第11章決策分析-運(yùn)籌學(xué)課件

運(yùn)籌學(xué)講授：畢德春

12/18/20241第11章決策分析決策這個(gè)詞人們并不陌生，它是在人們的政治、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)和日常生活中，為了達(dá)到預(yù)期的目的，從所有的可供選擇的多個(gè)方案中，找出最滿(mǎn)意的（最優(yōu)的）方案的一種活動(dòng)。決策具有抉擇、決定的意思。古今中外的許多政治家、軍事家、外交家、企業(yè)家都曾做出過(guò)許許多多出色的決策，至今被人們所稱(chēng)頌。決策的正確與否會(huì)給國(guó)家、企業(yè)、個(gè)人帶來(lái)重大的經(jīng)濟(jì)損失或豐厚的利益。在國(guó)際市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)中，一個(gè)錯(cuò)誤的決策可能會(huì)造成幾億、幾十億甚至更多的損失。真可謂一著不慎，滿(mǎn)盤(pán)皆輸。12/18/20242關(guān)于決策的重要性，著名的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獲獎(jiǎng)?wù)呶髅桑℉.A.Simon）有一句名言：“管理就是決策，管理的核心就是決策”決策是一種選擇行為的全部過(guò)程，其中最關(guān)鍵的部分是回答“是”與“否”。決策分析在經(jīng)濟(jì)及管理領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用，在投資、產(chǎn)品開(kāi)發(fā)、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)、項(xiàng)目可行性研究等方面的應(yīng)用都取得過(guò)輝煌的成就。決策科學(xué)本身內(nèi)容也非常廣泛，包括決策數(shù)量化方法、決策心理學(xué)、決策支持系統(tǒng)、決策自動(dòng)化等。決策分析是在應(yīng)用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)原理相結(jié)合的基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的。最早產(chǎn)生的決策內(nèi)容是經(jīng)濟(jì)批量模型、盈虧臨界點(diǎn)分析、邊際分析和產(chǎn)品質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)決策方法等。以后由于運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的深入應(yīng)用，使得人們從經(jīng)驗(yàn)決策逐步過(guò)渡到科學(xué)決策，產(chǎn)生了自成體系的決策理論。12/18/20243問(wèn)題的確定方案的設(shè)計(jì)方案選優(yōu)實(shí)施選定的方案并修改調(diào)整決策過(guò)程12/18/20244例11.1一個(gè)車(chē)隊(duì)早晨出發(fā)，要選擇是否帶雨布。這里有兩種可選擇的行動(dòng)方案（決策）：帶雨布或不帶雨布。同時(shí)也有兩種可能的自然狀態(tài)：下雨或不下雨。若車(chē)隊(duì)采用帶雨布的方案，但天沒(méi)下雨，則因雨布占用一定裝載容量，會(huì)使車(chē)隊(duì)受到兩個(gè)單位的損失。其他情況如下表問(wèn)：應(yīng)如何決策可使損失最少？05不帶雨具（）20帶雨具（）不下雨（）下雨（）自然狀態(tài)決策12/18/20245一個(gè)完整的決策有五個(gè)要素：決策者，可以是個(gè)人或集體；至少有兩個(gè)以上可供選擇的方案；存在不依決策者主觀(guān)意志為轉(zhuǎn)移的客觀(guān)環(huán)境條件；可以測(cè)知各個(gè)方案與可能出現(xiàn)的狀態(tài)的相應(yīng)結(jié)果；衡量各種結(jié)果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。12/18/20246確定型決策不確定型決策風(fēng)險(xiǎn)型決策競(jìng)爭(zhēng)型決策按問(wèn)題性質(zhì)和條件劃分，決策可分為：12/18/20247例11.2某工廠(chǎng)生產(chǎn)某產(chǎn)品，有三種方案Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ可供選擇。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該產(chǎn)品市場(chǎng)銷(xiāo)路有好、一般、差三種狀態(tài)，它們發(fā)生的概率分別為0.3，0.5，0.2。第i種方案在第j狀態(tài)下的收益值見(jiàn)下表，問(wèn)該工廠(chǎng)廠(chǎng)長(zhǎng)應(yīng)采用何種方案生產(chǎn)，使收益值最大？自然狀態(tài)及概率

決策產(chǎn)品銷(xiāo)路好S1

P(S1)=0.3產(chǎn)品銷(xiāo)路中S2P(S2)=0.5產(chǎn)品銷(xiāo)路差S3P(S3)=0.2按第Ⅰ種方案生產(chǎn)A1按第Ⅱ種方案生產(chǎn)A2按第Ⅲ種方案生產(chǎn)A3504030303530152528表中的數(shù)據(jù)為收益值。12/18/20248主要概念自然狀態(tài)：決策過(guò)程中那些必須考慮的不依人們的主觀(guān)意志為轉(zhuǎn)移的客觀(guān)條件，又稱(chēng)不可控因素。一般記Sj，j=1,2,…n.2.狀態(tài)概率：即自然狀態(tài)出現(xiàn)的可能性大小P（Sj）。3.策略：可供決策者進(jìn)行決策選擇的各個(gè)行動(dòng)方案稱(chēng)為策略或方案，方案為可控因素，一般記為Ai若將Ai看成一個(gè)變量，則Ai稱(chēng)為決策變量.所有可供選擇的方案組成的方案集稱(chēng)為決策集：12/18/202494.益損值和益損陣：每個(gè)策略在自然狀態(tài)下的經(jīng)濟(jì)收益或損失值稱(chēng)為益損值。一般用表示。將益損值按原有的順序構(gòu)成的矩陣稱(chēng)作益損陣。記作其中，>0為效益值，<0為損失值。12/18/2024105.益損函數(shù)與決策模型：決策的目標(biāo)要能夠度量，度量決策目標(biāo)的函數(shù)為益損函數(shù)S。確定型決策簡(jiǎn)介：當(dāng)面臨的決策問(wèn)題具備下述條件時(shí)，可作為確定性決策問(wèn)題來(lái)處理：①存在一個(gè)明確的決策目標(biāo)。②只存在一個(gè)確定的自然狀態(tài)，或存在多個(gè)可能的自然狀態(tài)，但通過(guò)調(diào)查研究分析最后可確定一個(gè)狀態(tài)會(huì)發(fā)生。③存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的行動(dòng)方案。④每個(gè)行動(dòng)方案在確定的自然狀態(tài)下的益損值為已知（或可求出）。12/18/202411方案狀態(tài)風(fēng)險(xiǎn)性決策表12/18/202412例11.3某市的自行車(chē)廠(chǎng)準(zhǔn)備上一種新產(chǎn)品，現(xiàn)有三種類(lèi)型的自行車(chē)可選擇：載重車(chē)A1，輕便車(chē)A2，山地車(chē)A3。根據(jù)以往的情況與數(shù)據(jù)，產(chǎn)品在暢銷(xiāo)S1，一般S2及滯銷(xiāo)S3下的益損值如下表自然狀態(tài)

