大學(xué)物理課后習(xí)題答案詳解

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、(習(xí)題1.1)：一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)函數(shù)為x=2t,y=4t2-8o(1)求質(zhì)點(diǎn)佗軌道方程:

(2)求t=ls和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。

解：⑴由x=2t得,

y=4t2-8可得：y=x2-8即軌道曲線

(2)質(zhì)點(diǎn)的位置：r=2/z+(4r-8)j

由1；=€1"€1，那么速度：v=2z+8(/

由a=du/df那么加速度：。=8/

那么當(dāng)t=ls時(shí)，有尸=21-41v=2f4-8j,a=8j

當(dāng)t=2s時(shí)，有r=4i+8),v=2z+16j,a=8j

2、(習(xí)題1.2)：質(zhì)點(diǎn)沿上在軸正向運(yùn)動(dòng)，加速度a=—Zu,女為常數(shù).設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為為，求運(yùn)

動(dòng)方程x=x").

Vkt

解：-=-kvf—dv=[-kdtv=vne~

dtJ“vJ。

3、一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度為“=4/(SI),/=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位丁網(wǎng)=10m處，初速度w=0.試求其位

置和時(shí)間的關(guān)系式.

解：a/d/=4/dv=4/drfdp=fv=2t2

JoJo

u=dx/d/=2-/山=12/d,A=2?/3+10(SI)

4、一質(zhì)量為〃2的小球在高度力處以初速度+水平拋出，求：

(1)小球的運(yùn)動(dòng)方程；

(2)小球在落地之前的軌跡方程;

dvdv

(3)落地前瞬時(shí)小球的一,

drd/d/

解：(1)x=vot式(1)

y=h--igt2式(2)1、-

r(r)=vorz+(h-5g廠)，

(2)聯(lián)立式(1)＞式(2)得y=h-笠

xvo

)，?=-gt/而落地所用時(shí)間t=所以T-=vo/-V2ghj￥=-g，

(3

drat

v=Jv；+vj=Jv：+(_gt/dv'g"二

dt[喏+3)2]%5+2g/?)%

5、質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為/*=/"+2”,式中，?的單位為m,r的單位為s.求：(1)任一時(shí)

刻的速度和加速度：[2)任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度.

解：1)V=—=2rz+2；a=—=2i

drd/

2).=[(2/)2+4]%=2(產(chǎn)+1)%

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

1、(牛頓定律)質(zhì)量為M的氣球以加速度a勻加速上升，突然一只質(zhì)量為m的小鳥飛到氣球上，并停留

在氣球上。假設(shè)氣球仍能向上加速，求氣球的加速度減少了多少？

解：/為空氣對(duì)氣球的浮力，取向上為正。

分別由圖(a)、(b)可得:

Ma-mg/〃(〃+*)

那么4=-------,ACI=a-a=-------

in+M]m+M0

2、(牛頓定律)兩個(gè)圓錐擺，懸掛點(diǎn)在同一高度，具有不、，("+加應(yīng)同的懸線長(zhǎng)度,

假設(shè)使它們運(yùn)動(dòng)時(shí)兩個(gè)擺球離開地板的高度相同，試證這(b)兩個(gè)擺的周期

相等.

證：設(shè)兩個(gè)擺的擺線長(zhǎng)度分別為乙和/2,擺線與豎直軸之間的夾角分別為a和”,擺線中的張力分別為

E和尸2，那么

F]cos^=0①

尸]sin仇=/(/(sing)②

解得：%=sinaJg/|/cos。]

第一只擺的周期為

同理可得第二只擺的周期

由條件知/]cos仇=/2cos仇，1=心

習(xí)題2.1—2.6

習(xí)題2.1一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為產(chǎn)=400-4xl()5〃3,子彈從槍口

射出時(shí)的速率為300m/s。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：(1)子彈走完槍筒全長(zhǎng)所

用的時(shí)間八12)子彈在槍筒中所受力的沖量/；(3)子彈的質(zhì)量。

解：(1)由尸=400-4xl()5〃3和子彈離開槍口處合力剛好為零，那么可以得到:

b=400-4x10$〃3=。算出t=0.003s<>

(2)由沖量定義:

(3)由動(dòng)量定理：/=「Fdt=AP=mv=0.6N?s

Jo

所以：〃?=0.6/300=0.002依

習(xí)題2.2質(zhì)量為例=1.5kg的物體，用一根長(zhǎng)為

/=1.25m的細(xì)繩懸掛在天花板上.今有一質(zhì)量為〃z

=10g的子彈以u(píng)=500m/s的水平速度射穿物體,

%

習(xí)題2.2圖

剛穿出物體時(shí)子彈的速度大小u=30m/s,設(shè)穿透時(shí)間極短.求:

?1)子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大??；

(2)子彈在穿透過程中所受的沖量.

