新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第36講圓錐曲線的離心率問題教師版

第36講圓錐曲線的離心率問題一．選擇題（共27小題）1．（2024春?滁州期末）如圖，設(shè)橢圓的右頂點為，右焦點為，為橢圓在其次象限上的點，直線交橢圓于點，若直線平分線段于，則橢圓的離心率是A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接，橢圓的右頂點為，右焦點為，為橢圓在其次象限上的點，直線交橢圓于點，直線平分線段于，為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率．故選：．2．（2024?常德期末）已知橢圓的左頂點為，右焦點為，以點為圓心，長為半徑的圓與橢圓相交于點，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：橢圓的左頂點為，右焦點為，若點為曲線上一點，左焦點且以點為圓心，長為半徑的圓與橢圓相交于點，可得，，，可得，所以，，所以，，解得，解得，故選：．3．（2024?浙江期中）如圖，，，是橢圓上的三個點，經(jīng)過原點，經(jīng)過右焦點，若且，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點，連接，，，設(shè)，由對稱性可知：，由橢圓的定義可知：，由，則，則△中，由，則，整理得：，在△中，，將代入解得橢圓的離心率．故選：．4．（2024?衢州期末）已知，，是橢圓上的三個點，直線經(jīng)過原點，直線經(jīng)過橢圓右焦點，若，且，則橢圓的離心率是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點，連接，，，設(shè)，由對稱性可知：，由橢圓的定義可知：，由，則，則△中，由，則，整理得：，在△中，，將，代入解得橢圓的離心率，故選：．5．（2024?湖南校級模擬）如圖所示，，，是雙曲線上的三個點，經(jīng)過坐標(biāo)原點，經(jīng)過雙曲線的右焦點，若，且，則該雙曲線的離心率是A． B． C． D．3【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點為，則四邊形是矩形，由，，可得．又，在直角三角形中，，解得．故選：．6．（2024?讓胡路區(qū)校級一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以坐標(biāo)原點為圓心，以為直徑的圓交雙曲線右支上一點，，則雙曲線的離心率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，則，，，，，．故選：．7．（2024?運城模擬）已知雙曲線的左，右焦點分別為，，以原點為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖：雙曲線的左，右焦點分別為，，以原點為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，，可知是正三角形，所以，，代入雙曲線方程可得：．又，，可得，解得．故選：．8．（2024?天心區(qū)校級月考）已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于，兩點，其中點在第一象限，若，且雙曲線的離心率為2．則A． B． C． D．【解答】解：由雙曲線的定義知，，，，即，，在△中，由余弦定理知，，，，，故選：．9．（2024?河南模擬）已知雙曲線的左右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支相交于點，與雙曲線的右支相交于點，為坐標(biāo)原點．若，且，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)，則，，，同理，，，，，在，中，，即，得，有，，在△，中，由，即，得，即離心率，故選：．10．（2024?雙流區(qū)校級期中）已知橢圓的右焦點為，滿意，若點為橢圓上一點，記的最大值為，記最小值為，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：因為，所以，即，所以，由已知得的最大值為，最小值為，則，又由得，所以，所以，所以，所以的取值范圍為，故選：．11．（2024?濱州期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與圓相切于點，交雙曲線的右支于點，且點是線段的中點，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接，，過點的直線與圓相切于點，，依題意可得，，，，，，，，雙曲線的漸近線方程為．故選：．12．（2024?福建模擬）已知雙曲線的左、右焦點坐標(biāo)分別為，，過作圓的切線交的右支于點．若，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)切點為，連接，過作，垂足為，由，且為△的中位線，可得，，即有，則，即有，由雙曲線的定義可得，則，，即，又，，解得：（舍或．故選：．13．（2024?廣州一模）已知為坐標(biāo)原點，設(shè)雙曲線的左，右焦點分別為，，點是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的點．過點作的平分線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2【解答】解：延長交與，由為的角平分線，，所以為的中點，，連接，則為△的中位線，所以，而因為，而所以整理可得，即，解得或1，再由雙曲線的離心率大于1，可得，故選：．