決策暢銷(xiāo)S1

一般S2滯銷(xiāo)S3

生產(chǎn)載重車(chē)A1

生產(chǎn)輕便車(chē)A2

生產(chǎn)山地車(chē)A3

708055608045152540問(wèn)該廠(chǎng)應(yīng)如何選擇方案可使該廠(chǎng)獲得的利潤(rùn)最大？解：這本是一個(gè)面臨三種自然狀態(tài)和三個(gè)行動(dòng)方案的決策問(wèn)題，該廠(chǎng)通過(guò)對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查及對(duì)市場(chǎng)發(fā)展趨勢(shì)分析，得出的結(jié)論是：今后5年內(nèi)，該市場(chǎng)急需自行車(chē)，銷(xiāo)路極好。因此問(wèn)題就從三種自然狀態(tài)變?yōu)橹挥幸环N自然狀態(tài)（暢銷(xiāo)）的確定型問(wèn)題，且該廠(chǎng)選擇新上輕便產(chǎn)品的方案為最佳方案在未來(lái)5年內(nèi)產(chǎn)品暢銷(xiāo)的話(huà)，年利潤(rùn)為80萬(wàn)元。12/18/202413風(fēng)險(xiǎn)型決策風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題須具備以下幾個(gè)條件：①有一個(gè)決策目標(biāo)（如收益較大或損失較?。?。②存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的行動(dòng)方案。③存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然狀態(tài)。④決策者通過(guò)計(jì)算、預(yù)測(cè)或分析等方法，可以確定各種自然狀態(tài)未來(lái)出現(xiàn)的概率。⑤每個(gè)行動(dòng)方案在不同自然狀態(tài)下的益損值可以計(jì)算出來(lái)。12/18/202414不確定型決策不確定型決策問(wèn)題須具備以下幾個(gè)條件：①有一個(gè)決策希望達(dá)到的目標(biāo)（如收益最大或損失較?。?。②存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的行動(dòng)方案。③存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然狀態(tài)，但是既不能確定未來(lái)和中自然狀態(tài)必然發(fā)生，又無(wú)法得到各種自然狀態(tài)在未來(lái)發(fā)身個(gè)概率。④每個(gè)行動(dòng)方案在不同自然狀態(tài)下的益損值可以計(jì)算出來(lái)。對(duì)于不確定型決策問(wèn)題，由一些常用的決策方法，或稱(chēng)為不確定型決策準(zhǔn)則。對(duì)于具有不同心理狀態(tài)、冒險(xiǎn)精神的人，12/18/202415一、悲觀(guān)準(zhǔn)則（max-min準(zhǔn)則）悲觀(guān)準(zhǔn)則又稱(chēng)華爾德準(zhǔn)則或保守準(zhǔn)則，按悲觀(guān)準(zhǔn)則決策時(shí)，決策者是非常謹(jǐn)慎保守的，為了“保險(xiǎn)”，從每個(gè)方案中選擇最壞的結(jié)果，在從各個(gè)方案的最壞結(jié)果中選擇一個(gè)最好的結(jié)果，該結(jié)果所在的方案就是最優(yōu)決策方案。例11.4設(shè)某決策問(wèn)題的決策收益表為狀態(tài)方案S1S2S3S4A1A2A3A4A54253354755663657958542333u（A1）=min{4,5,6,7}=4u（A2）=min{2,4,6,9}=2u（A3）=min{5,7,3,5}=3u（A4）=min{3,5,6,8}=3u（A5）=min{3,5,5,5}=312/18/202416所以為最優(yōu)方案。因一般的，悲觀(guān)準(zhǔn)則可用下式表示試按悲觀(guān)準(zhǔn)則確定其決策方案。12/18/202417一般的，樂(lè)觀(guān)準(zhǔn)則可用下式表示狀態(tài)方案S1S2S3S4A1A2A3A4A542533547556636579585799785例11.5設(shè)某決策問(wèn)題的決策收益表為試按樂(lè)觀(guān)準(zhǔn)則確定其決策方案。所以A2為最優(yōu)方案。因二.樂(lè)觀(guān)準(zhǔn)則（max-max準(zhǔn)則）當(dāng)決策者對(duì)客觀(guān)狀態(tài)的估計(jì)持樂(lè)觀(guān)態(tài)度時(shí)，可采用這種方法。此時(shí)決策者的指導(dǎo)思想是不放過(guò)任何一個(gè)可能獲得的最好結(jié)果的機(jī)會(huì)，因此這是一個(gè)充滿(mǎn)冒險(xiǎn)精神的決策者。12/18/202418三.折衷準(zhǔn)則折衷準(zhǔn)則又稱(chēng)樂(lè)觀(guān)系數(shù)準(zhǔn)則或赫威斯準(zhǔn)則，是介于悲觀(guān)準(zhǔn)則與樂(lè)觀(guān)準(zhǔn)則之間的一個(gè)準(zhǔn)則。若決策者對(duì)客觀(guān)情況的評(píng)價(jià)既不樂(lè)觀(guān)也不悲觀(guān)，主張將樂(lè)觀(guān)與悲觀(guān)之間作個(gè)折衷，具體做法是取一個(gè)樂(lè)觀(guān)系數(shù)α(0<α<1)來(lái)反映決策者對(duì)狀態(tài)估計(jì)的樂(lè)觀(guān)程度，計(jì)算公式如下?tīng)顟B(tài)方案S1S2S3S4A1A2A3A4A542533547556636579585例11.6設(shè)某決策問(wèn)題的決策收益表為試按折衷準(zhǔn)則確定其決策方案。12/18/202419狀態(tài)方案S1S2S3S4A1A2A3A4A542533547556636579585解：若取樂(lè)觀(guān)系數(shù)12/18/202420四.等可能準(zhǔn)則等可能準(zhǔn)則又稱(chēng)機(jī)會(huì)均等法或稱(chēng)拉普拉斯(Laplace)準(zhǔn)則，它是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家Laplace提出的。他認(rèn)為：當(dāng)決策者面對(duì)著n種自然狀態(tài)可能發(fā)生時(shí)，如果沒(méi)有充分理由說(shuō)明某一自然狀態(tài)會(huì)比其他自然狀態(tài)有更多的發(fā)生機(jī)會(huì)時(shí)，只能認(rèn)為它們發(fā)生的概率是相等的，都等于1/n。計(jì)算公式如下12/18/202421狀態(tài)方案S1S2S3S4A1A2A3A4A542533547556636579585例11.7設(shè)某決策問(wèn)題的決策收益表為試按等可能準(zhǔn)則確定其決策方案。解：按等可能準(zhǔn)則此一問(wèn)題的每種狀態(tài)發(fā)生的概率為12/18/202422狀態(tài)方案S1S2S3

S4A1A2A3A4A5425335475566365795855.505.255.005.504.5012/18/202423考慮它們的界差：界差越小，方案越優(yōu)。有兩個(gè)最大期望益損值方案，哪一個(gè)更優(yōu)？12/18/202424五.遺憾準(zhǔn)則遺憾準(zhǔn)則又稱(chēng)最小最大沙萬(wàn)奇（Savage)遺憾準(zhǔn)則或后悔準(zhǔn)則。當(dāng)決策者在決策之后，若實(shí)際情況出現(xiàn)時(shí)并不理想，決策者有后悔之意，而實(shí)際出現(xiàn)狀態(tài)可能達(dá)到的最大值與決策者得到的收益值之差越大，決策者的后悔程度越大。因此可用每一狀態(tài)所能達(dá)到的最大值（稱(chēng)作該狀態(tài)的理想值）與其他方案（在同一狀態(tài)下）的收益值之差定義該狀態(tài)的后悔值向量。對(duì)每一狀態(tài)作出后悔值向量，就構(gòu)成后悔值矩陣。對(duì)后悔值矩陣的每一行及對(duì)應(yīng)每個(gè)方案求初其最大值，再在這些最大值中求出最小值所對(duì)應(yīng)的方案，即為最優(yōu)方案。計(jì)算公式如下12/18/202425⑴⑵⑶最優(yōu)方案為先取每一列中最大值，用這一最大之減去次列的各個(gè)元素。再取結(jié)果的最大值。12/18/202426狀態(tài)方案S1S2