解：(1)取子彈與物體為研究對(duì)象，子彈前進(jìn)方向?yàn)閤軸正向，因穿透時(shí)間極短，故可

認(rèn)為物體未離開平衡位置.因此,作用于子彈、物體系統(tǒng)上的外力均在豎直方向，故系統(tǒng)在

水平方向動(dòng)量守恒.令子彈穿出時(shí)物體的水平速度為小

有WU)

v-m(iA)-v)/M=3A3m/s

T=Mg+Mtr/l=26.5N

(2)a=-〃以)=-4.7N-s(設(shè)v0方向?yàn)檎较?

負(fù)號(hào)表示沖量方向與V。方向相反.

習(xí)題2.3一人從10m深的井中提水.起始時(shí)桶中裝有10kg的水，桶的質(zhì)量為1kg,

由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水.求水桶勻速地從井中提到井口，人所作的

功.

解：選豎直向上為坐標(biāo)y軸的正方向，井中水面處為原點(diǎn).

由題意知，人勻速提水，所以人所用的拉力產(chǎn)等于水桶的重量

即：F=P=R-ky=mg-0.2gy=107.8—1.96)，

人的拉力所作的功為：

CpHrlO

W=JdW=LFdy=jo(107.8-1.96y)dy=980J

習(xí)題2.4如下圖，質(zhì)量為0.1kg的木塊，在一個(gè)水平面上

和一個(gè)勁度系數(shù)女為20N/m的輕彈簧碰撞，木塊將彈簧由->k原長(zhǎng)壓縮

了x=0.4m.假設(shè)木塊與水平面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)〃為D.25,3

問在將要

發(fā)生碰撞時(shí)木塊的速率u為多少?習(xí)題2.4圖

解：根據(jù)功能原理，木塊在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力所作的功等

于系統(tǒng)(木塊和彈簧)機(jī)械能的增量.由題意有-7>=3公2一(〃山

而力咫

依2

木塊開始碰撞彈簧時(shí)的速率為用出".+￡=5.83環(huán)5

習(xí)題2.5某彈簧不遵守胡克定律.設(shè)施力人相應(yīng)伸長(zhǎng)為x,力與伸K的關(guān)系為

帶入數(shù)據(jù)得匕,=個(gè)2gH,方向沿AC方向

(2)由于物體在水平方向上動(dòng)量守恒，所以

nivccos0=mv,得u=42gHcos9,方向沿CD方向

(3)由于受到豎直的沖力作用，m在C點(diǎn)損失的動(dòng)量即=g/^7sin。，方向豎直向下。

第三章剛體的運(yùn)動(dòng)

書：3.3用落體觀察法測(cè)定飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,是將半徑為R的飛輪支承在。點(diǎn)上，然后在

繞過飛輪的繩子的一端掛一質(zhì)量為機(jī)的重物，令重物以初速度為零下落，帶動(dòng)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)，

記下重物下落的距離和時(shí)間，就可算出飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試寫出它的計(jì)算式。(假設(shè)軸承間

無(wú)摩擦

解：如習(xí)題3.3(b)圖,對(duì)飛輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有

FTR=Ja(1)

對(duì)重物而言，由牛頓定律，有

mg-FT=maFT=FT(2)

由于繩子不可伸長(zhǎng)，因此，有

a=Ra

重物作勻加速下落，那么有

h,=—1at~2⑷

2

由上述各式可解得飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為L(zhǎng)懵F

3.4如圖，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為〃2、半徑為，?的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛

著質(zhì)量為2〃?和〃，的重物，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均

為加廠32,將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為2加和〃，的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加

速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。

T>

解：受力分析如圖

2mg-T2=Inui(I)

-mg=ma(2)

(T2-T)r=Ja(3)

(T-TJr=Ja(4)

a=ra⑸

聯(lián)立a=-g,T=—mg

48

3.6有一質(zhì)量為孫、長(zhǎng)為/的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為〃的水平桌面上，

