v=2i+8/,a=8/

當(dāng)t=2s時(shí)，有r=4z+8/,v=2z+16/,G=8j

2、（習(xí)題1.2）：質(zhì)點(diǎn)沿x在軸正向運(yùn)動(dòng)，加速度。=-如，攵為常數(shù).設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速

度為%,求運(yùn)動(dòng)方程x=xQ）.

—kf

V=

工=W"=出x=藁（1廿）

3、一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度為。=4"SI）,已知/=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于xo=lOm處，初速

度為=0.試求其位置和時(shí)間的關(guān)系式.

解：a=dv/dt=4tdv=4zdrfdP=f4/dZv=2t2

JoJo

v=dx/dt=2t2f'cLv=f2/2d/x=2z3/3+10（SI）

J.”JO

4、一質(zhì)量為加的小球在高度力處以初速度%水平拋出，求：

（1）小球的運(yùn)動(dòng)方程；

（2）小球在落地之前的軌跡方程；

（3）落地前瞬時(shí)小球的生，—,—

drdtdr

解：（1）x=vot式（1）

產(chǎn)(7)=%"+(h-；g/)/

Igx2

（2）聯(lián)立式（1）、式（2）得

⑶L。*而落地所用時(shí)間-^-=v0F-72gh.7

dz

dv-v==Jv；+(_gt)2dv=g,l=

山二一口dtw：+(m)2*5+2幽％

資料

5、己知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為產(chǎn)=/f+2），式中廠的單位為m,z的單位為s.

求：（I）任一時(shí)刻的速度和加速度；（2）任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）v=—=2/r+2；a=—=2T

drdz

2）v=［（2r）24-4］^=2（r2+l/

dv2/口22

?7-----，----------------------------------XT-----_IZ7**-----ZT---------------------------------------

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

1、（牛頓定律）質(zhì)量為M的氣球以加速度a勻加速上升，突然一只質(zhì)量為m的小鳥飛到氣球

上，并停留在氣球上。若氣球仍能向上加速，求氣球的加速度減少了多少？

解：?為空氣對(duì)氣球的浮力，取向上為正。

,.一▼，、J，、J

分別由圖（a）、（b）可得：

F-Mg=Ma00

F-（M+m）g=（M+〃7）。［

P跡（M+加應(yīng)

.Ma-mg_〃7（a+g）》

貝ija.=--------,^a=a-a,_

m+Mi⑹（b）

2、（牛頓定律）兩個(gè)圓錐擺，懸掛點(diǎn)在同一高度，具有不同的懸線長(zhǎng)度，若使它們運(yùn)動(dòng)時(shí)

兩個(gè)擺球離開地板的高度相同,試證這兩個(gè)擺的周期相等.

證：設(shè)兩個(gè)擺的擺線長(zhǎng)度分別為人和〃，擺線與豎直軸之間的夾角分別為a和a，擺線中

的張力分別為"和乙，則

"COS。］_〃71g=0①______________

F.sin。=/（/.sin0,）②/!\

=sin仇Jg/"cos仇/[/;

解得：H

第一只擺的周期為加1....

=27rl,%sin0.=2入可//且,cos0,

同理可得第二只擺的周期

2#答

由已知條件知/1cos^=/2cos/.T\=T?

習(xí)題2.1—2.6

資料

習(xí)題2.1一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為歹二400-4X10〃/3,

子彈從槍口射出時(shí)的速率為300m/s。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：(1)

子彈走完槍筒全長(zhǎng)所用的時(shí)間小(2)子彈在槍筒中所受力的沖量/；(3)子彈

的質(zhì)量。

解：(1)由產(chǎn)=400-4xl()s〃3和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以得

到：F=400-4xl05r/3=0算出t=0.003s。

(2)由沖量定義:

552

/=Fdt=J：(400-4xl0r/3)J/=400/-2X10//3|=0.6Ns

(3)由動(dòng)量定理：/=fFdt=AP=inv=0.67V?s

_、Jo

習(xí)題2.2質(zhì)量為所以：=o.6/3OO=0.002版M=1.5kg的物體,

用一根長(zhǎng)為，=L25m的細(xì)繩懸掛在天花板上.今有

一質(zhì)量為〃?=10g的子彈以為=500m/s的水平速度

射穿物體，剛穿出物體時(shí)子彈的速度大小v=30m/s

設(shè)穿透時(shí)間極短.求：一

%

(1)子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大??；^=>

(2)子彈在穿透過程中所受的沖量.