S3

S4A1A2A3A4A542533547556636579585799785例11.8設(shè)某決策問(wèn)題的決策收益表為試按遺憾準(zhǔn)則確定其決策方案。解：先計(jì)算后悔值矩陣：狀態(tài)方案S1S2S3S4A1A2A3A4A5130222302200301204142*3342*4最優(yōu)方案為1或4。12/18/202427方案準(zhǔn)則A1A2A3A4A5悲觀(guān)準(zhǔn)則樂(lè)觀(guān)準(zhǔn)則折衷準(zhǔn)則等可能準(zhǔn)則遺憾準(zhǔn)則

一般來(lái)講，被選中多的方案應(yīng)予以?xún)?yōu)先考慮。12/18/2024281、最大收益期望值決策準(zhǔn)則法若離散性隨機(jī)變量的分布列為則有11.3風(fēng)險(xiǎn)情況下的決策12/18/202429若我們把每個(gè)行動(dòng)方案看作是離散型隨機(jī)變量，其取值就是在每個(gè)狀態(tài)下相應(yīng)的益損值。方案狀態(tài)風(fēng)險(xiǎn)性決策表12/18/202430則第i個(gè)方案的益損期望值為（1）式表示行動(dòng)方案在各種不同狀態(tài)下的益損平均值（可能平均值）。所謂期望值法，就是把各個(gè)行動(dòng)方案的期望值求出來(lái)，進(jìn)行比較。如果決策目標(biāo)是收益最大，則期望值最大的方案為最優(yōu)方案：如果決策目標(biāo)是收益最小，則期望值最小的方案為最優(yōu)方案：12/18/202431例11.9某公司擁有一塊可能有油的土地，根據(jù)可能出油的多少，該塊土地屬于四種類(lèi)型：可產(chǎn)油50萬(wàn)桶、20萬(wàn)桶、5萬(wàn)桶、無(wú)油。公司目前有3個(gè)方案可供選擇：自行鉆進(jìn)；無(wú)條件將該塊土地出租給其他使用者；有條件的租給其他生產(chǎn)者。若自行鉆井，打出一口有油井的費(fèi)用是10萬(wàn)元，打出一口無(wú)油井的費(fèi)用是7.5萬(wàn)元，每一桶油的利潤(rùn)是1.5萬(wàn)。若無(wú)條件出租，不管出油多少，公司收取固定租金4.5萬(wàn)元；若有條件出租，公司不收取租金，但當(dāng)產(chǎn)量為20萬(wàn)桶至50萬(wàn)桶時(shí)，每桶公司收取0.5元。由上計(jì)算得到該公司可能的利潤(rùn)收入見(jiàn)下表。按過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，該塊土地屬于上面4種類(lèi)型的可能性分別為10%，15%，25%和50%。問(wèn)題是該公司應(yīng)選擇哪種方案，可獲得最大利潤(rùn)？石油公司可能利潤(rùn)收入表（單位：萬(wàn)元）類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1P1=0.120萬(wàn)桶S2P2=0.155萬(wàn)桶S3P3=0.25無(wú)油S4P4=0.5自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.5012/18/202432解：各個(gè)方案的期望收益為根據(jù)期望收益最大原則，應(yīng)選擇，即自行鉆井。12/18/202433例11.10設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題的收益如表所示。狀態(tài)方案狀態(tài)S1P(S1)=0.7狀態(tài)S2P(S2)=0.3AB500-150-2001000求期望收益最大的決策方案。解：根據(jù)收益值最大原則，由應(yīng)選擇A。但如果狀態(tài)出現(xiàn)的概率由0.7變到0.6，則由12/18/202434可知，最優(yōu)方案應(yīng)為B。這說(shuō)明，概率參數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致決策結(jié)果的變化。設(shè)α為狀態(tài)出現(xiàn)的概率，則方案A和B的期望收益為：為觀(guān)察α的變化如何對(duì)決策產(chǎn)生影響，令得到解得稱(chēng)為轉(zhuǎn)折概率。當(dāng)α>0.65時(shí)，應(yīng)選擇方案A。當(dāng)α<0.65時(shí)，應(yīng)選擇方案B.在實(shí)際工作中，可把狀態(tài)概率、益損值等在可能的范圍內(nèi)作幾次變動(dòng)，分析一下這些變動(dòng)會(huì)給期望益損值和局策結(jié)果帶來(lái)的影響。如果參數(shù)稍微變動(dòng)而最優(yōu)結(jié)果不，則這個(gè)方案是比較穩(wěn)定的；反之，如果參數(shù)稍微變動(dòng)使最優(yōu)方案改變，則原最優(yōu)方案是不穩(wěn)定的，須進(jìn)行進(jìn)一步的分析。12/18/202435決策樹(shù)法：實(shí)際中的決策問(wèn)題往往是多步?jīng)Q策問(wèn)題，每走一步選擇一個(gè)決策方案，下一步的決策取決于上一步的決策及其結(jié)果。因而是多階段決策問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題一般不便用決策表類(lèi)表示，常用的方法是決策樹(shù)法。12/18/202436如果研制開(kāi)發(fā)成功，該開(kāi)發(fā)公司可得60萬(wàn)元。如果合同中標(biāo)，但未研制開(kāi)發(fā)成功，則開(kāi)發(fā)公司須賠償10萬(wàn)元。問(wèn)題是要決策：①是否要參加投標(biāo)？②若中標(biāo)了，采用哪一種方法研制開(kāi)發(fā)？例11.11某開(kāi)發(fā)公司擬為一企業(yè)承包新產(chǎn)品的研制與開(kāi)發(fā)任務(wù)，但為得到合同必須參加投標(biāo)。已知投標(biāo)的準(zhǔn)備費(fèi)用4萬(wàn)元，中標(biāo)的可能性是40%，如果不中標(biāo)，準(zhǔn)備費(fèi)得不到補(bǔ)嘗。如果中標(biāo)，可采用兩種方法研制開(kāi)發(fā)：方法1成功的可能性為80%，費(fèi)用為26萬(wàn)元；方法2成功的可能性為50%，費(fèi)用為16萬(wàn)元。12/18/202437AB投標(biāo)不投標(biāo)C中標(biāo)P=0.4-4萬(wàn)DE-26萬(wàn)方法1方法2-16萬(wàn)不中標(biāo)0P=0.6成功P=0.860萬(wàn)P=0.2失敗0-10萬(wàn)成功60萬(wàn)不成功-10萬(wàn)P=0.5P=0.5注：決策點(diǎn)；狀態(tài)點(diǎn)；結(jié)果點(diǎn)。決策樹(shù)一.畫(huà)出決策樹(shù)12/18/202438AB投標(biāo)不投標(biāo)C中標(biāo)P=0.4-4萬(wàn)DE-26萬(wàn)方法1方法2-16萬(wàn)25萬(wàn)不中標(biāo)0P=0.646萬(wàn)成功P=0.860萬(wàn)P=0.2失敗0-10萬(wàn)成功60萬(wàn)不成功-10萬(wàn)P=0.5P=0.5二.剪枝決策樹(shù)從左到右畫(huà)出，剪枝從右到左，從樹(shù)的末梢開(kāi)始①計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的期望收益。12/18/202439AB投標(biāo)不投標(biāo)C中標(biāo)20萬(wàn)P=0.4-4萬(wàn)DE-26萬(wàn)方法1方法2-16萬(wàn)25萬(wàn)不中標(biāo)0P=0.646萬(wàn)成功P=0.860萬(wàn)P=0.2失敗0-10萬(wàn)成功60萬(wàn)不成功-10萬(wàn)P=0.5P=0.5②就方法1、2進(jìn)行比較，剪枝。方法1收益：46-26=20（萬(wàn)元）方法2收益：25-16=9（萬(wàn)元）方法1的收益20萬(wàn)元>方法2的收益9萬(wàn)元，所以剪掉2。12/18/202440AB投標(biāo)4萬(wàn)不投標(biāo)C8萬(wàn)中標(biāo)20萬(wàn)P=0.4-4萬(wàn)DE-26萬(wàn)方法1方法2-16萬(wàn)25萬(wàn)不中標(biāo)0P=0.646萬(wàn)成功P=0.860萬(wàn)P=0.2失敗0-10萬(wàn)成功60萬(wàn)不成功-10萬(wàn)P=0.5P=0.5并把留下的結(jié)果放到?jīng)Q策點(diǎn)旁。同理把20×0.4=8放在旁。而旁為8-4＋0×0=4（萬(wàn)元）CBA計(jì)算結(jié)果表明該開(kāi)發(fā)公司首先應(yīng)參加投標(biāo)，在中標(biāo)的條件下應(yīng)采用方法1進(jìn)行開(kāi)發(fā)研制，總期望收益為4萬(wàn)元。12/18/2024411234567決策結(jié)點(diǎn)方案分枝方案分枝狀態(tài)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)概率分枝概率分枝概率分枝概率分枝結(jié)果節(jié)點(diǎn)結(jié)果節(jié)點(diǎn)結(jié)果節(jié)點(diǎn)結(jié)果節(jié)點(diǎn)決策樹(shù)示例12/18/202442例11.12某汽車(chē)配件廠(chǎng)擬安排明年某零部件的生產(chǎn)。該廠(chǎng)有兩種方案可供選擇：方案一是繼續(xù)利用現(xiàn)有的設(shè)備生產(chǎn)，零部件的單位成本是0.6萬(wàn)元。方案二是對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行更新改造，以提高設(shè)備的效率。更新改造需要投資100萬(wàn)元（假定其全部攤?cè)朊髂甑某杀荆晒Φ母怕适?.7。如果成功，零部件不含上述投資費(fèi)用的單位成本可降至0.5萬(wàn)元；如果不成功，則仍用現(xiàn)有設(shè)備生產(chǎn)。另?yè)?jù)預(yù)測(cè)，明年該廠(chǎng)某零部件的市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)格為1萬(wàn)元，其市場(chǎng)需求有兩種可能：一是2000件，二是3000件，其概率分別為0.45和0.55。試問(wèn)：（1）該廠(chǎng)應(yīng)采用何種方案？（2）應(yīng)選擇何種批量組織生產(chǎn)？12/18/202443解：在本例中，首先要解決的問(wèn)題是對(duì)生產(chǎn)方案的選擇，但是對(duì)生產(chǎn)方案進(jìn)行選擇需要考察各種方法可能的結(jié)果。而這些結(jié)果又依賴(lài)于對(duì)生產(chǎn)批量的選擇。因此，這是一個(gè)典型的兩階段決策問(wèn)題。求解步驟如下：（1）根據(jù)題中給出的條件,畫(huà)出決策樹(shù)結(jié)構(gòu)圖(參見(jiàn)圖)。