它可繞通過其端點(diǎn)。且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為%的小滑

塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。小滑塊在碰撞前后的速度

分別為匕和匕，如下圖。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。

(棒繞。點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，='町/2)

3

解：碰撞時(shí)角動(dòng)量守恒

2

m2\\l=imJw-m2v2l

細(xì)棒運(yùn)動(dòng)起來(lái)所受到的摩擦力矩

I.如卜圖,物體1和2的質(zhì)量分別為mi與恤,滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,半

徑為廣，物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為〃，設(shè)繩子與滑輪間無(wú)用對(duì)滑動(dòng)，

滑輪與轉(zhuǎn)軸無(wú)摩擦。求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T,和72。

船俎.〃(仍一呵2)g/7-刖2'/

=俯視圖

能得.a99*\,92

J+mAr~+m2r~J+mxr~+m2r

2^如圖系統(tǒng)中，mi=50kg,m2=40kg,圓盤形滑輪m中6kg,半徑r=0.lm；lW油電黑滑的，傾角0=30°,

繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，轉(zhuǎn)軸摩擦不計(jì)，求：

(1)繩中的張力；(2)設(shè)開始時(shí)g距離地面高度為1m,需多長(zhǎng)時(shí)間g到達(dá)地面？

J=；加/解得。=30憶4//,。=3"2/$2,4=340?/,7；=316N

由〃=%f+=0,所以1=-=0.8165

3.一長(zhǎng)為1m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng).抬起另一端使棒向上與水

—ml2

平面成30°,然后無(wú)初轉(zhuǎn)速地將棒釋放.棒對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為3,求：

⑴放手時(shí)棒的角加速度；(2)棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)的角速度.

,M

解：1、Ct——y

2、機(jī)械能守恒

4.一根長(zhǎng)為/、質(zhì)量為M的勻質(zhì)棒自由懸掛于通過其上端的光滑水平軸上?，F(xiàn)有一

質(zhì)量為m的子彈以水平速度V。射向棒的中心，并以vo/2的水立速度穿出棒，此后棒

的最大偏轉(zhuǎn)角恰為為。，求V。的大小。

mm

I〃”oI\...

角動(dòng)量守恒"2%-=-JtyJ=-M/~2M

2223

\2

機(jī)械能守恒①2=11即也

=Mg；

2322314M/)

5.一根長(zhǎng)為/、質(zhì)量為何的勻質(zhì)棒自由懸掛丁通過其上端的北滑水平軸上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為初二的

6

子彈以水平速度vo射入棒的下端，并留在棒里。此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角恰為60。，求V。。

角動(dòng)量守恒

機(jī)械能守恒

6、如下圖，長(zhǎng)為/的輕桿，兩端各司定質(zhì)量分別為〃7和2機(jī)的小球，桿可繞

1?

水平光滑固定軸。在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為一/和一/.輕

33Q2〃Z

桿原來(lái)靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為〃，的小球，以水平速度名與桿3l

,0

下端小球加作對(duì)心碰撞，碰后以萬(wàn)%的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。畀。

221

解：角動(dòng)量守衡26%/=(―)/nzy+(-)-2mco--ml?—v00二2

333322/

第四章振動(dòng)與波動(dòng)

振動(dòng)局部：習(xí)題4.2、4.4.4.5

習(xí)題4.2一物體沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為().06m,周期為2.0s,當(dāng)/=()時(shí)位移為0.03m,

且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：(1)/=0.5s時(shí)，物體的位移、速度和加速度；(2)物體從-().()3m

處向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)開始，到平衡位置，至少需要多少時(shí)間？

解：(1)由題意知A0.06m、。=24/T=心"由旋轉(zhuǎn)矢量(a)圖可確定初相那么

00=-笈/3，振動(dòng)方程為

x=(0.06/n)cos(4/2-43)=0.052w

v=dx/dt=一(0.06萬(wàn)，〃?『)sin(^-/2-兀［3)=-0.094/???5一’

a=d2x/dr=一(0,06萬(wàn)?s")cos(乃/2—1/3)=-0.513ms~2

(2)質(zhì)點(diǎn)從x=-0.03n1運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過程中，旋轉(zhuǎn)矢量從⑹圖中的位置"轉(zhuǎn)至

位置此矢量轉(zhuǎn)過的角度(即相位差)A(P=5K/6O該過程所需時(shí)間為

習(xí)題4.4某質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的x-t曲線如題圖所示.求：(1)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程;

(2)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)位置所需的最短時(shí)間.