14．（2024?榆林四模）已知直線與雙曲線的一條漸近線交于點，雙曲線的左、右焦點分別為、且，則雙曲線的離心率為A． B．或3 C． D．或4【解答】解：雙曲線的左、右焦點分別為，，，可得，即有直線的斜率為，由直線與雙曲線：雙曲線的一條漸近線交于點，可得，可得，即有，化為，由可得，解得或，由，可得，即，可得舍去．故選：．15．（2024?新疆模擬）已知，是雙曲線的兩個焦點，過的直線與圓切于點，且與雙曲線右支交于點，是線段的中點，若，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，即，①連接，在直角三角形中，可得，又，可得，則，，又在直角三角形中，，所以，由為△的中位線，可得，由雙曲線的定義可得，即，②由①②解得，，所以雙曲線的方程為．故選：．16．（2024?西青區(qū)期末）已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線、的離心率相同．若是雙曲線一條漸近線上的點，且為原點），若，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【解答】解：雙曲線的離心率為，設(shè)，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由的面積為16，可得，即，又，且，解得，，，即有雙曲線的方程為，故選：．17．（2024?臨汾模擬）已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線一條漸近線上的點，且，若的面積為16，且雙曲線，的離心率相同，則雙曲線的實軸長為A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：雙曲線的離心率為，設(shè)，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由的面積為16，可得，即，又，且，解得，，，即有雙曲線的實軸長為16．故選：．18．（2024?河北區(qū)校級期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，若，則橢圓離心率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：因為直線過左焦點，若，即焦點三角形為直角三角形，且，依據(jù)焦點三角形的性質(zhì)，當(dāng)為短軸頂點（設(shè)為時，有最大值，所以若有，則，所以，即，也即，所以離心率，又因為橢圓離心率，所以，，故選：．19．（2024?昌邑區(qū)校級期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且，，則橢圓的離心率等于A． B． C． D．【解答】解：，，，△是直角三角形，，，由橢圓的定義可得，，，．故選：．20．（2024?湖北模擬）設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，，為其共同的左、右的焦點，且，若橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：依題意有，即，，，解得，，，，，故選：．21．（2024春?浙江月考）已知點是雙曲線的右焦點，點是該雙曲線的左頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若不是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解答】解：因為不是銳角三角形，所以為鈍角，因為雙曲線關(guān)于軸對稱，且直線垂直軸，所以，所以，因為為右焦點，設(shè)其坐標(biāo)為，所以，所，，所以，所以，所以（舍去）或，所以雙曲線的離心率為，．故選：．22．（2024?浙江模擬）已知點為雙曲線的右焦點，直線，與雙曲線交于，兩點，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A．， B． C．， D．，【解答】解：點為雙曲線的右焦點，直線，與雙曲線交于，兩點，若，不妨在第一象限，，代入雙曲線方程可得：即：，可得，可得，直線，，可知，，，，所以，．故選：．23．（2024?重慶期末）已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，設(shè)，，，則，，依據(jù)雙曲線的定義，得，即，解得，，即，，，△中，，在三角形中，，，，可得，因此，該雙曲線的離心率．故選：．24．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的右頂點為，右焦點為，，是雙曲線的一條漸近線上兩個不同點，滿意，都垂直于軸，過作，垂足為，若四邊形的面積是三角形面積的4倍，則雙曲線的離心率A． B．2 C．3 D．【解答】解：由雙曲線的方程可得，，漸近線方程為，由題意可得，都在漸近線上，可得，矩形的面積為，三角形的面積為，由題意可得，即為，所以．故選：．25．（2024春?浙江月考）設(shè)橢圓的兩個焦點是，，過點的直線與橢圓交于點，，若，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，因為，且，所以，可得，，故．過作，在直角三角形中，，，由，可得．即可得，．故選：．26．（2024?包河區(qū)校級模擬）已知雙曲線的離心率，過焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線交另一條漸近線于，則A．