12/18/202444（2）計(jì)算決策樹(shù)最末端的條件收益值。這里采用的計(jì)算式如下：凈收益＝可能銷(xiāo)售量×單價(jià)－生產(chǎn)量×單位成本－應(yīng)攤新投資費(fèi)用當(dāng)生產(chǎn)批量大于市場(chǎng)需求量時(shí),可能銷(xiāo)售量等于市場(chǎng)需求量。而當(dāng)生產(chǎn)批量小于市場(chǎng)需求量時(shí)，可能銷(xiāo)售量等于生產(chǎn)批量。另外，當(dāng)選擇方案一組織生產(chǎn)時(shí)，應(yīng)攤新投資費(fèi)用等于0，選擇方案二組織生產(chǎn)應(yīng)攤新投資費(fèi)用100萬(wàn)元。例如：右邊第一個(gè)結(jié)果點(diǎn)的條件收益=2000-3000×0.6-0=200（3）利用各條件收益值和相應(yīng)的概率分布，計(jì)算最右端各機(jī)會(huì)點(diǎn)的期望收益值。例如：機(jī)會(huì)點(diǎn)⑥的期望值＝200×0.45＋1200×0.55＝75012/18/202445（4）根據(jù)期望值準(zhǔn)則，選出決策點(diǎn)3、4、5的最佳生產(chǎn)批量，并將最佳方案的期望收益值填在相應(yīng)的決策點(diǎn)的上方。同時(shí)，剪除落選的方案枝。例如：在決策點(diǎn)3選擇生產(chǎn)2000件的方案，該方案的期望收益值為800萬(wàn)元。（5）利用決策點(diǎn)4、5的結(jié)果，計(jì)算機(jī)會(huì)點(diǎn)②的期望收益值。將其與方案一的期望收益值比較，按照期望值準(zhǔn)則選擇最佳方案。從圖中可以看出，方案二的期望收益值為875萬(wàn)元，大于方案二的期望收益值（800萬(wàn)元）。本例決策樹(shù)分析的結(jié)論是：該汽車(chē)配件廠(chǎng)應(yīng)按方案二對(duì)設(shè)備進(jìn)行更新改造，如果能夠成功，就采用新生產(chǎn)方法組織生產(chǎn)，其批量安排為3000；如果失敗，則仍采用原生產(chǎn)方法組織生產(chǎn)，其批量安排為2000。12/18/202446例11.13為適應(yīng)市場(chǎng)的需要，某市提出擴(kuò)大電視機(jī)生產(chǎn)的兩個(gè)方案。一是建大廠(chǎng)，二是建小廠(chǎng)，兩者的使用期都是10年。建大廠(chǎng)需投資600萬(wàn)元，建小廠(chǎng)需投資280萬(wàn)元，兩個(gè)方案的每年益損值及銷(xiāo)售自然狀態(tài)如下表所示。同時(shí)為了慎重起見(jiàn)，后一方案是先建小廠(chǎng)試生產(chǎn)3年，如果發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)銷(xiāo)售好時(shí)再進(jìn)行擴(kuò)建。根據(jù)計(jì)算，擴(kuò)建需投資400萬(wàn)元，可使用7年，每年盈利190萬(wàn)元，試應(yīng)用決策樹(shù)法選出合理的決策方案。自然狀態(tài)概率建大廠(chǎng)年收益（萬(wàn)元）建小廠(chǎng)年收益（萬(wàn)元）銷(xiāo)售好0.720080銷(xiāo)售差0.3-406012/18/202447解：可分前3年和后7年兩期考慮，畫(huà)出決策樹(shù)如下圖所示。12銷(xiāo)售好，0.7銷(xiāo)售差，0.3200萬(wàn)元-40萬(wàn)元680萬(wàn)元建大廠(chǎng)3456銷(xiāo)售好0.7擴(kuò)建不擴(kuò)建銷(xiāo)售好，1銷(xiāo)售好，1190萬(wàn)元80萬(wàn)元銷(xiāo)售差0.360萬(wàn)元建小廠(chǎng)930萬(wàn)元560萬(wàn)元719萬(wàn)元前3年后7年12/18/202448貝葉期決策1.復(fù)習(xí)概率：例：一個(gè)大罐子，內(nèi)有形狀完全相同的三個(gè)小罐子。里面分別裝有形狀完全相同的小球，數(shù)量見(jiàn)圖。問(wèn)：A11黑2白A22黑2白A33黑2白1）從中任取一球，此球是白色的概率是多少？2）若已知取出的球是白色的，問(wèn)它是來(lái)自A1號(hào)罐的概率？解：設(shè)=“此球是來(lái)自第i號(hào)罐”i=1，2，3。12/18/202449B=“此球是白色的”。與B有關(guān)的事件有A11黑2白A22黑2白A33黑2白此處都是先驗(yàn)概率。②①12/18/202450A11黑2白A22黑2白A33黑2白此概率為后驗(yàn)概率。即已知某事件B發(fā)生的情況下，再驗(yàn)證A1發(fā)生的概率的正確性。在處理風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題的期望值方法中，需要知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率P（S1）P（S2）……稱(chēng)這些概率為先驗(yàn)概率?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：這些概率是否真實(shí)？決策問(wèn)題的不正確性往往是信息的不完備性造成的。決策的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)不斷收集信息的過(guò)程。當(dāng)信息足夠完備時(shí)，決策者便不難做出正確的決策。而事實(shí)上決策者經(jīng)常是在原有的信息基礎(chǔ)上先追加信息B，看P(B)12/18/202451與有無(wú)變化。追加信息B后得到的概率稱(chēng)為原概率的后驗(yàn)概率。最后的決策往往是根據(jù)后驗(yàn)概率進(jìn)行的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：①由于追加信息需要費(fèi)用，追加信息的價(jià)值有多大？②若有追加信息的必要，追加信息后如何對(duì)原有信息進(jìn)行修正？先回答第一個(gè)問(wèn)題：“追加信息的價(jià)值”=“追加信息后可能的收益”－“追加信息前可能的收益”如果“追加信息的價(jià)值”>“原來(lái)信息的價(jià)值”則可考慮追加信息，反之，沒(méi)有必要追加。12/18/202452例11.14某公司擁有一塊可能有油的土地，根據(jù)可能出油的多少，該塊土地屬于四種類(lèi)型：可產(chǎn)油50萬(wàn)桶、20萬(wàn)桶、5萬(wàn)桶、無(wú)油。公司目前有3個(gè)方案可供選擇：自行鉆進(jìn)；無(wú)條件將該塊土地出租給其他使用者；有條件的租給其他生產(chǎn)者。若自行鉆井，打出一口有油井的費(fèi)用是10萬(wàn)元，打出一口無(wú)油井的費(fèi)用是7.5萬(wàn)元，每一桶油的利潤(rùn)是1.5萬(wàn)。若無(wú)條件出租，不管出油多少，公司收取固定租金4.5萬(wàn)元；若有條件出租，公司不收取租金，但當(dāng)產(chǎn)量為20萬(wàn)桶至50萬(wàn)桶時(shí)，每桶公司收取0.5元。由上計(jì)算得到該公司可能的利潤(rùn)收入見(jiàn)表13-1.按過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，該塊土地屬于上面4種類(lèi)型的可能性分別為10%，15%，25%和50%。問(wèn)題是該公司應(yīng)選擇哪種方案，可獲得最大利潤(rùn)。12/18/202453但假設(shè)石油公司在決策前希望進(jìn)行一次地震試驗(yàn)，以進(jìn)一步弄清楚該地區(qū)的地質(zhì)構(gòu)造。已知地震的費(fèi)用是1.2萬(wàn)元，地震試驗(yàn)的可能結(jié)果是：構(gòu)造很好（I1）、構(gòu)造較好（I2）、構(gòu)造一般(I3)和構(gòu)造較差（I4）。根據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)可知，地質(zhì)構(gòu)造與油井出油的關(guān)系見(jiàn)下表。問(wèn)題是：⑴是否值得做地震試驗(yàn)？⑵如何根據(jù)地震試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行決策？12/18/202454構(gòu)造很好I1

