新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.47.4.2A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．(多選)關(guān)于超幾何分布，下列說(shuō)法正確的是(ACD)A．超幾何分布的模型是不放回抽樣B．超幾何分布的總體里可以有兩類或三類物品C．超幾何分布中的參數(shù)是N，M，nD．超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成[解析]由超幾何分布的定義可知A、C、D均正確，因超幾何分布的總體里只有兩類物品，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．故選ACD.2．一工廠生產(chǎn)的100個(gè)產(chǎn)品中有90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取4個(gè)，則其中恰好有一個(gè)二等品的概率為(D)A．1－eq\f(C\o\al(4,90),C\o\al(4,100)) B．eq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(4,90)＋C\o\al(1,10)C\o\al(3,90),C\o\al(4,100))C.eq\f(C\o\al(1,10),C\o\al(4,100)) D．eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(3,90),C\o\al(4,100))[解析]由超幾何分布概率公式可知，所求概率為eq\f(C\o\al(3,90)C\o\al(1,10),C\o\al(4,100)).3．紋樣是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步，也是世界文化藝術(shù)寶庫(kù)中的巨大財(cái)寶．小楠從小就對(duì)紋樣藝術(shù)有深厚的愛(ài)好，他收集了4枚鳳紋徽章，5枚龍紋徽章．小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為(B)A.eq\f(3,4) B．eq\f(37,42)C．eq\f(21,37) D．eq\f(5,42)[解析]從9枚紋樣徽章中選擇3枚，全部可能事務(wù)的數(shù)目為Ceq\o\al(3,9)，滿意“一枚鳳紋徽章也沒(méi)有”的全部可能事務(wù)的數(shù)目為Ceq\o\al(3,5)，因?yàn)椤爸辽儆幸幻而P紋徽章”的對(duì)立事務(wù)為“一枚鳳紋徽章也沒(méi)有”，所以P＝1－eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝1－eq\f(5×4×3,9×8×7)＝eq\f(37,42).4．(2024·江西新余高二期末)有8件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取3件，若X表示取得次品的件數(shù)，則P(X≤1)＝(B)A.eq\f(3,4) B．eq\f(5,7)C．eq\f(4,5) D．7[解析]依據(jù)題意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(10,56)＋eq\f(30,56)＝eq\f(5,7).故選B.5．(多選)已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，則這10件產(chǎn)品的次品數(shù)可能為(AD)A．8 B．6C．4 D．2[解析]設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)C\o\al(1,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(x10－x,45)＝eq\f(16,45)，所以x＝2或x＝8.二、填空題6．設(shè)袋中有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中恰有3個(gè)紅球的概率為eq\f(8,15).[解析]從袋中10個(gè)球中任取4個(gè)球，共有Ceq\o\al(4,10)種取法，則其中恰有3個(gè)紅球的取法為Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(1,2).∴從袋中任取4個(gè)球，則其中恰有3個(gè)紅球的概率P＝eq\f(C\o\al(3,8)C\o\al(1,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,15).7．袋中裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從袋中任取4個(gè)球，取到1個(gè)紅球得3分，取到1個(gè)黑球得1分．設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則概率P(ξ≥8)＝eq\f(5,6).[解析]由題意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(3,4),C\o\al(4,9))－eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,9))＝eq\f(5,6).8．從一批含有13只正品，2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，每次抽一只，設(shè)抽取次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝_3__.[解析]方法一：抽取次品數(shù)ξ滿意超幾何分布：P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)C\o\al(3－k,13),C\o\al(3,15))，由題意知，ξ＝0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,13)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,13)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,15))＝eq\f(1,35)，∴取得次品數(shù)ξ的均值為E(ξ)＝0×eq\f(22,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(1,35)＝eq\f(2,5).故E(5ξ＋1)＝5×E(ξ)＋1＝3.方法二：由超幾何分布的均值公式可知E(ξ)＝n·eq\f(M,N)＝3×eq\f(2,15)＝eq\f(2,5).故E(5ξ＋1)＝5×E(ξ)＋1＝3.三、解答題9．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參與一項(xiàng)公益活動(dòng)．(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．[解析](1)從某小組的5名女生和4名男生中任選3人，共有Ceq\o\al(3,9)＝84種狀況，所選3人中恰有一名男生的狀況有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＝40種，故所選3人中恰有一名男生的概率為eq\f(40,84)＝eq\f(10,21).