初升高數(shù)學(xué)提高練習(xí)第十七講 集合與簡易邏輯（高中內(nèi)容,了解即可）復(fù)習(xí)經(jīng)典

第十七講*集合與簡易邏輯(高中內(nèi)容，了解即可)

§17.1集合

我們考察某些事物的時候，常常要考慮由這些事物組成的群體，我們把這個群

體叫作集合.組成某個集合的事物，叫作這個集合的元素.通常用大寫字母A,B,

C…等表示集合，小寫字母a,b,c,…等表示元素.如果m是集合A的元素，就

說m屬于A,記作meA.如果

n不是集合A的元素，就說n不屬于A,記作n$A.例如：

(i)你的家庭中所有成員組成一個集合，你和你的家庭中的其他各個成員都是這

個集合中的元素.

(ii)自然數(shù)全體1,2,3,…組成一個集合(通常把它叫作自然數(shù)集).

(iii)如果A,B是平面上兩個不同的點(diǎn)，那么A,B兩點(diǎn)所確定的直線上的點(diǎn)組

成一個集合，這條直線上每個點(diǎn)都是這個集合的元素.

總之，集合是數(shù)學(xué)中一個最根本、最常用的概念，下面進(jìn)一步給同學(xué)們介紹一

些關(guān)于集合的根本知識.

1.集合的描述方法

(1)列舉法

當(dāng)一個集合所含元素個數(shù)較少時，一個最簡單的描述方法就是把它所含的每個

元素都列舉出來，這叫列舉法.用列舉法表示集合，通常是將這個集合的每個元素

一一填寫在{}中，每個元素之間用逗點(diǎn)隔開.填寫集合的元素時，與元素的排列

次序無關(guān).例如：

(i)由a,b,c,d,e五個小寫字母組成的集合A,記作

A={a,b,c,d,e},

也可記作

A={b,a,c,d,e).

(ii)由小于40的質(zhì)數(shù)組成的集合B,記作

B={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37).

(iii)平方等于1的有理數(shù)集合C,記作

C={1,-1}.

(iv)三條直線k,L,h組成的集合D,記作

D={11,I2,I3}.

(2)特征性質(zhì)描述法

當(dāng)一個集合所含元素較多時，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征性質(zhì)描述

法.

所謂特征性質(zhì)是指集合中元素的特征性質(zhì)，即：（i）這個集合中每個元素都具有

這些性質(zhì)；（ii）具有這些性質(zhì)的事物都是這個集合的元素.

例如，集合={1,-1}用特征性質(zhì)描述法表示就是

A={x|x2=1},

或者

A={x||x|=1}.

全體偶數(shù)組成的集合B,用特征性質(zhì)描述法表示就是

B={x|x是能被2整除的整數(shù)},

或者

B={2n|n是整數(shù)}.

全體奇數(shù)組成的集合C,用特征性質(zhì)描述法表示就是

C={x|x是不能被2整除的整數(shù)},

或者

C={2n+”n是整數(shù)},

C={2n-”n是整數(shù)}.

一般地，用特征性質(zhì)a表示集合A的形式是:

A={x|x具有性質(zhì)a}.

2.集合之間的關(guān)系和運(yùn)算

(1)包含與子集

設(shè)有集合與咋，若任何屬于A的元素也必定屬于B,則稱A為B

的一個子集或B包含A,我們用符號AuB或BA表達(dá)上述關(guān)系(也

可用AuB或BnA表示),如果集合A,B分別用兩個圓表示，那

么AuB可表示成圖2-87,這種圖稱為文氏圖.例如，

(i)你班上的同學(xué)的集合和你學(xué)校的同學(xué)的集合之間的關(guān)系是：前者是后者的子

集，后者包含前者.

(ii)設(shè)集合

⑥設(shè)集合

A={1,2,3,4,5},B={4,5,1},C={1,5},

則CuB,BeA,CcA.

一般說來，若AuB,BcC,則肯定有AuC,也即C的子集

的子集還是C的一個子集.

