初升高數(shù)學(xué)最值專題瓜豆原理 【學(xué)生版】

動點最值問題一一瓜豆原理

目標(biāo)層級圖

課中講解

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆?！胺N”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

一.動點軌跡為直線（/線段/射線）

1.如圖，P是直線3C上一動點，連接AP,取AP中點。，當(dāng)點P在4c上運動時，

。點軌跡是？

【分析】當(dāng)P點軌跡是直線時，。點軌跡也是一條直線.

可以這樣理解：分別過A、Q向作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，

因為AP=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即。點到8c的距離是定值，故。點

軌跡是一條直線.

2.如圖，AAP。是等腰直角三角形，NB4Q=90°且AP=4Q，當(dāng)點尸在直線上

運動時，求。點軌跡？

【分析】當(dāng)4P與4。夾角固定且AP：AQ為定值的話，尸、。軌跡是同一種圖形.

當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的。點的位置，連線即可，比如Q

點的起始位置和終點位置，連接即得。點軌跡線段.

。2

3.模型總結(jié)

必要條件：

1）主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/附。是定值）；

2）主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

結(jié)論：

1）產(chǎn)、。兩點軌跡所在直線的夾角等于NB4Q（當(dāng)NBA止90。時，NB4Q等于MN

與BC夾角）

2）P、。兩點軌跡長度之比等于（由可得”/Q=8C:MN）

B,

例1.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=60°,BC=2,。是3c邊上的一個

動點，將A。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45。，得到AE,連接CE,則線段CE的最小值

為O

例2.如圖，已知點A是第一-象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2G的一個定點，AC_Lx軸于點M,

交直線尸-X于點M若點P是線段ON上的一個動點，NAP8=30。，BAVPA,則

點P在線段ON上運動時，4點不變，B點隨之運動.求當(dāng)點P從點。運動到點N

時，點8運動的路徑長是.

例3.如圖，在H/AA3c中，NAC3=90。，AC=6,BC=4,點M為斜邊A8的中點,

已知點P在射線4C上運動，連接BP,將線段繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段BP,

連接則。/長度的最小值是.=

過關(guān)檢測

I.如圖，AD是邊長為6的等邊三角形ASC的6c邊上的高，點E是AQ邊上的一個頂點,

連接CE,將CE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。到CF的位置，連接。尸，則OR的最小值

為O

2.如圖，在等邊AABC中，AB=10,BD=4,BE=2,點尸從點E出發(fā)沿E4方向運動，連結(jié)

PD,以PD為邊,在尸。的右側(cè)按如圖所不的方式作等邊AOPF,當(dāng)點P從點E運動到點A

時，點尸運動的路徑長是.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OA8C的頂點A在x軸上，。4=4,OC=3,

點。為3c邊上的一點，以AO為一邊在點B的同側(cè)作正方形AOE尸，連接OE。當(dāng)點。

在邊8C上運動時，0E的長度最小值是o

二.動點軌跡為圓（/圓?。?/p>

1.如圖，P是圓0上一個動點，4為定點，連接AP,。為AP中點.

考慮：當(dāng)點尸在圓。上運動時，Q點軌跡是？

【分析】當(dāng)P點軌跡是圓時，。點軌跡也是一個圓。

考慮到。點始終為4P中點，連接4。，取A。中點M,則M點即為。點軌跡圓圓心，半徑

是0P一半，任意時刻，均有△AMQSAAOP,QM:PO=AQ.AP=V.2.

【小結(jié)】確定。點軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、尸始終共線可得：人、M、。三點共線,

由。為A尸中點可得：AM=\/2AO.

Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放.

根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系;

根據(jù)動點之間的數(shù)量差系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

2.如圖，尸是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,作AQ且AQ=4P.

考慮：當(dāng)點P在圓。上運動時，。點軌跡是？

【分析】。點軌跡是個圓，可理解為將A尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得40,故。點軌跡與產(chǎn)

點軌跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.

考慮4尸_14。，可得Q點軌跡圓圓心M滿足4MJ_A。；

考慮A尸=AQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=A。，且可得半徑MgPO.

