新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考文試題含解析

Page19新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（文）試題一、單選題（本大題共12小題，共60.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合的交集運(yùn)算，由元素個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以真子集個(gè)數(shù)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，真子集，屬于簡(jiǎn)單題.2.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定“”為真命題時(shí)的范圍，進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)選項(xiàng).【詳解】“”為真命題，可得，因?yàn)?，故選:D.3.函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式和協(xié)助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后求對(duì)稱中心即可.【詳解】，令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，，所以是一個(gè)對(duì)稱中心.故選：A.4.一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上高校的費(fèi)用，從孩子一周歲生日起先，每年到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，將全部存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意依次分析孩子在1周歲時(shí)、2周歲時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)，則可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的前17項(xiàng)的和，由等比數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】依據(jù)題意，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)，孩子在一周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，同理：孩子在2周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，孩子在3周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，孩子在17周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，可以看成是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的前17項(xiàng)的和，此時(shí)將存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)．若，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解作答.【詳解】在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令，則，，，因，于是得，解得，所以的值為.故選：B6.設(shè)是等差數(shù)列，是其公差，是其前n項(xiàng)的和．若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.與均為的最大值【答案】C【解析】【分析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)的和的性質(zhì)可推斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由可得，由可得，故選項(xiàng)B正確；由可得，因?yàn)楣?，故選項(xiàng)A正確，，所以，故選項(xiàng)C不正確；由于是等差數(shù)列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項(xiàng)D正確；所以選項(xiàng)C不正確，故選：C7.已知，，則的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】所以，選D.8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，則的最大值為A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】【詳解】由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴＋＝1.∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴的最大值在x0＝2時(shí)取得，且最大值等于6.9.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是公差為等差數(shù)列 D.【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)：依據(jù)，，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到數(shù)列的公比；B選項(xiàng)：利用求和公式得到，再利用等比數(shù)列的定義證明是等比數(shù)列即可；C選項(xiàng)：利用等差數(shù)列的定義證明為等差數(shù)列即可；D選項(xiàng)：依據(jù)求即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)槿?，，所以，，所以，所以，（舍），故A正確；B選項(xiàng)：由A知，，所以，，，所以，且，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；C選項(xiàng)：由B知，，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由B知，，故D正確；故選：C.10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】一元二次不等式解集轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解，依據(jù)韋達(dá)定理求出，，再用基本不等式求出最值【詳解】的解集為，則是方程的兩個(gè)根，故，，故因?yàn)?，所以有基本不等式得：，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為故選：D11.在中，，，O是的外心，則的值為（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合平面對(duì)量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)O分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，依據(jù)圓的性質(zhì)可得D，E分別為，的中點(diǎn)，.故選：C.12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.是函數(shù)的對(duì)稱軸B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最大值為，最小值為-2D.函數(shù)在區(qū)間上恰有2024個(gè)零點(diǎn)，則【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A,驗(yàn)證，即可推斷正誤；對(duì)于B，脫掉肯定值符號(hào)，求導(dǎo)數(shù)，分段探討，依據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行推斷；對(duì)于C，分段探討，采納換元法，求得函數(shù)的最值；對(duì)于D，先推斷在上的零點(diǎn)有兩個(gè)，即可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，由此結(jié)合條件求得.【詳解】A.,故不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；B.時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，遞減，遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，故B錯(cuò)誤；C.由于，即是的一個(gè)周期，故只需考慮在上的最值即可；當(dāng)時(shí)，，令，則在為單調(diào)減函數(shù)，故；當(dāng)時(shí)，，令，則在單調(diào)增函數(shù)，故，綜合以上可知最大值為，最小值為，故C錯(cuò)誤；D．由于是的一個(gè)周期，故先考慮在上的零點(diǎn)狀況，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或，即在上的零點(diǎn)有兩個(gè)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，由于函數(shù)區(qū)間上恰有2024個(gè)零點(diǎn)，則，故D正確，【點(diǎn)睛】本題綜合考查了含肯定值符號(hào)時(shí)三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，要能綜合應(yīng)用三角函數(shù)以及分類探討脫肯定值符號(hào)的相關(guān)學(xué)問(wèn)敏捷解答.