解：(1)設(shè)所求方程為：x=Acos(a)t+(p0)

從圖中可見，

1=0,x0=A/2,v0>0

由旋轉(zhuǎn)矢量法可知I;(p=--

。3

c7T71

乂?/t=Is,(ot--=—

32

571

(0=—

6

,,八5兀兀

故：x=0.1cos(—t--)m

63

(2)P點(diǎn)的相位為0

cot+(p=—t--=0t=0.45

P06P3P

即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)狀態(tài)所要的最短時(shí)間為0.45

習(xí)題4.5一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅為12cm,周期為2s。當(dāng)Z=0時(shí)，位移為6cm,

且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：(1)振動(dòng)表達(dá)式；(2)，=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度;

(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所

需要的時(shí)間.

解：由題A=12X10-2m,T=2.OS

:.3=2兀/T=兀rad?s-

??

又，t=0時(shí)，x0=6cm,%〉。?由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：痣=一(

故振動(dòng)方程為x=0.12cos(m-g)

(2)將t=0.5s代入得

方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向.

⑶由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)

即x產(chǎn)-A/2,Hv<0,故血=2n/3,它回到平衡位置需要走5n/6,所以:

，t=△0/3=(5n/6)/(兀)=5/6s

習(xí)題4.5圖

｛加題)1.有兩個(gè)同方向同頻率的振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為0.2〃?，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)振動(dòng)的相位

差為匯/6,第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173加，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位差。

分析根據(jù)振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。

解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解

取第一個(gè)振動(dòng)的初相位為零，那么合振動(dòng)的相位為。="/6

據(jù)A=A+42可知a=A—A,如圖：

由于不、I、刀的量值恰好滿足勾股定理，

故%與不垂直.

即第二振動(dòng)與第一振動(dòng)的相位差為0=71/2

［加題)2.一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)司方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振亂,一工人小

W=3xl(T2sin(4f-%/6)(S/)畫出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程.

分析須將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程從而確定其特征矢量，畫出矢量圖。

解：巧=3x10"sin(4f—乃/6)

作兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如下圖.

由圖得：合振動(dòng)的振幅和初相分別為

A=(5-3)cm=2cm。=4/3.

合振動(dòng)方程為x=2xIO-cos⑷+n/3)(S/)

解答圖9-27

1加題)3.一物體質(zhì)量為0.25依，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)Z=25N?皿t,如果

起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.06J和動(dòng)能0.02J,求(I)振幅；(2)動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)的位移；(3)經(jīng)

過平衡位置時(shí)物體的速度.

2

解：(1)E=EK+Ep=kA=0.08A==0.08/n

(2)gkF=；k=mc(rm(o2x2="心2A?sin2(<yr+^>)

2x2=A\「.x=±A/夜=±().()566〃？

(3)過平衡點(diǎn)時(shí)，x=0,此時(shí)動(dòng)能等于總能量

E=EK+E=—inv2=0.08A=J=0.8/〃/s

A〃2V0.25

(加題)4.一彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)為k=25N/m,當(dāng)物體以初動(dòng)能0.2J和初勢(shì)能0.6J振動(dòng)時(shí)，求：

(1)振幅是多大？(2)位移多大時(shí),其勢(shì)能和動(dòng)能相等？(3)位移是振幅的一半時(shí)，勢(shì)能是多大？

1、/2(￡,+￡?)

r：(1)彈簧振子的總機(jī)械能為七一/+月,一1必2,故人一｛」_2_己一().253加

(2)E=E.=-E=-M2-kx2=-kA2x=±-A=±0A19m

〃n424242

11A2

(3)E=-kx2=-k——=0.20J

1224

波動(dòng)局部：習(xí)題4.7、4.8、4.10

習(xí)題4.7有一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中傳播，波速〃二100

m/s,波線上右側(cè)距波源O(坐標(biāo)原點(diǎn))為75.()m處的一點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)方程為^=(0.30m)co^s-')r^/2］。求⑴波向x軸正

方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程；(2)波向工軸負(fù)方向傳習(xí)題4.7圖播時(shí)的波動(dòng)

方程。

解：(1)設(shè)以波源為原點(diǎn)。，沿X軸正向傳播的波動(dòng)方程為

將〃=100ns」代人，且取x=75m得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程為

與題意中點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)方程比擬可得/I=0.30m、(0=2?！?、(p0=2兀。那么所求波動(dòng)方