習(xí)題2.2圖

解：(1)取子彈與物體為研究對(duì)象，子彈前進(jìn)方

向?yàn)閄軸正向，因穿透時(shí)間極短，故可認(rèn)為物體未離開平衡位置.因此,作用于

子彈、物體系統(tǒng)上的外力均在豎直方向，故系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒.令子彈穿

出時(shí)物體的水平速度為"

有v'

v/=m(vo-v)/M=3.13m/s

T=Mg+Mv1/l=26.5N

(2)/Az=mv-niv()=-4.7N-s(設(shè)v()方向?yàn)檎较?

負(fù)號(hào)表示沖量方向與V。方向相反.

習(xí)題2.3一人從10ni深的井中提水.起始時(shí)桶中裝有10kg的水，桶的質(zhì)

量為1kg,由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水.求水桶勻速地從井

中提到井口，人所作的功.

資料

習(xí)題2.6兩個(gè)質(zhì)量分別為叫和嗎的木塊4、B,用一勁度系數(shù)為人的輕彈簧

連接，放在光滑的水平面上。力緊靠墻。今用力推8塊，使彈簧壓縮x0然后釋

放。（已知I%=m,m2=3m）求：（1）釋放后B兩滑

塊速度相等時(shí)的瞬時(shí)速度的大小；（2）彈簧的最大伸長(zhǎng)量。

習(xí)題2.6圖

12172

解:2，Z/2V20=5米。

所以年

〃7丁20=''m\+機(jī)2)V

22計(jì)算可得：X=1xo

(2)—772V=-kx4--(/??14-7772)V

22O2

3、（變力作功、功率、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理）設(shè)戶=7:-6］（N）（1）當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

產(chǎn)二-3,十4/十164（ui）時(shí)，求戶所作的功；（2）如果質(zhì)點(diǎn)到『處時(shí)需0.6s,試求戶的平

均功率；（3）如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動(dòng)能的變化。

解：（1）A=￡F'dr（7/-6j）-（dxi+dyj+dzk）=￡Idx-￡6dy=-45J，做負(fù)功

_445rrf4

(2)P=—=——=75^(3)AFA=J+-nigj-dr=-45+j0-mgdy=-85J

4、（機(jī)械能守恒、動(dòng)量守，亙）如圖所示，一個(gè)固定的光滑斜面，傾角為。，有一個(gè)質(zhì)量為m

小物體，從高H處沿斜面自由下滑，滑到斜面底C點(diǎn)之后，繼續(xù)沿水平面平穩(wěn)地滑行。設(shè)m

所滑過的路程全是光滑無摩擦的，試求,（1）m到達(dá)C點(diǎn)瞬間的速度；（2）m離開C點(diǎn)的速

度；（3）m在C點(diǎn)的動(dòng)量損失。

解：（1）由機(jī)械能守恒有mgH=^mv；

帶入數(shù)據(jù)得匕=《2gH,方向沿AC方向

（2）由于物體在水平方向上動(dòng)量守恒，所以

mvccos0=inv,得y=42gHcos0,方向沿CD方向

（3）由干受到豎直的沖力作用.m在C點(diǎn)損失的動(dòng)量八〃二機(jī)房萬sin夕.方向豎直向下.

第三章剛體的運(yùn)動(dòng)

書：3.3用落體觀察法測(cè)定飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是將半徑為R的飛輪支承在。點(diǎn)上,

然后在繞過飛輪的繩子的一端掛一質(zhì)量為機(jī)的重物，令重物以初速度為零下落,

帶動(dòng)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)，記下重物下落的距離和時(shí)間，就可算出飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試寫出

它的計(jì)算式。（假設(shè)軸承間無摩擦

資料

解：如習(xí)題3.3(b)圖,對(duì)飛輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,

有

FTR=Ja

(1)

對(duì)重物而言，由牛頓定律,有

mg-FT-ma戶『=FT(2)