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知，，且，求的最小值_______【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式里“1”的運(yùn)用求最值即可.【詳解】∵，，且，∴當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，則的最小值.故答案為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)_______.【答案】3【解析】【分析】先分別變量，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，分類探討即可.【詳解】∵函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，最大值為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，最大值為，即，明顯不合題意，故實(shí)數(shù).故答案為：315.已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】令，依據(jù)不等式恒成立，得到，解不等式即可.【詳解】令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16.數(shù)列滿意，前16項(xiàng)和為540，則______________.【答案】【解析】【分析】對(duì)為奇偶數(shù)分類探討，分別得稀奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類探討思想和數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，屬于較難題.三、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.在中，為上一點(diǎn)，，，.（1）若，求外接圓的半徑；（2）設(shè)，，求面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理求解長(zhǎng)度，進(jìn)而由正弦定理即可求解外接圓半徑，（2）依據(jù)邊角關(guān)系在中利用余弦定理可求解長(zhǎng)度，進(jìn)而依據(jù)正弦定理求解,由面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理，解得；又，解得；∴外接圓的半徑為；【小問(wèn)2詳解】由，所以，所以；由；設(shè)，則，，在中，，，，由余弦定理得，解得；所以，；由正弦定理，即，解得；所以，即的面積為.18.2024年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)舉重選手8人參賽，7金1銀，在全世界面前呈現(xiàn)了真正的中國(guó)力氣；舉重競(jìng)賽依據(jù)體重進(jìn)行分級(jí)，某次舉重競(jìng)賽中，男子舉重按運(yùn)動(dòng)員體重分為下列十級(jí)：級(jí)別54公斤級(jí)59公斤級(jí)64公斤級(jí)70公斤級(jí)76公斤級(jí)體重54.01～5959.01～6464.01～7070.01～76級(jí)別83公斤級(jí)91公斤級(jí)99公斤級(jí)108公斤級(jí)108公斤級(jí)以上體重76.01～8383.01～9191.01～9999.01～108每個(gè)級(jí)別競(jìng)賽分為抓舉與挺舉兩個(gè)部分，最終綜合兩部分的成果得出總成果，所舉重量最大者獲勝，在該次舉重競(jìng)賽中，獲得金牌的運(yùn)動(dòng)員的體重以及舉重成果如下表體重5459647076839199106舉重成果291304337353363389406421430（1）依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出運(yùn)動(dòng)員舉重成果y與運(yùn)動(dòng)員的體重x的回來(lái)直線方程（保留1位小數(shù)）；（2）某金牌運(yùn)動(dòng)員抓舉成果為170公斤，挺舉成果為204公斤，則該運(yùn)動(dòng)員最有可能是參與的哪個(gè)級(jí)別的舉重？參考數(shù)據(jù)：；參考公式：．【答案】（1）；（2）83公斤級(jí)舉重.【解析】【分析】（1）依題意，計(jì)算出，，由公式求得，，由此求得回來(lái)方程．（2）依據(jù)回來(lái)方程得：，解之可推斷.【詳解】解：（1）依題意，，，，則，故回來(lái)方程為：．（2）該運(yùn)動(dòng)員的抓舉和挺舉的總成果為374公斤，依據(jù)回來(lái)方程可知：，解得，即該運(yùn)動(dòng)員的體重應(yīng)當(dāng)在81公斤左右，即參與的應(yīng)當(dāng)是83公斤級(jí)舉重．19.如圖，桌面上擺放了兩個(gè)相同的正四面體和.（1）求證：；（2）若，求四面體的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接與相交于點(diǎn)，證得為的中點(diǎn)，連接，，利用線面垂直的判定定理證得平面，即可得到；（2）過(guò)點(diǎn)分別作，得到分別為和的中心，分別求得的長(zhǎng)度，結(jié)合平面，及，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榕c共面，所以連接與相交于點(diǎn)，因?yàn)楹褪窍嗤恼拿骟w，所以四邊形為菱形，則為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，所以；【小?wèn)2詳解】在四邊形中，過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為，如圖所示，可得分別為等邊和等邊的中心，因?yàn)椋诘冗呏?，可得，則，，在直角中，可得，同理可得，所以，由（1）知，平面，可得平面，所以.20.已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過(guò)P的隨意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則．又因?yàn)椋?，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過(guò)P的直線為．聯(lián)立方程組可得，明顯．設(shè)，則．所以．所以始終被x軸平分．21.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）微小值為，無(wú)極大值;（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】【分析】(1)依據(jù)題意求得，分和探討的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求導(dǎo)得，令，對(duì)求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，通過(guò)對(duì)的正負(fù)推斷，從而得的正負(fù)及的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，求得，從而分和探討的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【小問(wèn)1詳解】解：時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，即上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；所以函數(shù)的微小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，令，則，（i）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，即在上遞增，當(dāng)時(shí)，，，，即在上遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.選做題（二選一）22.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合.若曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的一般方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1），（2）9【解析】【分析】（1）依據(jù)，，，將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，通過(guò)消參的方法得到直線的一般方程；（2）利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求即可.【小問(wèn)1詳解】由，得，又由，，，得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，由，消去參數(shù)，得直線的一般方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知直線的參數(shù)方程可化為（t為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程得.由韋達(dá)定理，得，則.23.選修