程為

(2)當(dāng)沿*軸負(fù)向傳播時(shí)，波動(dòng)方程為

將x=75m、〃=100〃Z代人后，與題給點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)方程比擬得力二0.30m、CO=2JW\

(P0=-K,那么所求波動(dòng)方程為

討論：對(duì)丁?平面簡(jiǎn)諧波來(lái)說(shuō)，如果波線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求另外點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，也

可用下述方法來(lái)處理：波的傳播是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，波線上各點(diǎn)(包括原點(diǎn))都是重復(fù)波

源質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，只是初相位不同而已。在某點(diǎn)初相。。的前提下，根據(jù)兩點(diǎn)間的相位差

△。=a-%=2的”，即可確定未知點(diǎn)的初相媒。

習(xí)題4.8一沿上正方向傳播的平面余弦波,

題圖所示，且周期7'為2s.

(1)寫出。點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；

(2)寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式；

(3)寫出A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式;

(4)寫出A點(diǎn)離。點(diǎn)的距離。

解：由圖可知A=0.Im,A,=0,4m,由題知T=2s,w=2n/T=n,而u=入/T=0.2m/s0

波動(dòng)方程為：y=0.Icos[n(t-x/0.2)+①0]田關(guān)鍵在于確定0點(diǎn)的初始相位。

(1)由上式可知：0點(diǎn)的相位也可寫成：。二nt+中。

由圖形可知：f時(shí)y產(chǎn)-A/2,VoVO,???此時(shí)的小二2兀/3,

3

將此條件代入，所以：,=〃；十%所以9。=2

。點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=0.Icos[nt+n/3]rn

(2)波動(dòng)方程為：y=0.lcos[n(tx/0.2)?n/3]m

(3)A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式確定方法與0點(diǎn)相似由上式可知：

A點(diǎn)的相位也可寫成：“=nt+<I\0

由圖形可知：/=,s時(shí)y0=0,vQO,??.此時(shí)的“二-兀/2,

3

將此條件代入，所以：一^="2十°A。所以如。=一學(xué)

236

A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式v=0.Icos「冗t_5n/6lm

(4)將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程,可得到A的振動(dòng)方程，與(3)結(jié)果相同,所以：y=0.Icos

[n(t-x/O.2)+n/3]=0.Icos[nt-5冗/6]

7

可得到：x=—=0.233,zz

A30

習(xí)題4.10一平面簡(jiǎn)諧波以速度〃=0.8m/s沿x軸負(fù)

播。原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如下圖。試寫出：

(1)原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；

習(xí)題4.10圖

(2)波動(dòng)表達(dá)式；

(3)同一時(shí)刻相距1m的兩點(diǎn)之間的位相差。

解：(1)由圖可知A=().5cm,原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：y=Acos(at+6)

t=Os時(shí)y=A/2v>0可知其相位為。二-衛(wèi)

3

t=ls時(shí)y=0v<0可知其相位為。尸三

2

代入振動(dòng)方程,(|)=----G)+(I)=—

32

_5冗

可得:GJ二.T=2n/0=12/5

6

那么y=0.5cos(—t)cm

63

⑵沿“軸負(fù)方向傳播,波動(dòng)表達(dá)式：…用(t+.火]cm

(3)根據(jù)的T=12/5,u=0.8m/s,可知：2=—m

25

那么同一時(shí)刻相距Im的兩點(diǎn)之間的位相差：“=2吟=崇=3.27rad

(加題)1.如圖，一平面波在介質(zhì)中以波速〃=20m/s沿x地負(fù)方向傳播，A點(diǎn)的振動(dòng)方程為

y=3xIO-2cos4^r(S/)..〃

(1)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波方程；BA

(2)以距A點(diǎn)5m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波方程.1題圖

解：(1)坐標(biāo)為x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位為

波的表達(dá)式為y=3X10-2COS44Z+(x/20)](S/)

x—5

(2)以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么坐標(biāo)為x點(diǎn)的振動(dòng)相位為cot+8'=4加/+

~20~KS/)

波的表達(dá)式為y=3x10-2cos4^r+

(加題)2.一平面諧波沿ox軸的負(fù)方向傳播，波長(zhǎng)為入，P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律如題圖6—10所示.