由于繩子不可伸長(zhǎng)，因此,有

a=Ra

重物作勻加速下落，則有

h=—at2(4)

2

由上述各式可解得飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為人.喘7)

3.4如圖，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為〃八半徑為7?的均勻圓盤狀定滑輪，繩的

兩端分別掛著質(zhì)量為2加和根的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩

個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為〃?//2,將由兩個(gè)定滑是以及質(zhì)量為2〃?和〃z的重物組

成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。

/////////////(//,

解：受力分析如圖

2mg-T2=2ma(1)Ty

Tv

7\-mg=ma(2)中

mg

(T2-T)r=Ja(3)習(xí)題3.4圖

(T-T>=Ja(4)

資料

a=ra(5)

聯(lián)立a=-g,7=—mg

3.6有一質(zhì)量為叫、長(zhǎng)為/的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為//的水平

桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)。且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)

的質(zhì)量為〃馬的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端力相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)可極

短。口知小滑塊在碰撞前后的速度分別為匕和叱，如圖所示。求碰撞后從細(xì)棒開

始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。

（已知棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1=」叫/2）

31

解：碰撞時(shí)角動(dòng)量守恒

〃?2匕/=-rn2v2l

3機(jī)2（匕+匕）

（V_

細(xì)棒運(yùn)動(dòng)起來所受到的摩擦力矩

M與gx心=/"閭

習(xí)題3.6圖

[)-Mdt=Jco2-Jo)x=0-Jco

-ml2a)

3x1

t=~l"

y叫g(shù)/

/_21co_2加2(%+V2)

3咫M771g

1.如圖所示，物體1和2的質(zhì)量分別為見與m2,滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為「，物體2

與桌面間的摩擦系數(shù)為〃，設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪與轉(zhuǎn)軸丘

無摩擦。求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力八和A。

〃7|g_（二町4/估

T2-pjn2g=m2a

Txr-T2r=Ja

a-ra

資料

解得：〃=（叫.華）城,ng」卜…/年

J+m+〃（〃“J+nir+m2r~

2、如圖系統(tǒng)中，mi=50kg,mz=40kg,圓盤形滑輪m中6kg,半徑r=0.1m,斜面是光滑的,

傾角0=30。，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，轉(zhuǎn)軸摩擦不計(jì)，求：

（1）繩中的張力；（2）設(shè)開始時(shí)g距離地面高度為Im,需多長(zhǎng)時(shí)間n到達(dá)地面？

T2—嗎gsin0=m2a

mu

Txr-T2r=Ja

a=ra

J=1/wr2解得a=30rad/s\a=3m/s2,7；=340N,￡=316N

由%=%，+耳以2,%=0,所以/==0.8165

3.一長(zhǎng)為1m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng).抬起另一端使

-ml2

棒向上與水平面成30°,然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放.已知棒對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為3,求:

（1）放手時(shí)棒的角加速度;（2）棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)的角速度.

解：1、a=—

M=〃zggcos300=mgl

J=—ml2

3

67

彳〃儂3V3g_3V3g

4/-4

-ml2

3

2、機(jī)械能守恒

1

wg

4-3

mggsin30°+0=0+；Jar=g

12-

7

=3.83rad/s

4.一根長(zhǎng)為/、質(zhì)量為M的勻質(zhì)棒自由懸掛于通過其上端的光滑水平,.

II

軸上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度vo射向棒的中心，并以vo/2I

的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角恰為90°,求V。的大小。3,自‘2

M

資料

角動(dòng)量守恒叫?笠

g+J(oJ=-Ml2

3

""4_3mv

mv0—=-Ml2co(0=Q

43

3

機(jī)械能守恒1?7MlYJ=Mg-3切%、

---Ml2MS-

23223AMI)

2

216/V//

%%斗V3

5.一根長(zhǎng)為/、質(zhì)量為M的勻質(zhì)棒自由懸掛于通過其上端的光滑水平軸上。現(xiàn)有一質(zhì)量

為加=,M的了彈以水平速度vo射入棒的下端，并留在棒里。此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角恰為

6

角動(dòng)量守恒

rnvj=(ml2+^Ml2)com=^M(0=~^j

機(jī)械能守恒

—(/nr+-MP)co7=Mg-(1-cos60n)+wg/(l-cos600)

