新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇專題6概率與統(tǒng)計第1講概率核心考點1隨機事件的關(guān)系古典概型教師用書

第1講概率高頻考點高考預(yù)料隨機事務(wù)、古典概型概率模型多考查獨立事務(wù)、條件概率、n重伯努利試驗、互斥事務(wù)和對立事務(wù)、而全概率公式、二項分布與正態(tài)分布則是新高考的熱點，多以選擇填空的形式出現(xiàn).條件概率與全概率n重伯努利試驗與二項分布正態(tài)分布1.(2024·全國甲卷文科)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,4)＝6，這2名學(xué)生來自不同年級包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選D.2.(2024·全國乙卷文科)某學(xué)校舉辦作文競賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題打算作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為(A)A.eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)【解析】某學(xué)校舉辦作文競賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題打算作文，甲、乙兩位參賽同學(xué)構(gòu)成的基本領(lǐng)件總數(shù)n＝6×6＝36，其中甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝Aeq\o\al(2,6)＝30，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).故選A.3.(2024·全國甲卷理科)有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為(A)A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1【解析】依據(jù)題意，在報名足球或乒乓球俱樂部的70人中，設(shè)某人報足球俱樂部為事務(wù)A，報乒乓球俱樂部為事務(wù)B，則P(A)＝eq\f(50,70)＝eq\f(5,7)，由于有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，則同時報名兩個俱樂部的有50＋60－70＝40人，則P(AB)＝eq\f(40,70)＝eq\f(4,7)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(4,7),\f(5,7))＝0.8.故選A.4.(2024·全國新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有Ceq\o\al(2,7)＝21種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7種，故所求概率P＝eq\f(21－7,21)＝eq\f(2,3).故選D.5.(2024·全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(C)A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)【解析】從6張卡片中無放回抽取2張，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，15種狀況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6種狀況，故概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故選C.6.(多選)(2024·全國新高考Ⅱ卷)在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0＜α＜1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0＜β＜1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號須要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)(ABD)A．采納單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采納三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采納三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0＜α＜0.5時，若發(fā)送0，則采納三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采納單次傳輸方案譯碼為0的概率【解析】采納單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為：(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正確；采納三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1,0,1的概率為：(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正確；采納三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1包含收到的信號為包含兩個1或3個1，故所求概率為：Ceq\o\al(2,3)β(1－β)2＋(1－β)3，故C錯誤；三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率P1＝Ceq\o\al(2,3)α(1－α)2＋(1－α)3，單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率P2＝1－α，P2－P1＝(1－α)－Ceq\o\al(2,3)α(1－α)2－(1－α)3＝(1－α)[1－Ceq\o\al(2,3)α(1－α)－(1－α)2]＝(1－α)(2α2－α)＝(1－α)·α(2α－1)，當(dāng)0＜α＜0.5時，P2－P1＜0，故P2＜P1，故D正確．故選ABD.7.(2024·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為eq\f(6,35).【解析】從正方體的8個頂點中任取4個，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70個結(jié)果，這4個點在同一個平面的有m＝6＋6＝12個，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).8.(2024·全國乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參與社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為eq\f(3,10).【解析】從5名同學(xué)中隨機選3名的方法數(shù)為Ceq\o\al(3,5)＝10，甲、乙都入選的方法數(shù)為Ceq\o\al(1,3)＝3，所以甲、乙都入選的概率P＝eq\f(3,10).9.(2024·全國新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝0.14eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(7,50))).【解析】因為X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.核心考點1隨機事務(wù)的關(guān)系、古典概型核心學(xué)問·精歸納1.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對隨意的事務(wù)A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，那么P(A∪B)＝_P(A)＋P(B)__；性質(zhì)4：假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_1－P(B)__；性質(zhì)5：假如A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于隨意事務(wù)A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事務(wù)，有P(A∪B)＝_P(A)＋P(B)－P(A∩B)__.2.古典概型一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事務(wù)A包含其中的k個樣本點，則定義事務(wù)A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事務(wù)A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．多維題組·明技法角度1：隨機事務(wù)的關(guān)系1.(2024·柳州模擬)從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事務(wù)是(D)A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D．恰有1本政治與恰有2本政治【解析】從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，至少有一本政治和都是數(shù)學(xué)是對立事務(wù)，故A錯誤；至少有一本是政治與都是政治，能同時發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故B錯誤；至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)，能同時發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故C錯誤；恰有1本政治與恰有2本政治，不能同時發(fā)生，能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事務(wù)，故D正確．故選D.2.(2024·徐匯區(qū)校級三模)某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參與圍棋競賽，事務(wù)“至少有1名男生”與事務(wù)“至少有1名女生”(D)A．是對立事務(wù)B．都是不行能事務(wù)C．是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)D．不是互斥事務(wù)【解析】事務(wù)“至少有1名男生”與事務(wù)“至少有1名女生”能同時發(fā)生，即兩名學(xué)生正好一名男生，一名女生，故兩事務(wù)既不是對立事務(wù)也不是互斥事務(wù)．故選D.角度2：古典概型的計算3.(2024·青島模擬)將4個不加區(qū)分的紅球和2個不加區(qū)分的黃球隨機排一行，則2個黃球不相鄰的概率為(C)A.eq\f(4,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)【解析】將4個不加區(qū)分的紅球和2個不加區(qū)分的黃球隨機排一行，共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,2)＝15種，其中2個黃球不相鄰的有Ceq\o\al(2,5)＝10種，所以所求事務(wù)的概率為eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).故選C.4.(2024·射洪市校級模擬)形如413或314的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字比兩邊的數(shù)字都?。阎?,2,3,4構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共24個，則從中任取一數(shù)恰為“波浪數(shù)”的概率為(B)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(5,8)【解析】若三位數(shù)中間的數(shù)字為1，則有Aeq\o\al(2,3)＝6個，若三位數(shù)中間的數(shù)字為2，則有Aeq\o\al(2,2)＝2個，即“波浪數(shù)”共有6＋2＝8個；所以從中任取一數(shù)恰為“波浪數(shù)”的概率P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).故選B.方法技巧·精提煉古典概型中樣本點個數(shù)的探求方法1．列舉法：適合的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉的問題；2．樹狀圖法：適用于較為困難的問題中樣本點個數(shù)的探究，尤其是有序問題；3．排列、組合法：在求解一些較為困難的問題時，可利用排列、組合學(xué)問求出樣本點個數(shù)．加固訓(xùn)練·促提高1.(2024·宜賓模擬)拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子一次，事務(wù)1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事務(wù)2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事務(wù)3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事務(wù)4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則(B)A．事務(wù)1與事務(wù)3互斥B．事務(wù)1與事務(wù)2互為對立事務(wù)C．事務(wù)2與事務(wù)3互斥D．事務(wù)3與事務(wù)4互為對立事務(wù)【解析】由題意可得事務(wù)1表示{1,3,5}，事務(wù)2表示{2,4,6}，事務(wù)3表示{4,5,6}，事務(wù)4表示{1,2}，所以事務(wù)1與事務(wù)2為對立事務(wù)，事務(wù)1與事務(wù)3不互斥，事務(wù)2與事務(wù)3不互斥，事務(wù)3與事務(wù)4互斥不對立，故選項A，C，D錯誤，選項B正確．故選B.2.(2024·東營模擬)五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為宮、商、角、徴、羽．假如從這五個音階中任取兩