求：

(1)P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；

(2)此波的波動(dòng)方程；

（3）假設(shè)圖中2=4/2,求0點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程.

分析首先由振動(dòng)規(guī)律結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量圖可得P點(diǎn)振動(dòng)的初相與周期，從而得到其振動(dòng)方程。波動(dòng)方程

那么由P與原點(diǎn)的距離直接得到。波動(dòng)方程中直接代入某點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出該點(diǎn)的振動(dòng)方程。

解：（1）從圖中可見7=4s,且r=O,）i，=-A,.?.%=不，那么P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為

yp=ACOS（gt+7T）=ACOS（yt+7T）（SI）;

（2）向負(fù)方向傳播的波動(dòng)方程為\>

o7i\7

[3）把d=/U2,x=0代入波動(dòng)方程即得7

（加題〕3.兩波在一很長(zhǎng)的弦線上傳播，其波方程分別為：d、|

求：（1）兩波的頻率、波長(zhǎng)、波送；（2）兩波疊加后的波節(jié)位置；-......>（3）疊加后

oPX

振幅最大的那些點(diǎn)的位置.

解：⑴與波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式>=Acos2i（i7-x//l）比照可得：題圖6/0

v-4Hz,A=1.50/??.波速u=Av=6.00m/s

⑵波節(jié)位置47rx/3=±（〃乃+1））即工=±2（〃+，）m,n=0,1,2...

242

⑶波腹位置47txi3=±〃萬(wàn)即x=±3〃/4m,n=0,1,2...

第11章作業(yè)

11.2在雙縫裝置中，用一很薄的云母片（〃=1.58）

蓋其中的一條狹縫，這時(shí)屏幕上的第七級(jí)明條紋恰好移到

幕中央（原零級(jí)明條紋）的位置。如果入射光的波長(zhǎng)為

5.50nm,那么這云母片的厚度應(yīng)為多少？

分析：云母片覆蓋前，零級(jí)明條紋在屏幕上（）點(diǎn)。覆

后，衍射條紋移動(dòng)了7條，即第七條明條紋位于。點(diǎn)。由

程差的變化計(jì)算介質(zhì)厚度。習(xí)題11.2圖

解：覆蓋前，兩光到達(dá)0點(diǎn)的光程差為

司一々一，i一。⑴

覆蓋后，兩光到達(dá)0點(diǎn)的光程差為

t>2=（/\-e）+ne-=7/1（2）

⑵式與（1）式作差，可得

所以

二7x550x10-9

=6.64xIO-6m

n-11.58-1

11.3在雙縫實(shí)驗(yàn)中，入射光是由波長(zhǎng)4=550nm和另一束未知波長(zhǎng)4兩種成分合成的

復(fù)色光。雙縫間距為0.6mm,屏和縫的距離為1.2m,求屏上4的第三級(jí)明紋中心的位置。

假設(shè)屏上4的第六級(jí)明紋中心和未知的4的第五級(jí)明紋中心重合，求未知波長(zhǎng)4。

分析：由明紋中心位置公式％=攵24可得。

d

解：第三級(jí)明紋中心位置

,,1.2x550xlO-9「

x=k=3x-------------——=3.3mm

d0.6x10-:3

4的第六級(jí)明紋中心和未知的4的第五級(jí)明紋中心重合，即它們具有相同的衍射角

所以

4=44=4x550=660nm

11.5一薄玻璃片，厚度為0.40Nm,折射率為1.5,置于空氣中。用白光垂直照射,

問在可見光的范圍內(nèi)，哪些波長(zhǎng)的光在反射中加強(qiáng)？哪些波長(zhǎng)的光在透射中加強(qiáng)?