即可確定圓M位置，任意時刻均有AAPO名△AQW.

3.如圖，"PQ是直角三角形，NB40=9O。且4P=240,當(dāng)P在圓。運動時，。點軌跡是？

【分析】考慮4P_LAQ,可得。點軌跡圓圓心M滿足4M_L4O；

考慮AP:AQ=2:1,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1.

即可確定圓M位置，任意時刻均有△月POs"QM,且相似比為2.

4.模型總結(jié)

為了便于區(qū)分動點尸、Q,可稱點尸為“主動點”，點。為“從動點”.

此類問題的必要條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線夾角是定量（N雨。是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（A尸：4。是定值）.

【結(jié)論】

(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：ZPAQ=ZOAM

(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO-.AM,也等

于兩圓半徑之比.

按以上兩點即可確定從動點的軌跡是圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.

例1.(1)如圖，尸是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為一邊作等邊AAP。.當(dāng)

點尸在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？

(2)如圖，尸是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角AAP。.當(dāng)

點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？

例2.AABC中，AB=4,AC=2,以BC為邊在AABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點0,

則線段AO的最大值為

例3.如圖所示，AB=4,AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,連接AD并

延長至點P,使AD二PD,則PB的取值范圍為

過關(guān)檢測

1.如圖，點尸(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點M是圓尸上的動點，點。

是MB的中點，則AC的最小值是.

2.如圖，正方形ABCD中，AB=?5O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2,

連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得DF,連接AE、CF.求線段OF長的最小值為

3.如圖，線段A8=8,P為平面為一個動點，且砂=2,連接4P,以AP為斜邊在AP上

方作直角A4CP,使得C4=CP.Z4CP=90°,連接BC,則8C的最大值和最小值之差

三.動點軌跡為其他圖形

所謂“瓜豆原理％就是主動點的軌跡與從動點的軌跡的相似性，根據(jù)主、從動點與定點連

線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當(dāng)主動點軌跡

是其他圖形時，從動點軌跡必然也是。

【小結(jié)】根據(jù)瓜豆原理，類似這種求從動點軌跡長或者軌跡圖形面積，根據(jù)主動點軌跡推

導(dǎo)即可，甚至無需作圖.

例1.如圖，在反比例函數(shù)y=-士2的圖像上有一個動點A,連接AO并延長交圖像的另一支

x

于點B,在第一象限內(nèi)有一點C,滿足AC=BC,當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)），=4的

x

圖像上運動，若tanNCAB=2,則k的值為

例2.如圖，AABC在第一象限，其面積為16.點尸從點A出發(fā)，沿AABC的邊從

運動一周，在點尸運動的同時，作點P關(guān)于原點。的對稱點Q,再以PQ為邊作等邊三

角形PQM,點”在第二象限，點”隨點P運動所形成的圖形的面積為.

過關(guān)檢測

1.如圖，反比例函數(shù)y=^~的圖象上有一動點A,連接40并延長交圖象的另一支于點B,

在第二象限內(nèi)有一點C,滿足AC=8C,當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù))，='的圖象

x

2.如圖，A(-1,1),B(-1,4),C：-5,4),點P是AABC邊上一動點，連接0P,以0P為斜

邊在0P的右上方作等腰直角AOrQ,當(dāng)點P在AABC邊上運動一周時，點Q的軌跡形成的

封閉圖形面積為.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，X(-3,0),點8是)，軸正半軸上一動點，點、C、D

在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊ZkABH點8在y軸上運動時，求

。產(chǎn)的最小值為.

2.如圖已知：正方形OC4B，A(2,2),0(5,7),AB_Ly軸，AC_Lx軸，OA,BC交于點P，

若正方形OC4B以。為位似中心在第一象限內(nèi)放大，點尸隨正方形一起運動，當(dāng)PQ達到最

小值時停止運動.以PQ的長為邊長，向PQ的右側(cè)作等邊APQD,求在這個位似變化過程

中，。點運動的路徑長()

A.5y/2B.6C.