設(shè)N是自然數(shù)集，Z是整數(shù)集,Q是有理數(shù)集，則這三個

數(shù)集之間具有關(guān)系NuZuQ.

如果一個集合不含任何元素，我們稱這種特殊的集合為空集，用符

號迎示.我們規(guī)定空集0是任何集合A的子集，即0uA.

另外集合A也是它自身的子集.如果兩個集合的所有元素都相同，就說這兩

個集合相等.

例1設(shè)A;{1,2,3,4},試寫出A的所有子集.

{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,

2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4).

(2)交集運(yùn)算

對于給定的集合A,B,由它們的公共元素所構(gòu)成的集合叫作集合A與B的交

集.我們用AnB表示A,B的交集(圖2-88).例如

(I)如圖2-89,設(shè)

910

uy

圖

圖2-882-89

A;{x|x是12的正因數(shù)},

B={x|5vx〈13,x是整數(shù)},

那么

A={1,2,3,4,6,12},B={6,7,8,9,10,11,12}.

所以AnB={6,12}.

(ii)設(shè)li,L是平面上兩條不同的直線，那么ImL就是由它們的交點(diǎn)組成的集合.

如果h與12相交于一點(diǎn)P,那么linl2={P}(圖2-90);

如果1與L平行,則102=0(圖2-91).

------------------ii

-------------------12

圖2-90圖2-91

(3)并集運(yùn)算

對于給定的兩個集合A,B,把它們所含的元素合并起來所構(gòu)成的集合，叫作集

合A,B的并集，我們用符號AUB表示A,B的并集(圖2?92).例如

圖2-92

(i)設(shè)M,N分別表示你班上男生、女生的集合，那么MUN就是你班上同學(xué)的集

4

n?

(ii)設(shè)

A={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5.6),

那么AuB={1,2,3,4,5,6,7,9}.

注意在求上述集合A,B的并集時，雖然在A,B中都有3和5,但在AuB中，

3,5只取一次.

(iii)設(shè)E={x|x是實(shí)數(shù)，且xM},

F={x|x是實(shí)數(shù),且xW-4},G={x|x2^16}.

那么EuF=G.

一般地說，如果。，B分別是集合A,B的特征性質(zhì)，即

A二{x|x具有性質(zhì)。},B;{x|x具有性質(zhì)B},那么AuB就是那些具有性質(zhì)。

或性質(zhì)B的元素組成的集合，也就是

AuB={x|x具有性質(zhì)?；?},

或者

AuB={x|xsA或XGB}.

例2設(shè)

A={x|x是12的正因數(shù)},B={x|x是18的正因數(shù)},

C={x100x05,且XGZ}.

求:(1)AnBnC;⑵AuBuC.

解根據(jù)條件，用填文氏圖各區(qū)域的元素的方法來解決(如圖2-93(a),(b)).

(1)AnBnC={1,2,3);

⑵AuBuC;{0,1,2,3,4,5,6,9,12,18).

A

(b)

圖2-93

例3設(shè)A={1,a,a2},B={1,a,b),假定A,B中的元素都是整數(shù)，并且A

nB={1,3},AuB={1,a,2a,3a}，求a,b的值.

解因?yàn)锳={1,a,a2},B={1,a,b),所以

AnB={1,a}.

AnB={1,3}.所以a=3.又由于

AuB={1,a,b,a2}={1,a,2a,3a}={1,3,6,9}，所以b=6.

(3)補(bǔ)集

如果我們所考慮的集合都是某一個給定集合的子集，我們可稱這個給定的集

合為全集.例如，如果集合A是集合B的子集，我們把B看作全集，那么B中所有

不屬于集合A的元素所組成的集合，叫作A在B中

的補(bǔ)集，用符號硅表示，讀作“A的補(bǔ)集”(圖2-94).

例如，如圖2-95,全集B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

圖2-94圖2-95

A=(0,2,4,6,8)

那么五=那3,5,7,9}

一般地，如果五=C,!UIJU=A.