(2)隨機(jī)變量ξ的全部可能取值為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,14)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,21).所以隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(5,42)eq\f(10,21)eq\f(5,14)eq\f(1,21)10.在心理學(xué)探討中，常采納對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理示意對(duì)人的影響，詳細(xì)方法如下：將參與試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理示意的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．[解析](1)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務(wù)為M，則P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由題意知X全部可能的取值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6)C\o\al(0,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)B組·實(shí)力提升一、選擇題1．(多選)在4件產(chǎn)品中，有一等品2件，二等品1件(一等品與二等品都是正品)，次品1件，現(xiàn)從中任取2件，則下列說(shuō)法正確的是(ABD)A．兩件都是一等品的概率是eq\f(1,6)B．兩件中有1件是次品的概率是eq\f(1,2)C．兩件都是正品的概率是eq\f(1,3)D．兩件中至少有1件是一等品的概率是eq\f(5,6)[解析]對(duì)于A，兩件都是一等品的概率為eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，正確，對(duì)于B，兩件中有1件是次品的概率為eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，正確，對(duì)于C，兩件都是正品的概率為eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，兩件中至少有1件是一等品的概率為eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)，正確．2．現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課本共7本(其中語(yǔ)文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語(yǔ)文課本的概率是eq\f(5,7)，則語(yǔ)文課本共有(C)A．2本 B．3本C．4本 D．5本[解析]設(shè)語(yǔ)文課本n本，則數(shù)學(xué)課本有7－n本(n≥2)．則2本都是語(yǔ)文課本的概率為eq\f(C\o\al(2,n)C\o\al(0,7－n),C\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，由組合數(shù)公式得n2－n－12＝0，解得n＝4(負(fù)值舍去)．3．盒中有10個(gè)螺絲釘，其中有3個(gè)是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么概率是eq\f(3,10)的事務(wù)為(C)A．恰有1個(gè)是壞的 B．4個(gè)全是好的C．恰有2個(gè)是好的 D．至多有2個(gè)是壞的[解析]“X＝k”表示“取出的螺絲釘恰有k個(gè)是好的”，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1,2,3,4)，所以P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，故選C.二、填空題4．某市有m名男老師和n名女老師(m>n)，從中任取兩名老師去西部支教，甲被抽中的概率為eq\f(2,9)，一名男老師和一名女老師被抽中的概率為eq\f(5,9)，則eq\f(m,n)＝eq\f(5,4)，記去支教的老師中男老師的人數(shù)是ξ，則E(ξ)＝eq\f(10,9).[解析]由題意可得，eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,m＋n－1),C\o\al(2,m＋n))＝eq\f(2,9)，即m＋n＝9，eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,9))＝eq\f(5,9)，即mn＝20，且m>n，故m＝5，n＝4，故eq\f(m,n)＝eq\f(5,4)，由題意可知，ξ聽(tīng)從超幾何分布，所以E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＝eq\f(10,9).5．某校為了解高三學(xué)生身體素養(yǎng)狀況，從某項(xiàng)體育測(cè)試成果中隨機(jī)抽取n個(gè)學(xué)生成果進(jìn)行分析，得到成果頻率分布直方圖(如圖所示)，已知成果在[90,100]的學(xué)生人數(shù)為8，且有4個(gè)女生的成果在[50,60)中，則n＝_50__；現(xiàn)從成果在[50,60)的樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記所抽取學(xué)生中女生的人數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望是eq\f(4,3).[解析]依題意0.016×10n＝8，則n＝50.成果在[50,60)的人數(shù)為0.012×10×50＝6，其中4個(gè)為女生，2個(gè)為男生．ξ的可能取值為0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，故E(ξ)＝0×eq\f(1,15)＋eq\f(8,15)×1＋2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,3).三、解答題6．在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品．(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中隨意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的概率分布；(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中隨意抽取2張，①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元，求Y的概率分布．[解析](1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種狀況，故X的取值只有1和0兩種狀況．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，因此X的概率分布為X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng)．故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的全部可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此隨機(jī)變量Y的概率分布為Y01020