構(gòu)造較好I2

構(gòu)造一般I3構(gòu)造較差I(lǐng)4

50萬(wàn)桶S1

20萬(wàn)桶S2

5萬(wàn)桶S3無(wú)油S40.580.560.460.190.330.190.250.270.090.1250.1250.310.00.1250.1650.23先解決⑵，假設(shè)想做地震試驗(yàn)，下面就地震試驗(yàn)的所有可能結(jié)果分情況討論：⑴假設(shè)地震試驗(yàn)的結(jié)果是“構(gòu)造很好（I1）”。則由全概公式：12/18/202455再由逆概公式同理計(jì)算構(gòu)造很好I1

構(gòu)造較好I2

構(gòu)造一般I3構(gòu)造較差I(lǐng)4

50萬(wàn)桶S1

20萬(wàn)桶S2

5萬(wàn)桶S3無(wú)油S40.580.560.460.190.330.190.250.270.090.1250.1250.310.00.1250.1650.2312/18/202456構(gòu)造很好I1

50萬(wàn)桶S1

20萬(wàn)桶S25萬(wàn)桶S3

無(wú)油S40.1650.2400.3250.270從而得到地震試驗(yàn)后其結(jié)果為“很好”的后驗(yàn)概率表同理計(jì)算其他，匯總得到：構(gòu)造很好I1

構(gòu)造較好I2

構(gòu)造一般I3

構(gòu)造較差I(lǐng)4

50萬(wàn)桶S120萬(wàn)桶S2

5萬(wàn)桶S3無(wú)油

S40.1650.2400.3250.2700.1270.1100.2400.5220.0420.0880.1470.7230.0000.1070.2360.65712/18/202457下面用這些后驗(yàn)概率去代替先驗(yàn)概率重新進(jìn)行分析：若試驗(yàn)的結(jié)果是“構(gòu)造很好I1”，則從類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1

P1=0.120萬(wàn)桶S2

P2=0.155萬(wàn)桶S3

P3=0.25無(wú)油S4P4=0.5自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.50換為類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1

20萬(wàn)桶S2

5萬(wàn)桶S3

無(wú)油S4

自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.5012/18/202458重新計(jì)算各方案的期望收益為：應(yīng)選擇方案A1。12/18/202459若試驗(yàn)的結(jié)果是“構(gòu)造較好I2”，則從換為類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1