例4設(shè)集aU,2,3,4,5,6,7,81,

A=fe|提6的正因數(shù)},B={x|提8的正因數(shù)},

求集合五，氏五TB,五7及燈下，燈m

解因?yàn)?的約數(shù)有1,2,3,6,所以A={1,2,3,6}.因

8的約數(shù)有1,2,4,8,所以B={1,2,4,8}.顯然，

AuLBel（圖2—96）.

如果把I看作全集，則

A={5,7,4,8},

B={5,7,3,6},

AIB={5,7},

AYB={5,7,3,4,6,8),

Al￥={3,4,6,8,5,7},

AYB={5,7}.

§17.2簡易邏輯

邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法那么的一門學(xué)科.數(shù)學(xué)和邏輯的關(guān)

系非常密切，在此，對邏輯知識做一些初步介紹.

1.推出關(guān)系

如果設(shè)A=｛x|x是4的倍數(shù)｝,B=｛x|x是2的倍數(shù)｝,那么A中元素具有性質(zhì)。

—4的倍數(shù)；B中元素具有性質(zhì)0——2的倍數(shù).我們知道：如果某元素x是4的

倍數(shù),那么X-定是2的倍數(shù)，即具有性質(zhì)Q的元素，一定具有性質(zhì)B.

一般地說，如果具有性質(zhì)。的元素也具有性質(zhì)0,我們便說由。推

下面再舉一個例子.

tftA=(n|n<6,n€N)?B=(n|n<8,n€N),顯然A

cB,即“比6小的自然數(shù)”一定是“比8小的自然數(shù)”,也即“n是比6

小的自然數(shù)"n'，是比8小的自然數(shù)”.

由于集合的包含關(guān)系具有傳遞性，即若AuB,BcC,則AcC

(圖2-97),那么對應(yīng)于集合的特征性質(zhì)間也必具有傳遞性，即由a

=>B,B=丁則a=V.例如，

A=｛x|x/a5髓罵可｝,

p

c=心吟9銹尊鶻｝,

因?yàn)?，由“x>3,和3〉1”,可得再由“￡>1和1

〉0"可得“x〉0”，所以，由Q=B,B=7,有a=相應(yīng)地

由AuB,BcC,有AuC.

如果a=B,反過來B一a也成立，那么我們就說a,3間具有互

推關(guān)系，用符號aoB表示.例如，

Q：好-3玄+2=0,B：x=l或x=2.

(i)顯然，由/-3乂+2=0,BP(x-l)(x-2)=0,所以x=L

或x=2,所以a=B.

(ii)反之，如果x=L或x=2,那么代入娘-3肝2其值必為0,即

X2-3x+2=0,所以B=a.

所以aqB.

2.命題和證明

(1)命題和逆命題

人們在思維活動中，經(jīng)常要對客觀事物做出判斷.例如：

(i)雪是白的；

(ii)如果/和/2是對頂角，那么;

(iii)3+4=6;

(IV)若x〉y,則子〉干等等.

上述所列都是對客觀事物做出判斷的語句.人們對客觀事物的情況做出判斷可

能是正確的(真)，也可能是錯誤的(假).我們把肯定或否認(rèn)的判斷語句叫作命題.上

述語句(i),(ii),(iii),(iv)都是命題.

關(guān)于命題的真假性，有些容易判斷，如(i),(ii)是真命題，(iii)是假命題.但對(iv)

的真假性就不是顯然可判斷的.可通過設(shè)x=1,y=O(x>y),那么

1+2x0-1+0

因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個命題為真命題，必須通過邏輯推演，

但要證明一個命題為假命邈只須舉出一個反例即可).

數(shù)學(xué)命題具有多種形式，經(jīng)常采用的命題形式是“假設(shè)a,那么曠，“如果。，那

么『.

命題“假設(shè)a,那么『或是真命題，或是假命題，二者必居其一.“假設(shè)

當(dāng)由。不可能推出B時，“假設(shè)a,那么便是假命題.