分析：分別應(yīng)用反射光和透射光在等傾干預(yù)中加強(qiáng)的條件求得。

解：反射加強(qiáng)的條件為

由此得

僅當(dāng)％=3時(shí)，4為可見光，因此求得

4x1.50x0.40

4=------------------=480nm

2x3-1

透射加強(qiáng)的條件即反射減弱的條件，即

由此得

當(dāng)攵=2時(shí)，

、4x1.50x0.40/八八

X=-----------------=600nm

2x2

當(dāng)％=3時(shí)，

14x1.50x0.40S八

義=-----------=400nm

2x3

波長(zhǎng)為480nm的可見光在反射中加強(qiáng)，波長(zhǎng)為600nm和400nm的可見光在透射中加

強(qiáng)。

11.6一單色九垂直照射在厚度均勻的薄油膜上，油膜覆蓋在玻璃板上。油的折射率

為1.3,玻璃的折射率為1.5,假設(shè)單色光的波長(zhǎng)可由光源連續(xù)可調(diào)，并觀察到500nm與

700nm這兩個(gè)波長(zhǎng)的單色光在反射中消失，求油膜的厚度。

分析：由于玻璃的折射率%大于油的折射率%,光線在油膜上，下外表反射時(shí)都存在

半波損失，那么光程差為5=2根。設(shè)4=%X)nm的光在k級(jí)干預(yù)相消，那么對(duì)于%=7(X)nm

的光在第任-1)級(jí)干預(yù)相消。

解：對(duì)4=500nm的光在攵級(jí)干預(yù)相消，有

2(1\

2呼=(2%+1)寸=1%+,4(1)

對(duì)4=700nni的光在第(2-1)級(jí)干預(yù)相消，有

由(1)、(2)式解得

{k+-4|3+-x500

e=~~2----=673.1nm

2n}2x1.30

11.7有一玻璃劈尖，玻璃的折射率為1.5,劈尖夾角。=5x10-5rad0用單色光垂直

照射，測(cè)得相鄰兩條明紋間的距離/=3.64xl0-3m,求此單色光的波長(zhǎng)。

分析：由相鄰兩明紋間的距離公式可得。

解：相鄰兩明紋的距離為

/=--—,

2〃sin0

因?yàn)?。很小，所以sinJa。，那么

所以，

=2xl.5x3.64xl0-3x5xl0-5

=546nm

11.11在折射率％=152的照相機(jī)鏡頭外表鍍有一層折射率%=L38的小明增透膜,

如果此膜適用于波長(zhǎng)/L=550nm的光，問膜的最小厚度應(yīng)是多少？

分析：由薄膜干預(yù)公式可得。

解：對(duì)穿過增透膜的透射光而言，兩相十光的光程差為2〃e+Z,為使給定波長(zhǎng)的透射

2

光增強(qiáng)，應(yīng)滿足條件

當(dāng)攵=1時(shí)，對(duì)應(yīng)膜的最小厚度

^=550nm,/?2=1.38,由此可以算出膜的最小厚度

e=-----=99.4nm

47?7

11.12(1)假設(shè)用波長(zhǎng)不同的光觀察牛頓環(huán)，4=6(X)nm,^=450nm,觀察利用％時(shí)

的第4個(gè)暗環(huán)與用4時(shí)的第〃+1個(gè)暗環(huán)重合，透鏡的曲率半徑是190c%求用4時(shí)第攵個(gè)

暗環(huán)的半徑。

(2)又如在牛頓環(huán)中用波長(zhǎng)為500nm的第5個(gè)明環(huán)與用波長(zhǎng)為不時(shí)的第6個(gè)明環(huán)重合,

求波長(zhǎng)不。

分析：用牛頓環(huán)暗環(huán)半徑公式廠=而1,明環(huán)半徑公式廠計(jì)算求得。

解：(1)4的第4個(gè)暗環(huán)半徑為

辦的第A+1個(gè)喑環(huán)半徑為

兩個(gè)暗環(huán)重合，即〃=&1，由以上式子可得攵=3,代入下式

〃=珞=V3X190X10-2X600X10-9=1.85xlO-3m

(2)由明環(huán)半徑公式—=/攵-￡|以，且波長(zhǎng)為500n門的第5級(jí)明紋與波長(zhǎng)4時(shí)的第6個(gè)

明環(huán)重合?？傻?/p>

所以

99

%=—2=—x500=409.1nm

1111

11.13當(dāng)觀察牛頓環(huán)裝置中的透鏡與玻璃板之間的空間充以某種液體時(shí)，第10個(gè)明

環(huán)的直徑由1.4()x1(T2nl變?yōu)椋?27x10-2nb試求這種液體的折射率。

分析：當(dāng)透鏡與與平板玻璃間充滿某種液體(%>1)，且滿足

或時(shí)，在厚度為e的地方，兩相十光的光程差為△=2%e+g。由此可推導(dǎo)出

和明環(huán)半徑—二上總12,這里明，暗環(huán)半徑和充入的介質(zhì)折

牛頓環(huán)暗環(huán)半徑，?二

射率〃2有關(guān)。在牛頓環(huán)公式中，假設(shè)介質(zhì)不均勻或分析的是透射光而不是反射光，那么關(guān)