P1=0.120萬(wàn)桶S2P2=0.155萬(wàn)桶S3P3=0.25無(wú)油S4P4=0.5自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.50類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S120萬(wàn)桶S2

5萬(wàn)桶S3無(wú)油S4

自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.5012/18/202460重新計(jì)算各方案的期望收益為：應(yīng)選擇方案A1。12/18/202461若試驗(yàn)的結(jié)果是“構(gòu)造一般I3”，則從換為類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1

P1=0.120萬(wàn)桶S2

P2=0.155萬(wàn)桶S3

P3=0.25無(wú)油S4P4=0.5自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.50類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1

20萬(wàn)桶S2

5萬(wàn)桶S3無(wú)油S4自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.5012/18/202462重新計(jì)算各方案的期望收益為：應(yīng)選擇方案A2。12/18/202463若試驗(yàn)的結(jié)果是“構(gòu)造較差I(lǐng)4”，則從換為類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1

P1=0.120萬(wàn)桶S2P2=0.155萬(wàn)桶S3P3=0.25無(wú)油S4P4=0.5自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.50類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1

20萬(wàn)桶S2

5萬(wàn)桶S3

無(wú)油S4

自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.5012/18/202464重新計(jì)算各方案的期望收益為：應(yīng)選擇方案A2。12/18/202465下面討論信息的價(jià)值，即是否值得做地震試驗(yàn)?！暗卣鹪囼?yàn)的價(jià)值”=“地震試驗(yàn)后期望收益”－“地震試驗(yàn)前的期望收益”地震試驗(yàn)的所有的可能結(jié)果、概率、對(duì)應(yīng)方案及收益值如下表試驗(yàn)后可能的結(jié)果IjI1I2I3I4P（Y=Ij）0.3520.2590.2140.175方案的選取AiA1A1A2A2收益值（萬(wàn)元）12.68255.9454.54.5故進(jìn)行地震試驗(yàn)后的期望收益為回憶地震試驗(yàn)前的期望收益75.75.4175.05.4213.0945.5259.06825.12352.0=+++×=后E×××12/18/202466類(lèi)型項(xiàng)目50萬(wàn)桶S1P1=0.120萬(wàn)桶S2

P2=0.155萬(wàn)桶S3P3=0.25無(wú)油S4P4=0.5自行鉆井A1無(wú)條件出租A2有條件出租A3654.525204.510－2.54.50－7.54.50解：各個(gè)方案的期望收益為地震試驗(yàn)前的期望收益（此時(shí)選擇方案A1）追加信息的價(jià)值=－=7.75-5.125=2.625（萬(wàn)元）。此價(jià)值>地震試驗(yàn)費(fèi)1.2（萬(wàn)元），故做地震試驗(yàn)是合算的。12/18/202467悲觀(guān)準(zhǔn)則：最壞的情況下?tīng)?zhēng)取最好的結(jié)果例1.某工廠(chǎng)決定投產(chǎn)一種新產(chǎn)品。投產(chǎn)以后銷(xiāo)售情況有好、中等、差三種可能，但廠(chǎng)家目前無(wú)法估計(jì)這三種情況出現(xiàn)的概率。產(chǎn)品的生產(chǎn)批量有大中小三種選擇。不同的生產(chǎn)批量在不同的市場(chǎng)銷(xiāo)售情況下企業(yè)的收益如下表：收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3MinMax(min)大批量（S1）500300-250-250100中批量（S2）3002008080小批量（S3）200150100100*按照這個(gè)準(zhǔn)則，最優(yōu)決策是小批量生產(chǎn)練習(xí)12/18/202468收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3MaxMax(max)大批量（S1）500300－250500*500中批量（S2）30020080300小批量（S3）200150100200樂(lè)觀(guān)準(zhǔn)則：最好的情況下?tīng)?zhēng)取最好的結(jié)果按照這個(gè)準(zhǔn)則，最優(yōu)決策是大批量生產(chǎn)12/18/202469收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3期望值最大期望值概率（pi）1/31/31/3大批量（S1）500300－250183.33193.33中批量（S2）30020080193.33*小批量（S3）200150100150.00等可能性準(zhǔn)則：假設(shè)等可能性條件下，期望值最大按照這個(gè)準(zhǔn)則，最優(yōu)決策是中批量生產(chǎn)12/18/202470樂(lè)觀(guān)系數(shù)準(zhǔn)則：樂(lè)觀(guān)系數(shù)α（0≤α≤1）收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300－250275*中批量（S2）30020080234小批量（S3）200150100170對(duì)于α＝0.7 （1－α）＝0.3最優(yōu)決策為大批量生產(chǎn)CV1＝0.7max(500,300,-250)+0.3min(500,300,-250)=350-75=275CV2=0.7max(300,200,80)+0.3min(300,200,80)=210+24=234CV3=0.7max(200,150,100)+0.3(200,150,100)=140+30=17012/18/202471對(duì)于α＝0.5（1－α）＝0.5收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300－250125中批量（S2）30020080190*小批量（S3）200150100150最優(yōu)決策為中批量生產(chǎn)CV1＝0.5max(500,300,-250)+0.5min(500,300,-250)=250-125=125CV2=0.5max(300,200,80)+0.5min(300,200,80)=150+40=190CV3=0.5max(200,150,100)+0.5(200,150,100)=100+50=15012/18/202472對(duì)于α＝0.3 （1－α）＝0.7收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300－250－25中批量（S2）30020080146*小批量（S3）200150100130最優(yōu)決策為中批量生產(chǎn)CV1＝0.3max(500,300,-250)+0.7min(500,300,-250)=150-175=-25CV2=0.3max(300,200,80)+0.7min(300,200,80)=90+56=146CV3=0.3max(200,150,100)+0.7(200,150,100)=60+70=13012/18/202473后悔值準(zhǔn)則：以最大后悔值中的最小的為最優(yōu)決策收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3大批量（S1）500300－250中批量（S2）30020080小批量（S3）200150100Max(Si,Nj)500300100收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3Max(Si,Nj)大批量（S1）00350350中批量（S2）20010020200*小批量（S3）3001500300后悔值矩陣12/18/202474風(fēng)險(xiǎn)型決策最大可能決策收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3概率（pi）0.10.20.7大批量（S1）500300－250中批量（S2）30020080小批量（S3）200150100*100最大可能為需求小，按最大可能考慮，應(yīng)采用小批量生產(chǎn)。最大可能決策用于一種狀態(tài)的可能性明顯大于其它狀態(tài)時(shí)，如果幾種狀態(tài)發(fā)生的概率相差不大，則不適用。決策者能預(yù)先估計(jì)決策環(huán)境中各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率。12/18/202475期望值決策收益（萬(wàn)元）需求大N1需求中N2需求小N3期望值概率（pi）0.10.20.7大批量（S1）500300－250－65中批量（S2）30020080126*小批量（S3）200150100120選擇期望值最大的決策為最優(yōu)決策中批量的決策為最優(yōu)決策。12/18/202476將上面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成決策樹(shù)確定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7500300-25030020080200150100決策節(jié)點(diǎn)概率節(jié)點(diǎn)收益-65126120126∥∥12/18/202477多層決策樹(shù)確定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1P(N1)=0.1N2P(N1)=0.2N3P(N1)=0.7N1P(N1)=0.1N2P(N1)=0.2N3P(N1)=0.7N1P(N1)=0.1N2P(N1)=0.2N3P(N1)=0.750030030020080200150100129.6126120∥∥技術(shù)改造S4S5局部改造徹底改造成功P=0.8失敗P=0.2成功P=0.6失敗P=0.4500-6001000-900280240∥280129.612/18/202478完備信息的價(jià)值如果有一個(gè)市場(chǎng)預(yù)測(cè)專(zhuān)家，他不能改變這種產(chǎn)品的市場(chǎng)銷(xiāo)售狀況的概率分布，但他能完全精確地預(yù)測(cè)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)銷(xiāo)售狀況。這樣的信息稱(chēng)為完備信息。這樣的信息的期望收益稱(chēng)為完備信息的期望收益。完備信息的期望收益顯然要高于不具有完備信息的期望收益。兩者之差稱(chēng)為完備信息的價(jià)值。12/18/202479確定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7500300-25030020080200150100-65126120126500300100完備信息的期望值為：0.1×500＋0.2×300＋0.7×100＝180萬(wàn)元完備信息的價(jià)值為：180－126＝54萬(wàn)元12/18/202480S1確定批量確定批量確定批量需求量大（0.1）需求量中（0.2）需求量?。?.7）大批量中批量小批量大批量中批量小批量大批量中批量小批量500300200300200150-25080100∥∥∥∥∥∥10030050018012/18/2024815決策分析中的效用度量一、效用的概念例11.14問(wèn)題一：方案A:穩(wěn)獲100元；方案B：獲250元和0元的機(jī)會(huì)各為41%和59%。問(wèn)題二：方案C:穩(wěn)獲10000元；方案D：擲一均勻硬幣，直到出現(xiàn)正面為止，記擲次數(shù)為N，則當(dāng)正面出現(xiàn)時(shí)，可獲2N元。E(B）=0.41×250+0.59×0=102.5E(D）=1/2×2+1/22×22+1/23×23+…++1/2N×2N=1+1+…=∞12/18/202482例11.15