3

%=2畫

6、如圖所示，長(zhǎng)為/的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為出和2機(jī)的小球,桿可繞水平光滑固

定軸。在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸。距兩端分別為上I/和*2/.輕桿原來靜

33

止在豎直位置c今有一質(zhì)量為〃?的小球,以水平速度用與桿下端小球儲(chǔ)

,0

加作對(duì)心碰撞，碰后以3汽的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角畀。

速度。

27//91m

解：角動(dòng)量守衡一〃?%/=(—)2/ZZ69+(-)2-2m(o——ml?—v

333320

2/

資料

第四章振動(dòng)與波動(dòng)

振動(dòng)部分：習(xí)題4.2、4.4、4.5

習(xí)題4.2—物體沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為0.06m,周期為2.0s,當(dāng)/=0

時(shí)位移為0.03m,且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求；(1)f-0.5s時(shí)，物體的位移、速

度和加速度；(2)物體從x=-0.03m處向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)開始，到平衡位置，至

少需要多少時(shí)間？

解：(1)由題意知/二0.06m、。=2萬〃=萬/由旋轉(zhuǎn)矢量(a)圖可確定

初相則/。=-4/3,振動(dòng)方程為

X=(0.06/72)cos[(asI)，一乃/3]

習(xí)題4.2(a)圖

當(dāng)t=0.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度分別為

x=(0.06m)cos(^/2-43)=0.052加

v=dx/dt=一(0.06不〃？7'T)sin(萬/2-乃/'3)=-0.094"??廣

a=d2x/dr=-(0.06^277??s~2)cos(^/2-^/3)=-0.513???-5-2

(2)質(zhì)點(diǎn)從x=0.03ni運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過程中，旋轉(zhuǎn)矢量從(b)圖中的

位置也轉(zhuǎn)至位置M矢量轉(zhuǎn)過的角度(即相位差)A(p=5n/6o該過程所需時(shí)間為

AZ=—=0.833s

(0

資料

習(xí)題4.4某質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的x-t曲線如題圖所示.求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程;

（2）質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)位置所需的最短時(shí)間.

解：（I）設(shè)所求方程為：x=Acos（wt+（p0）

從圖中可見，t=O,x）=A/2,v0>0

由旋轉(zhuǎn)矢量法可知；（P=--

03

E兀兀

又vt=ls,?t—=—

32

57r

w=—

6

,,八.，5兀兀、

故：x=0.1cos（—t--）m

63

（2）vP點(diǎn)的相位為0

5萬萬八八

?.cot+（p=——I——=0t=0.45

P°6P3P

即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)尸點(diǎn)相應(yīng)狀態(tài)所要的最短時(shí)間為0.45

習(xí)題4.5—質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm,周期為2s。當(dāng)好0時(shí)，位

移為6clri,且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）Z=（）.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)

的位置、速度和加速度；（3）如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm,且向x軸負(fù)方向

運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。

解：由題已知A=12X102nb丁=2.0s

3=2冗/T=nrad?s-1

又,t=0時(shí)，玉）=6。加，v0>0?,?由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：由=一。

故振動(dòng)方程為X=0.12COS(R-H)

3

(2)將t=0.5s代入得

x=0.12cos(m---)=0.12cos—=0.1036

36

v=-0.12/rsin(m——)=0.12cos—=-0.189/7?/5

36

a--0A2TT2cos(/it——)=-0.12^2cos—=一1.03〃?//

36

資料

方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿X軸負(fù)向.

(3)由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)

即x^-A/Z,且VVO,故人二2冗/3,它回到平衡位置需要走5冗/6,所以:

/.t=A^/w=(5n/6)!(JI)=5/6s

習(xí)題4.5圖

(加題)1.有兩個(gè)同方向司頻率的振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為().2加，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)

振動(dòng)的相位差為乃/6,第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173根，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位

差。

分析根據(jù)已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅,

解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解

取第一個(gè)振動(dòng)的初相位為零，則合振動(dòng)的相位為。=%/6

據(jù)4=4+42可知4=4-4，如圖：

A2=JA；+—244cose=O.l(w)

-?'?,?

