新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考文試題含解析

Page19新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（文）試題一、單選題（本大題共12小題，共60.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合的交集運算，由元素個數(shù)即可求解.【詳解】因為，，所以，所以真子集個數(shù)為.故選：C【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，真子集，屬于簡單題.2.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定“”為真命題時的范圍，進而找到對應(yīng)選項.【詳解】“”為真命題，可得，因為，故選:D.3.函數(shù)的圖像的一個對稱中心是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式和協(xié)助角公式化簡函數(shù)解析式，然后求對稱中心即可.【詳解】，令，，解得，，當(dāng)時，，，所以是一個對稱中心.故選：A.4.一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上高校的費用，從孩子一周歲生日起先，每年到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時不再存入，將全部存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意依次分析孩子在1周歲時、2周歲時存入的元產(chǎn)生的本利合計，則可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列的前17項的和，由等比數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】依據(jù)題意，當(dāng)孩子18歲生日時，孩子在一周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，同理：孩子在2周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，孩子在3周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，孩子在17周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，可以看成是以為首項，為公比的等比數(shù)列的前17項的和，此時將存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)：故選：D【點睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的前項和的公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.在正方形ABCD中，M是BC的中點．若，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求解作答.【詳解】在正方形ABCD中，以點A為原點，直線AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令，則，，，因，于是得，解得，所以的值為.故選：B6.設(shè)是等差數(shù)列，是其公差，是其前n項的和．若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.與均為的最大值【答案】C【解析】【分析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項的和的性質(zhì)可推斷每個選項的正誤，進而可得正確選項.【詳解】由可得，由可得，故選項B正確；由可得，因為公差，故選項A正確，，所以，故選項C不正確；由于是等差數(shù)列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項D正確；所以選項C不正確，故選：C7.已知，，則的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】所以，選D.8.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上點的隨意一點，則的最大值為A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】【詳解】由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋∵P為橢圓上一點，∴＋＝1.∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6.9.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法錯誤的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是公差為等差數(shù)列 D.【答案】C【解析】【分析】A選項：依據(jù)，，再結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可得到數(shù)列的公比；B選項：利用求和公式得到，再利用等比數(shù)列的定義證明是等比數(shù)列即可；C選項：利用等差數(shù)列的定義證明為等差數(shù)列即可；D選項：依據(jù)求即可.【詳解】A選項：因為若，，所以，，所以，所以，（舍），故A正確；B選項：由A知，，所以，，，所以，且，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；C選項：由B知，，且，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故C錯誤；D選項：由B知，，故D正確；故選：C.10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】一元二次不等式解集轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解，依據(jù)韋達(dá)定理求出，，再用基本不等式求出最值【詳解】的解集為，則是方程的兩個根，故，，故因為，所以有基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最大值為故選：D11.在中，，，O是的外心，則的值為（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合平面對量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】過點O分別作于點D，于點E，依據(jù)圓的性質(zhì)可得D，E分別為，的中點，.故選：C.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A.是函數(shù)的對稱軸B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最大值為，最小值為-2D.函數(shù)在區(qū)間上恰有2024個零點，則【答案】D【解析】【分析】對于A,驗證，即可推斷正誤；對于B，脫掉肯定值符號，求導(dǎo)數(shù)，分段探討，依據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進行推斷；對于C，分段探討，采納換元法，求得函數(shù)的最值；對于D，先推斷在上的零點有兩個，即可知當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，由此結(jié)合條件求得.【詳解】A.,故不是函數(shù)的對稱軸，故A錯誤；B.時，則，當(dāng)時，遞減，遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則時，，遞增，時，，遞減，故B錯誤；C.由于，即是的一個周期，故只需考慮在上的最值即可；當(dāng)時，，令，則在為單調(diào)減函數(shù)，故；當(dāng)時，，令，則在單調(diào)增函數(shù)，故，綜合以上可知最大值為，最小值為，故C錯誤；D．由于是的一個周期，故先考慮在上的零點狀況，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時或，即在上的零點有兩個，即當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，由于函數(shù)區(qū)間上恰有2024個零點，則，故D正確，【點睛】本題綜合考查了含肯定值符號時三角函數(shù)的性質(zhì)問題，綜合性較強，要能綜合應(yīng)用三角函數(shù)以及分類探討脫肯定值符號的相關(guān)學(xué)問敏捷解答.