，對(duì)于以下幾種情況，要求決策這選擇其中對(duì)自己最有利的一種：拋一枚硬幣，正面朝上得1000元，反面朝上反而要付出600元A拋一枚硬幣，正面朝上得600元，反面朝上反而要付出200元B直接獲取200元C這三個(gè)方案的收益期望值都是200，但決策者對(duì)它們的偏好顯然是不同。我們用“效用（Utility）”來(lái)表示帶有風(fēng)險(xiǎn)的收益對(duì)決策者的價(jià)值。12/18/202483效用函數(shù)的確定由于不同的決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度不同，同樣的決策方案，對(duì)不同的決策者效用值是不同的。在各種方案中，收益的最大值的效用為1，收益的最小值（損失的最大值）的效用為0。例如在上例中，u(1000)=1，u(-600)＝0。如果決策者認(rèn)為C方案比A方案好，說(shuō)明u(200)>0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5如果將C方案中的200元降為100元，仍有u(100)>0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(0)>0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(-100)<0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(-50)<0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(-10)=0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.512/18/202484x10004002000-40010.5600800-200-600U(x)0.75厭惡風(fēng)險(xiǎn)的決策者的效用函數(shù)喜好風(fēng)險(xiǎn)的決策者的效用函數(shù)決策者1：u(1000)=1，u(600)=0.85，u(200)=0.75，u(-200)=0.4，u(-600)=0決策者2：u(1000)=1，u(600)=0.3，u(200)=0.15，u(-200)=0.1，u(-600)=012/18/202485直接獲取200元拋一枚硬幣，正面朝上得600元，反面朝上反而要付出200元拋一枚硬幣，正面朝上得1000元，反面朝上反而要付出600元ABC決策者1：u(A)=0.5×u(1000)+0.5×u(-600)=0.5u(B)=0.5×u(600)+0.5×u(-200)=0.625u(C)>u(B)>u(A)u(C)=u(200)=0.75決策者2：u(A)=0.5×u(1000)+0.5×u(-600)=0.5u(B)=0.5×u(600)+0.5×u(-200)=0.2u(A)>u(B)>u(C)u(C)=u(200)=0.15決策者1：u(1000)=1，u(600)=0.85，u(200)=0.75，u(-200)=0.4，u(-600)=0決策者2：u(1000)=1，u(600)=0.3，u(200)=0.15，u(-200)=0.1，u(-600)=012/18/202486應(yīng)用期望效用準(zhǔn)則的決策樹(shù)方法確定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7500300-25030020080200150100-65126120126∥∥12/18/2024875004003002001000-100-200-2501決策者1決策者2收益50030020015010080－250效用11.00.80.780.750.720.70.0效用21.00.50.40.350.320.30.012/18/202488確定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7500300-25030020080200150100-650.260.201260.720.341200.730.331261.00.800.80.780.70.780.750.721.00.500.50.40.30.40.350.32期望值決策者1的效用期望決策者2的效用期望收益效用1效用212/18/202489如果洪水強(qiáng)度在水壩設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)以?xún)?nèi)，不會(huì)造成任何損失，而且只要在設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)以?xún)?nèi)，洪水越大，蓄水、發(fā)電等效益越顯著。如果洪水強(qiáng)度超過(guò)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，不僅將危及大壩安全，還會(huì)對(duì)下游人民生命財(cái)產(chǎn)造成巨大損失，高程越高，損失越大。不同高程的水壩，遇到不同強(qiáng)度的洪水，效益和損失（千萬(wàn)元）如下表所示：例11.16在一條河流上計(jì)劃建造一座水電站，水壩的高程有50米，80米和100米三種方案。三種高程的水壩分別可以抵御20年一遇（即發(fā)生概率為0.05）、50年一遇（即發(fā)生概率為0.02）和100年一遇（發(fā)生概率為0.01）的洪水。12/18/202490水壩高程洪水強(qiáng)度發(fā)生概率50米80米100米小于20年一遇0.90587620年一遇0.0520151050年一遇0.02－6200180100年一遇0.01－15－30500大于100年一遇0.015－20－100－200損益期望值7.679.28511.53以損益期望值為評(píng)價(jià)指標(biāo)，100米高層為最優(yōu)決策12/18/202491益損值-200-100-30-20-15-667效用0.00.50.70.710.720.730.740.75益損值8101520180200500效用0.760.770.780.80.930.951.0-200-10001002003004005001.00.80.60.40.20.012/18/202492