由于/、4、4的量值恰好滿足勾股定理，

故彳與云垂直.

即第二振動(dòng)與第一振動(dòng)的相位差為0=7T/2

(加題)2.一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)方程分別為

2-2

x,=5xl0-cos(4r+乃/3)(57)，x2=3xl0sin(4r-/r/6)(W)畫出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，

并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程.

分析須將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程從而確定其特征矢

量，畫出矢量圖。

2

解：x2=3xl0-sin(4/-^-/6)

o人兀3w

=3x10-2cos(4r-TV/6-TV/2)/C>-2n/3

資料A

解答圖9-27

二3x10-2cos(4"2乃/3)

作兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示.

由圖得：合振動(dòng)的振幅和初相分別為

A=（5-3）cni=2cm,。二乃/3.

題圖5-27

合振動(dòng)方程為x=2xl0-：cos（4/+冗/3）（5/）

（加題）3.一物體質(zhì)量為0.25版，在彈性力作用下作箍諧振動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)

k=25NM',如果起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.06J和動(dòng)能0.02J,求⑴振幅；（2）動(dòng)

能恰等于勢(shì)能時(shí)的位移；（3）經(jīng)過平衡位置時(shí)物體的速度.

解：（1）E=E+E=—kA2=0.08A=px=0.08/n

K*〃2V25

（2）=^mv:；k=mco2mco2x2=mco2A2sin2（6；/+<^）

x2=A2sin2（.+e）=T[l-cos2（6^+0）]=T-x2

2x2—A2,x=±A/y/2=±0.0566/7?

（3）過平衡點(diǎn)時(shí)，x=0,此時(shí)動(dòng)能等于總能量

2

E=Ek+E?=—mv=0.08?=J、*。。8=0.8—/s

*「2V0.25

（加題）4.一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k=25N/m,當(dāng)物體以初動(dòng)能以2J和初勢(shì)能0.6J

振動(dòng)時(shí)，求：（1）振幅是多大？（2）位移多大時(shí)，其勢(shì)能和動(dòng)能相等？（3）位移是振

幅的一半時(shí).，勢(shì)能是多大？

Ih（E+E）

解：（1）彈簧振子的總機(jī)械能為七二4+￡夕=；乂2,故/1='—^_^=0253加

(2)E=E.=-E=-kA2-kx2=-kA2x=±-A=±0A79m

"24242

（3）E=-kx2=-k—=0.20J

p224

波動(dòng)部分：習(xí)題4.7、4.8、4.10

習(xí)題4.7有一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中傳播，波

速〃=100m/s,波線上右側(cè)距波源。（坐標(biāo)原點(diǎn)）

為75.0m處的一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程為

^=（0.30m）cos[（2^s--）/-^/2]求⑴波向工軸

o習(xí)題4.7圖

資料

正方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程；（2）波向x軸負(fù)方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程。

解：（1）設(shè)以波源為原點(diǎn)。，沿x軸正向傳播的波動(dòng)方程為

y=Acos[<y(/-A:/W)+^]

將〃二100ns」代人，且取x=75m得點(diǎn)八的運(yùn)動(dòng)方程為

yP=/fcos[<y(r-0.75s)-%]

與題意中點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)方程比較可得力=0.30m、①=2騰“、（p0=2兀，則

所求波動(dòng)方程為

y=（0.30m）cos［（2乃s-）（/-x/100ms-1）］

⑵當(dāng)沿X軸負(fù)向傳播時(shí)，波動(dòng)方程為

y=Acos[<w(/+x/u)+/]

將x=75m、〃=100〃7sT代人后，與題給點(diǎn)夕的運(yùn)動(dòng)方程比較得力=0.30

隊(duì)3=2心一、牝=-兀，則所求波動(dòng)方程為

y-(0.30m)cos[(27rsd)(z+x/100m-s-1)-^]

討論：對(duì)于平面簡(jiǎn)諧波來說，如果已知波線上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求另外一點(diǎn)

的運(yùn)動(dòng)方程，也可用下述方法來處理：波的傳播是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，波線上各點(diǎn)

（包括原點(diǎn)）都是重復(fù)波源質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，只是初相位不同而己。在已知某點(diǎn)

初相。。的前提下，根據(jù)兩點(diǎn)間的相位差=d-%=2必""即可確定未知點(diǎn)的

初相戰(zhàn)。

習(xí)題4.8己知一沿,正方向傳播的平面余弦波，時(shí)的波形如題圖所示,

且周期7為2s.