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知，，且，求的最小值_______【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式里“1”的運用求最值即可.【詳解】∵，，且，∴當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，則的最小值.故答案為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)_______.【答案】3【解析】【分析】先分別變量，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，分類探討即可.【詳解】∵函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，最大值為；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，最大值為，即，明顯不合題意，故實數(shù).故答案為：315.已知當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】令，依據(jù)不等式恒成立，得到，解不等式即可.【詳解】令，因為當(dāng)時，不等式恒成立，所以，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16.數(shù)列滿意，前16項和為540，則______________.【答案】【解析】【分析】對為奇偶數(shù)分類探討，分別得稀奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.設(shè)數(shù)列的前項和為，，.故答案：.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類探討思想和數(shù)學(xué)計算實力，屬于較難題.三、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，為上一點，，，.（1）若，求外接圓的半徑；（2）設(shè)，，求面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理求解長度，進而由正弦定理即可求解外接圓半徑，（2）依據(jù)邊角關(guān)系在中利用余弦定理可求解長度，進而依據(jù)正弦定理求解,由面積公式即可求解.【小問1詳解】由余弦定理，解得；又，解得；∴外接圓的半徑為；【小問2詳解】由，所以，所以；由；設(shè)，則，，在中，，，，由余弦定理得，解得；所以，；由正弦定理，即，解得；所以，即的面積為.18.2024年東京奧運會，中國舉重選手8人參賽，7金1銀，在全世界面前呈現(xiàn)了真正的中國力氣；舉重競賽依據(jù)體重進行分級，某次舉重競賽中，男子舉重按運動員體重分為下列十級：級別54公斤級59公斤級64公斤級70公斤級76公斤級體重54.01～5959.01～6464.01～7070.01～76級別83公斤級91公斤級99公斤級108公斤級108公斤級以上體重76.01～8383.01～9191.01～9999.01～108每個級別競賽分為抓舉與挺舉兩個部分，最終綜合兩部分的成果得出總成果，所舉重量最大者獲勝，在該次舉重競賽中，獲得金牌的運動員的體重以及舉重成果如下表體重5459647076839199106舉重成果291304337353363389406421430（1）依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出運動員舉重成果y與運動員的體重x的回來直線方程（保留1位小數(shù)）；（2）某金牌運動員抓舉成果為170公斤，挺舉成果為204公斤，則該運動員最有可能是參與的哪個級別的舉重？參考數(shù)據(jù)：；參考公式：．【答案】（1）；（2）83公斤級舉重.【解析】【分析】（1）依題意，計算出，，由公式求得，，由此求得回來方程．（2）依據(jù)回來方程得：，解之可推斷.【詳解】解：（1）依題意，，，，則，故回來方程為：．（2）該運動員的抓舉和挺舉的總成果為374公斤，依據(jù)回來方程可知：，解得，即該運動員的體重應(yīng)當(dāng)在81公斤左右，即參與的應(yīng)當(dāng)是83公斤級舉重．19.如圖，桌面上擺放了兩個相同的正四面體和.（1）求證：；（2）若，求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接與相交于點，證得為的中點，連接，，利用線面垂直的判定定理證得平面，即可得到；（2）過點分別作，得到分別為和的中心，分別求得的長度，結(jié)合平面，及，即可求解.【小問1詳解】證明：因為與共面，所以連接與相交于點，因為和是相同的正四面體，所以四邊形為菱形，則為的中點，連接，，因為，，所以，又因為，面，所以平面，所以；【小問2詳解】在四邊形中，過點分別作，垂足分別為，如圖所示，可得分別為等邊和等邊的中心，因為，在等邊中，可得，則，，在直角中，可得，同理可得，所以，由（1）知，平面，可得平面，所以.20.已知拋物線，過焦點的直線l交拋物線C于M、N兩點，且線段中點的縱坐標(biāo)為2．（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對稱的兩點P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過P的隨意一條直線交拋物線C于A、B兩點，求證：始終被x軸平分．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則．又因為，得，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過P的直線為．聯(lián)立方程組可得，明顯．設(shè)，則．所以．所以始終被x軸平分．21.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）微小值為，無極大值;（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】【分析】(1)依據(jù)題意求得，分和探討的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求導(dǎo)得，令，對求導(dǎo)，當(dāng)時，通過對的正負(fù)推斷，從而得的正負(fù)及的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時，求得，從而分和探討的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【小問1詳解】解：時，，，當(dāng)時，，，所以，即上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，所以，即在上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；所以函數(shù)的微小值為，無極大值.【小問2詳解】解：因為，令，則，（i）當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，即在上遞增，當(dāng)時，，，，即在上遞減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.選做題（二選一）22.已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合.若曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的一般方程；（2）設(shè)點，直線與曲線交于、兩點，求的值.【答案】（1），（2）9【解析】【分析】（1）依據(jù)，，，將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，通過消參的方法得到直線的一般方程；（2）利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求即可.【小問1詳解】由，得，又由，，，得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，由，消去參數(shù)，得直線的一般方程為.【小問2詳解】由（1）知直線的參數(shù)方程可化為（t為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程得.由韋達(dá)定理，得，則.23.選修