水壩高程洪水強(qiáng)度發(fā)生概率50米80米100米小于20年一遇0.90587620年一遇0.0520151050年一遇0.02－6200180100年一遇0.01－15－30500大于100年一遇0.015－20－100－200損益期望值7.679.28511.53益損值-200-100-30-20-15-667效用0.000.500.700.710.720.730.740.75益損值8101520180200500效用0.760.770.780.800.930.951.0012/18/202493水壩高程洪水強(qiáng)度發(fā)生概率50米80米100米小于20年一遇0.9050.760.750.7420年一遇0.050.800.780.7750年一遇0.020.730.950.93100年一遇0.010.720.701.00大于100年一遇0.0150.710.500.00損益期望值0.7600.7510.737以效用期望值為評(píng)價(jià)指標(biāo)，50米高層為最優(yōu)決策12/18/202494層次分析法（AHP）是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國(guó)國(guó)防部研究“根據(jù)各個(gè)工業(yè)部門(mén)對(duì)國(guó)家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時(shí)，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評(píng)價(jià)方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。這種方法的特點(diǎn)是在對(duì)復(fù)雜的決策問(wèn)題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過(guò)程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無(wú)結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問(wèn)題提供簡(jiǎn)便的決策方法。是對(duì)難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。層次分析法12/18/202495決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。日常生活中有許多決策問(wèn)題舉例1.在海爾、新飛、容聲和雪花四個(gè)牌號(hào)的電冰箱中選購(gòu)一種。要考慮品牌的信譽(yù)、冰箱的功能、價(jià)格和耗電量。2.在泰山、杭州和承德三處選擇一個(gè)旅游點(diǎn)。要考慮景點(diǎn)的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費(fèi)用。3.在基礎(chǔ)研究、應(yīng)用研究和數(shù)學(xué)教育中選擇一個(gè)領(lǐng)域申報(bào)科研課題。要考慮成果的貢獻(xiàn)（實(shí)用價(jià)值、科學(xué)意義），可行性（難度、周期和經(jīng)費(fèi)）和人才培養(yǎng)。12/18/2024965.1層次分析法概述人們?cè)趯?duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)以及管理領(lǐng)域的問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，面臨的經(jīng)常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)。層次分析法則為研究這類(lèi)復(fù)雜的系統(tǒng)，提供了一種新的、簡(jiǎn)潔的、實(shí)用的決策方法。層次分析法(AHP法)是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來(lái)，用決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷各衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)之間的相對(duì)重要程度，并合理地給出每個(gè)決策方案的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。12/18/2024975.2層次分析法的基本原理層次分析法根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問(wèn)題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，從而最終使問(wèn)題歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)相對(duì)于最高層(總目標(biāo))的相對(duì)重要權(quán)值的確定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排定。12/18/2024985.3層次分析法的步驟和方法運(yùn)用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時(shí)，大體可以分為以下四個(gè)步驟：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣3.層次單排序及其一致性檢驗(yàn)4.層次總排序及其一致性檢驗(yàn)12/18/2024995.3.1建立層次結(jié)構(gòu)模型將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對(duì)象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。

最高層：決策的目的、要解決的問(wèn)題。

最低層：決策時(shí)的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。對(duì)于相鄰的兩層，稱(chēng)高層為目標(biāo)層，低層為因素層。下面舉例說(shuō)明。12/18/2024100例11.16大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問(wèn)題獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生，在“雙向選擇”時(shí)，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來(lái)說(shuō)選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的，例如：①能發(fā)揮自己才干作出較好貢獻(xiàn)（即工作崗位適合發(fā)揮自己的專(zhuān)長(zhǎng)）；②工作收入較好（待遇好）；③生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；④單位名聲好（聲譽(yù)等）；⑤工作環(huán)境好（人際關(guān)系和諧等）⑥發(fā)展晉升機(jī)會(huì)多（如新單位或前景好）等。12/18/2024101工作選擇可供選擇的單位P1’P2，Pn

貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)工作環(huán)境生活環(huán)境目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層12/18/2024102目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例13.17選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.12/18/2024103將決策問(wèn)題分為3個(gè)或多個(gè)層次：最高層：目標(biāo)層。表示解決問(wèn)題的目的，即層次分析要達(dá)到的總目標(biāo)。通常只有一個(gè)總目標(biāo)。中間層：準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、…。表示采取某種措施、政策、方案等實(shí)現(xiàn)預(yù)定總目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)；一般又分為準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、策略層、約束層等。最低層：方案層。表示將選用的解決問(wèn)題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個(gè)方案可選。每層有若干元素，層間元素的關(guān)系用相連直線(xiàn)表示。層次分析法的思維過(guò)程的歸納層次分析法所要解決的問(wèn)題是關(guān)于最低層對(duì)最高層的相對(duì)權(quán)重問(wèn)題，按此相對(duì)權(quán)重可以對(duì)最低層中的各種方案、措施進(jìn)行排序，從而在不同的方案中作出選擇或形成選擇方案的原則。12/18/20241045.3.2構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。2.對(duì)此時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)，即每層不要超過(guò)9個(gè)因素。判斷矩陣是表示本層所有因素針對(duì)上一層某一個(gè)因素的相對(duì)重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的1—9標(biāo)度方法給出。12/18/2024105判斷矩陣元素aij的標(biāo)度方法標(biāo)度含義1表示兩個(gè)因素相比，具有同樣重要性3表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素稍微重要5表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素明顯重要7表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij12/18/2024106設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地目標(biāo)層O(選擇旅游地)準(zhǔn)則層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對(duì)比較矩陣有問(wèn)題úúúúúú?ùêêêêêê?é=1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A12/18/2024107成對(duì)比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍12/18/2024108考察完全一致的情況可作為一個(gè)排序向量成對(duì)比較滿(mǎn)足的正互反陣A稱(chēng)一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n非零特征根n所對(duì)應(yīng)的特征向量歸一化后可作為權(quán)向量對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A，Saaty等人建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根

的特征向量作為權(quán)向量w

，即一致陣性質(zhì)但允許范圍是多大？如何界定？12/18/20241093.層次單排序及其一致性檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。W的元素為同一層次因素對(duì)于上一層次因素某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱(chēng)為層次單排序。能否確認(rèn)層次單排序，需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，所謂一致性檢驗(yàn)是指對(duì)A確定不一致的允許范圍。

定理：n階一致陣的唯一非零特征根為n定理：n階正互反陣A的最大特征根

n,當(dāng)且僅當(dāng)

=n時(shí)A為一致陣12/18/2024110由于λ連續(xù)的依賴(lài)于aij，則λ比n大的越多，A的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n數(shù)值的大小來(lái)衡量A的不一致程度。定義一致性指標(biāo):CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿(mǎn)意的一致性CI越大，不一致越嚴(yán)重12/18/2024111RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。方法為Saaty的結(jié)果如下隨機(jī)一致性指標(biāo)RI則可得一致性指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣12/18/2024112一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì)A進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。一般，當(dāng)一致性比率時(shí)，認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿(mǎn)意的一致性，通過(guò)一致性檢驗(yàn)?？捎闷錃w一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣A，對(duì)aij加以調(diào)整。定義一致性比率：12/18/2024113“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)12/18/2024114正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要簡(jiǎn)化計(jì)算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化求

行

和

歸

一

化精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.01012/18/20241154.層次總排序及其一致性檢驗(yàn)計(jì)算某一層次所有因素對(duì)于最高層(總目標(biāo))相對(duì)重要性的權(quán)值，稱(chēng)為層次總排序。這一過(guò)程是從最高層次到最低層次依次進(jìn)行的。對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)?2/18/2024116即B層第i個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：（影響加和）層的層次總排序?yàn)椋築層的層次總排序AB12/18/2024117層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)層對(duì)上層(層)中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為，隨機(jī)一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。層次總排序具有滿(mǎn)意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。

到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。12/18/2024118記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根

1=3.005

2=3.002

…

5

=3.0權(quán)向量w1(3)w2(3)…

w5(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地12/18/2024119第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果

w(2)

0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目