（1）寫出O點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式;

（2）寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式;

（3）寫出力點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式;

（4）寫出力點(diǎn)離。點(diǎn)的距離。

解：由圖可知A=0.Im,X=0.4nb由題知T=2s,a=2n/T=?，而u=入/T=0.2m/so

波動(dòng)方程為：y=0.Icos［n（t-x/0.2）+中。］m關(guān)鍵在于確定0點(diǎn)的初始相位。

資料

（1）由上式可知：0點(diǎn)的相位也可寫成：0=Jlt+中。

由圖形可知：i=時(shí)y廣-A/2,v°VO,???此時(shí)的小二211/3,

3

將此條件代入，所以：生=/+%所以%=工

333

。點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=0.Icos[nt+n/3]in

（2）波動(dòng)方程為：y=0.Icos[Ji（t-x/0.2）+n/3]m

（3）A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式確定方法與0點(diǎn)相似由上式可知：

A點(diǎn)的相位也可寫成：。=nt+a）A0

由圖形可知：i=1s時(shí)九二0,v0>0,...此時(shí)的"-兀/2,

3

將此條件代入，所以：-工=萬」+%。所以%0二一"

236

A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=0.Icos[nt-5Ji/6]m

（4）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程，可得到A的振動(dòng)方程，與（3）結(jié)果相同，所

以：y=0.Icos[兀tt-x/O.2）+n/3]=0.Icos[nt_5兀/6]

可得到：x,=—=0.233/??

30

習(xí)題4.10—平面簡(jiǎn)諧波以速度〃=0.8m/s沿x軸負(fù)

方向傳播。已知原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試寫出：

（1）原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；

（2）波動(dòng)表達(dá)式；

習(xí)題4.10圖

（3）同一時(shí)刻相距1m的兩點(diǎn)之間的位相差,

解：（1）由圖可知A=0.5cm,原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：（3t+?。?/p>

t=0s時(shí)y=A/2v>0可知其相位為@=

3

TT

t=ls時(shí)y=0v<0可知其相位為小尸一

2

1I1

代入振動(dòng)方程,（I）=---3十0=一

32

可得：o>=—T=2n/<o=12/5

6

資料

則y=0.5cos(-t--)cm

63

（2）沿x軸負(fù)方向傳播，波動(dòng)表達(dá)式：y=0.5cos［—（t+—）--］cm

643

（3）根據(jù)已知的T=12/5,ii=0.8m/s,可知：2=—m

25

那么同一時(shí)亥ij相距Im的兩點(diǎn)之間的位相差：/\夕=2乃生=生乃=3.27rad

424

（加題）L如圖，一平面波在介質(zhì)中以波速〃=20〃?/s沿x軸負(fù)方向傳播，已知A點(diǎn)的振

動(dòng)方程為y=3x1CT?cos4m（57）.?〃

（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波方程；BA：

⑵以距A點(diǎn)5nl處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波方程.1題圖

解：（1）坐標(biāo)為x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位為

+（P=4乃1+*/“）］=4%口+（x/20）］

波的表達(dá)式為y=3x10-2?os4M7+（x/20）］（S/）

—5

（2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則坐標(biāo)為x點(diǎn)的振動(dòng)相位為a）t+（p'=44+號(hào)Y」（W）

波的表達(dá)式為y=3xl0-2cos4乃。+三，'

y=3x10-2cos［4;r（r+或）—》］（$/）

（加題）2.一平面諧波沿ox軸的負(fù)方向傳播,波長(zhǎng)為X,P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律如題圖6

-10所示.求:

（1）P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；

（2）此波的波動(dòng)方程；

（3）若圖中4=4/2,求。點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程.