于暗環(huán)，明環(huán)半徑的公式與教材中的公式是不同的。

解：當(dāng)透鏡與玻璃之間為空氣時(shí)，攵級(jí)明紋的直徑為

當(dāng)透鏡與玻璃之間為液體時(shí)，攵級(jí)明紋的直徑為

解上述兩式得

11.17波長(zhǎng)4=500nm的平行單色光，垂直入射到寬度為。=0.25mm的單縫上，緊靠

單縫后放一凸透鏡，如果置于焦平面處的屏上中央明紋兩側(cè)的第三級(jí)暗紋之間的距離是3mm,

求透鏡焦距。

分析，由單縫衍射暗紋條件及暗紋到中心的距離可求焦距.

解：設(shè)第3級(jí)暗紋在小方向上，那么有

此暗紋到中心的距離為

因?yàn)椤?很小，可認(rèn)為tanQ=sin03，所以

兩側(cè)第三級(jí)暗紋的距離為

2X3=6"/。=3mm

所以

（2占卜以

f=-——=25cm

62

11.18一單色平行光垂直入射一單縫，其衍射第三級(jí)明紋位置恰與波長(zhǎng)為600nm的單

色光垂直入射該縫時(shí)，衍射的第二級(jí)明紋位置重合，試求該單色光波長(zhǎng)。

分析：所求單色光的第三級(jí)明紋位置與波長(zhǎng)為600nm單色光的第二級(jí)明紋位置重合，

說(shuō)明它們具有相同的衍射角。

解：?jiǎn)慰p衍射明紋位置由〃sine=（2左+1）日確定，所以有

對(duì)于波長(zhǎng)未知的光4，

2

々sin/=（2x3+1）反⑴

對(duì)于波長(zhǎng)為，2=600nni的光,

〃sin仍=(2x2+

sin夕3=sin(p2

由(1)、(2)式可得，

、5、5x600

九I=一九)=-----=428.6nm

1727

11.19波長(zhǎng)為600nm的單色光垂直入射在一光柵上,第二級(jí)明紋出現(xiàn)在sino=0.2處,

第四級(jí)缺級(jí)。試問：

(1)光柵常數(shù)卅力W

(2)光柵上狹縫的最小寬度a=?

(3)按上述選的(研6)和a,求出在屏幕上實(shí)際呈現(xiàn)的全部衍射明紋的級(jí)次。

分析：應(yīng)用光柵公式和缺級(jí)條件可得。

解：(1)由光柵方程

(2)由缺級(jí)條件

且第四級(jí)缺級(jí)，得

當(dāng)女丁1時(shí)，a有最小值

$=1.5xl(r6m

(3)當(dāng)sin。=1時(shí)，攵有最大值

因?yàn)楫?dāng)6=90’時(shí)是看不到衍射條紋的，且Z=±4,±8時(shí)缺級(jí)。

能看到的明紋級(jí)數(shù)為

11.20用一束具有兩種波長(zhǎng)的平行光垂直入射在光柵上，^=60()nm,A2=<X)nm,

現(xiàn)距中央明紋5cm處4光的々級(jí)明紋和4光的第4+1級(jí)明紋相重合，假設(shè)所用透鏡的焦距

/=50cm,試問：

⑴上述的女十

(2)光柵常數(shù)a+b=?

分析：4光的々級(jí)明紋和冬光的第代1級(jí)明紋相重合，即它們的衍射角相同。

解：(1)由題意，4的k級(jí)與4的(k+i)級(jí)譜線相重合，即它們衍射角相同

所以

dsin.=,dsin(p2=(Z+1)A2,

得

⑵因x//很小，tan^?sin^(?x/f

所以d=24//x=l.2X10tcm

11.28兩偏振片的偏振化方向成30°夾角時(shí)，透射光的強(qiáng)度為人假設(shè)入射光不變

而使兩偏振片的偏振化方向之間的夾角變?yōu)?5°,那么透光強(qiáng)度將如何變化？

分析：由馬呂斯定律求得。

解?由馬呂斯定律，

兩偏振片的偏振化方向成30°夾角時(shí)，

2

/,=/0cosa](1)

兩偏振片的偏振化方向之間的夾角變?yōu)?5°,

2

/2=/0cosa2⑵

由⑴、(2)得

11.29一束自然光入射到一組偏振片上