在命題“假設(shè)a,那么『中，。叫作這個命題的條件，B叫作這個命題的結(jié)論.如

果將命題“假設(shè)a,那么『的條件和結(jié)論互換，就得到一個新命題“假設(shè)B,那么?！ǎ?/p>

這兩個命題之間具有互連關(guān)系，其中一個叫作原命題時，那么另一個命題就叫作這

個原命題的逆命題.

當(dāng)“如果。，那么B〃為真命題時，它的逆命題“如果B那么a〃不一定是真命題.例

如：

(i)“如果2x3=6那么6+3=2〃是真命題它的逆命題“如果6+3=2那么2x3=6〃

也是真命題.

(ii)“假設(shè)a=0并且b=0,那么ab=Oz,是真命題，但它的逆命題“假設(shè)ab=O,那

么a=0并且b=0〃就不是真命題.

(iii)“如果/,/2是對頂角,那么N1=N2〃是真命題，但它的逆命題21=/2,那

么,/2是對頂角〃就是假命題.

由這些例子可以說明，由a=B成立，不一定能肯定Bna也成立.

(2)證明

我們要說明“假設(shè)。，那么曠是真命題時，以什么方式來推證呢？最常用的根本

格式就是推出關(guān)系的傳遞性，即：

如果

a=B,①

3<=7,②

那么

a=>V.③

例如，（i）假設(shè)

z1和/2是對頂角，①

對頂角相等，②

那么z1=z2.③

（ii）張三是人，①

凡人必有死，②

所以張三必有死.③

上述推理格式叫作三段論式，推理中的①，②是兩個前提條件，①叫小前提，

②叫大前提，③是由①，②推出的結(jié)論.

實(shí)際上，三段論式和推出關(guān)系的傳遞性是一致的.例如“對頂角相等〃的證明過

程，可以像下面這樣來理解.

:z1是N2的對頂角（圖2-98）,求證:.

圖2-98

證

N1是N2的兩邊分別是乙2

的對頂角兩邊的反向延長線

N1與N3、

=>N2與N3=Zl+Z3=180%nZ1+Z3

互為補(bǔ)角42+N3=180??N2+N3

a?[

=|N1=N2"|

從上述證明過程可知，要證明“假設(shè)a,那么B〃，我們先設(shè)法找出一

連串適當(dāng)?shù)囊阎_命題，如a=>%,%=%,a2=%，…，

an=B.再由推出關(guān)系的傳遞性，就可斷定“若?，則B”是正確

的了.這種推導(dǎo)過程就叫作證明.經(jīng)過證明的重要命題就叫作定理.如果一個定

理的逆命題也正確，就把它叫作這個定理的逆定理.

應(yīng)用已經(jīng)被確認(rèn)的正確命題和條件作根據(jù)，經(jīng)過推演，導(dǎo)出某一命題成立，這

種方法就叫作演繹推理法i簡稱演繹法).演繹法是證明數(shù)學(xué)問題的重要方法.

例1己知：求證：

abc

a2+b2+c2=(a+b-c)2.

證

1111a+b,?e

-+—=-=>-=-■—(abh0)

abccab

=ab=c(a+b)

=2ab-2ac-abc=0

=(a2+b24-c2)4-2ab-2ac-2bc

=a2+b2+c2

(a+b-c)2=a2+b2+c2.

例2某校數(shù)學(xué)競賽，人，8,。，口工小，6小八位同學(xué)獲得了前八名，教

師叫他們猜一下誰是第一名.A說："或者F,或者H是第一名.〃B說:“我是第一

名.〃C說：“G是第一名.〃D說：“B不是第一名.〃E說：“A說的不對.〃F

說：“我不是第一名.〃G說：“C不是第一名.〃H說：“我同意A的意見.〃教師

說八個人中有三人猜對了，那么試問第一名是誰？

分解與解由條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必定一真一假.

(i)如果A與H猜對了，那么D與G也都猜對了.這樣就有四人猜對，不合題

意，因此，A與H必定都猜錯了.

(ii)如果E與F猜對了，即F與H都不是第一名，這時假設(shè)B猜對了，那么D

就猜錯了，C也猜錯了