分析首先由已知振動(dòng)規(guī)律結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量圖可得P點(diǎn)振動(dòng)的初相與周期，從而得到其振動(dòng)

方程。波動(dòng)方程則由P與原點(diǎn)的距離直接得到。波動(dòng)方程中直接代入某點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出

該點(diǎn)的振動(dòng)方程。

yp(m)

解：⑴從圖中可見r=4s,且/=0,》卬=一4,%=笈，則P

點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為

yp=Acos(-^-z+^)=Acos(y/+乃)(57)

資料

題圖6-10

（2）向負(fù)方向傳播的波動(dòng)方程為

\n（4（工-

y=Acos—t+—--------+7i

_2I2）_

（3）把"=4/2,x=0代入波動(dòng)方程即得

,萬

y0=Acos—t

（加題）3.兩波在一很長(zhǎng)的弦線上傳播，其波方程分別為：

%=4.00x10-2cos,萬（4x—24f）（S/）

3

-2

y2=4.00x10cos-TT（4X+24f）（S/）

3

求：（1）兩波的頻率、波長(zhǎng)、波速；（2）兩波疊加后的波節(jié)位置；（3）疊加后振幅最大的那些

點(diǎn)的位置.

解：（1）與波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式y(tǒng)=/cos2兀（vt-x/㈤對(duì)比可得：

v=4Hz,Z=1.50m,波速〃=4M=6.00〃?/s

131

⑵波節(jié)位置4門/3=±（〃乃+5萬）即工=±彳（〃+/m,n=0,1,2...

（3）波腹位置47rx/3=±〃乃即x=±3〃/4m,n=0,1,2...

第11章作業(yè)

11.2在雙縫裝置中，用一很薄的云母片（〃=1.58）

覆蓋其中的一條狹縫，這時(shí)屏幕上的第七級(jí)明條紋恰好移

到屏幕中央（原零級(jí)明條紋）的位置。如果入射光的波長(zhǎng)為

550ng則這云母片的厚度應(yīng)為多少？

分析：云母片覆蓋前，零級(jí)明條紋在屏幕上0點(diǎn)。覆

蓋后，衍射條紋移動(dòng)了7條，即第七條明條紋位于。點(diǎn)。

由光程差的變化計(jì)算介質(zhì)厚度。

解：覆蓋前，兩光到達(dá)0點(diǎn)的光程差為

偽=G-0=0(1)

覆蓋后，兩光到達(dá)0點(diǎn)的光程差為

&=（4ne-rx=74

資料

⑵式與（1）式作差，可得

=［（/%-e）+ne-0］一（々一勺）二4〃-1）=74

所以

727x550x10-9

=6.64x10-61n

n-11.58-1

11.3在雙縫實(shí)驗(yàn)中，入射光是由波長(zhǎng)％=550nm和另一束未知波長(zhǎng)友兩種

成分合成的復(fù)色光。已知雙縫間距為0.6mm,屏和縫的距離為1.2m,求屏上4的

第三級(jí)明紋中心的位置。若屏上4的第六級(jí)明紋中心和未知的4的第五級(jí)明紋

中心重合，求未知波長(zhǎng)4。

分析：由明紋中心位置公式x二〃場(chǎng)可得。

d

解：第三級(jí)明紋中心位置

1.2x550x10-9

=3.3mm

d0.6x10-3

4的第六級(jí)明紋中心和未知的4的第五級(jí)明紋中心重合，即它們具有相同的衍

射角

所以

%=-2.=-x550=660nm

-515

11.5一薄玻璃片，厚度為0.40pm,折射率為L(zhǎng)5,置于空氣中。用白光

垂直照射，問在可見九的范圍內(nèi)，哪些波長(zhǎng)的先在反射中加強(qiáng)？哪些波長(zhǎng)的九在

透射中加強(qiáng)？

分析：分別應(yīng)用反射光和透射光在等傾干涉中加強(qiáng)的條件求得。

解：反射加強(qiáng)的條件為

2ne+—=kA

2

由此得

資料

14〃e

X=-----

2k-\

僅當(dāng)〃=3時(shí)，力為可見光，因此求得

14x1.50x0.40.

2=-----------=48O0Anm

2x3-1

透射加強(qiáng)的條件即反射減弱的條件，即

2〃e+<=(2k+1)—

由此得

14〃e

X=---

2k

當(dāng)左二2時(shí),

人八fOxMO/oo加

2x2

當(dāng)％=3時(shí),

14x1.50x0.40.

A=------------=40A0Anm

2x3

波長(zhǎng)為480nm的可見光在反射中加強(qiáng)，波長(zhǎng)為600nm和400nm的可見光在

透射中加強(qiáng)。

11.6一單色光垂直照射在厚度均勻的薄油膜上，油膜覆蓋在玻璃板上。油

的折射率為1.3,玻璃的折射率為1.5,若單色光的波長(zhǎng)可由光源連續(xù)可調(diào)，并

觀察到500nm與700nm這兩個(gè)波長(zhǎng)的單色光在反射中消失，求油膜的厚度。

分析：由于玻璃的折射率骰大于油的折射率々，光線在油膜上，下表面反

射時(shí)都存在半波損失，則光程差為《5=2%。設(shè)4=5()()nm的光在左級(jí)干涉和消,

則對(duì)于4=700nm的光在第(左-1)級(jí)干涉相消。

解：對(duì)4=500nm的光在攵級(jí)干涉相消，有

；(1\

2〃?=(2k+1)奇4平+5p(1)

2

對(duì)4=700nm的光在第("I)級(jí)干涉相消，有

由(1)、(2)式解得

資料

4+4_500+700

-

2（A2-2,）2（700-500）

（3+-|x500

=673.1nm

2x1.30

11.7有一玻璃劈尖，玻璃的折射率為L(zhǎng)5,劈尖夾角e=5xl(T“ad。用單

色光垂直照射，測(cè)得相鄰兩條明紋間的距離/=3.64xl0-3m,求此單色光的波長(zhǎng)。

分析：由相鄰兩明紋間的距離公式可得。

解：相鄰兩明紋的距離為

/=―--,

2〃sinO

因?yàn)?。很?所以sin。。/,則

所以，

A=2nlO

=2xl.5x3.64xl0_3x5xl0-5

二546nm

11.11在折射率％=1.52的照相機(jī)鏡頭表面鍍有一層折射率〃2=L38的

MgF2增透膜，如果此膜適用于波長(zhǎng)4=550nm的光，問膜的最小厚度應(yīng)是多少？

分析：由薄膜干涉公式可得。

解：對(duì)穿過增透膜的透射光而言，兩相干光的光程差為2〃e+Z,為使給定

2

波長(zhǎng)的透射光增強(qiáng)，應(yīng)滿足條件

2ne+-=kA

2

當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)應(yīng)膜的最小厚度

2〃—~

己知；l=550nm,〃2T-38,由此可以算出膜的最小厚度

e=-^―=99.4nm

4%

資料

11.12(1)若用波長(zhǎng)不同的光觀察牛頓環(huán)，\=600nm,Z,=450nm,觀察

利用4時(shí)的第〃個(gè)暗環(huán)與用&時(shí)的第A+1個(gè)暗環(huán)重合，已知透鏡的曲率半徑是

190cm。求用4時(shí)第攵個(gè)暗環(huán)的半徑。

(2)又如在牛頓環(huán)中用波長(zhǎng)為500nm的第5個(gè)明環(huán)與用波長(zhǎng)為4時(shí)的第6

個(gè)明環(huán)重合，求波長(zhǎng)

分析：用牛頓環(huán)暗環(huán)半徑公式尸=麻1，明環(huán)半徑公式廠二”1J板計(jì)

算求得。

解：(1)4的第〃個(gè)暗環(huán)半徑為

rk~#及4

4的第介1個(gè)暗環(huán)半徑為

k=小+1%

兩個(gè)暗環(huán)重合，即勺=4用，由以上式子可得左二3,代入下式

29-3

rk==73X190X10-X600X10-=1.85X10m

(2)由明環(huán)半徑公式r=且波長(zhǎng)為500nm的第5級(jí)明紋與波長(zhǎng)石時(shí)

的第6個(gè)明環(huán)重合。可得

所以

99

A,=—A,=—x500=409.1nm

1111

11.13當(dāng)觀察牛頓環(huán)裝置中的透鏡與玻璃板之間的空間充以某種液體時(shí),

第10個(gè)明環(huán)的直徑由1.40xl0-2]n變?yōu)閉.27x10-2n