2 B． C． D．【解答】解：由題意雙曲線的離心率為：，可得，可得，所以，漸近線方程為：，如圖：，則，，所以，所以，．故選：．27．設(shè)橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關(guān)于原點對你，且滿意，，則橢圓的離心率的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：取橢圓的左焦點兩點，關(guān)于原點對稱可得直線過原點，如圖所示：由，可得，即為矩形，，，，可得，，，當(dāng)在上頂點時，最小，當(dāng)，最大，所以離心率，即，，故選：．二．填空題（共18小題）28．（2024春?昌江區(qū)校級期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線右支上一點，，直線交軸于點，且，則雙曲線的離心率為．【解答】解：設(shè)，設(shè)，，，設(shè)，，，，則，，解得，，即，，，，即，，，得，解得，即，，在雙曲線上，，而，可得：或5，由于，可得，故答案為：．29．（2024?浙江模擬）如圖，橢圓的離心率為，是的右焦點，點是上第一象限內(nèi)隨意一點，，，若，則的取值范圍是，．【解答】解：設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程可得，，，可得，，由，可得，即為，化為，可得，對恒成立，由，可得，即為，可得，即，故答案為：，．30．（2024?武侯區(qū)校級模擬）如圖，橢圓的離心率為，是的右焦點，點是上第一象限內(nèi)隨意一點．且，，若，則離心率的取值范圍是，．【解答】解：設(shè)，，因為，所以，所以點的坐標(biāo)為，，又因為，所以點的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得：，化簡可得：，又因為，則化簡可得：恒成立，因為，所以，所以，令，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以，則，所以解得，故答案為：．31．（2024?杭州校級模擬）如圖，橢圓的離心率，，分別是橢圓的左焦點和右點頂點，是橢圓上隨意一點，若的最大值是12，則橢圓方程為．【解答】解：，，設(shè)，，則，，，．．當(dāng)時，有最大值為．，則，．所求橢圓方程為．故答案為：．32．（2024春?恩施州期末）設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，為其右焦點，點關(guān)于原點的對稱點為，，設(shè)則雙曲線離心率是．【解答】解：點關(guān)于原點的對稱點為，，，，是等邊三角形，，，代入雙曲線，可得，，，，，．故答案為：．33．（2024?章貢區(qū)校級三模）設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，為其右焦點，點關(guān)于原點的對稱點為，若，設(shè)，且，，則雙曲線離心率的取值范圍是，．【解答】解：設(shè)左焦點為，令，，則，，點關(guān)于原點的對稱點為，，，，，，，，，，，，，．故答案為：，．34．（2024?永康市模擬）已知橢圓，若存在過點且相互垂直的直線，使得，與橢圓均無公共點，則該橢圓離心率的取值范圍是．【解答】解：橢圓，明顯，中一條斜率不存在和另一條斜率為0，兩直線與橢圓相交，可設(shè)，即，聯(lián)立橢圓方程可得，由直線和橢圓無交點，可得△，化為，解得，由兩直線垂直的條件，可將換為，即有，化為，解得或，由題意可得，，化為，由于時，，可得；同樣，解得，則．故答案為：．35．（2024?河南月考）橢圓上存在第一象限的點，，使得過點且與橢圓在此點的切線垂直的直線經(jīng)過點為橢圓半焦距），則橢圓離心率的取值范圍是，．【解答】解：因為過點且與橢圓在此點的切線垂直的直線經(jīng)過點，所以，化簡可得，解得，因為點在第一象限，所以，所以，則，所以，即橢圓的離心率的范圍為，，故答案為：，．36．已知橢圓的兩個焦點為，，為坐標(biāo)原點，為軸上一點，連接，過作垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，連接，，且，四邊形的面積為，則橢圓的離心率為．【解答】解：由過作垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，則，由，則△的面積，△的面積，直角梯形的面積，四邊形的面積為，，橢圓的離心率，故答案為：．37．（2024春?確山縣校級期中）已知橢圓，雙曲線，若以的長軸為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點，且與該漸近線的兩交點將線段三等分，則的離心率為．【解答】解：設(shè)橢圓與雙曲線的漸近線相交于、兩點，以的長軸為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點（如圖）與該漸近線的兩交點將線段三等分，，，由得，由，得即，即，即，即故答案為：38．（2024春?濠江區(qū)校級期中）已知為橢圓在第一象限上一點，關(guān)于原點的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，設(shè)，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)，，設(shè)，，由題意可得，，，，因為，設(shè)，，則，所以，即，，，的坐標(biāo)代入，所以，所以，即，而因為，所以，所以可得，由，，三點共線，所以，即，即，將其代入中，，又，所以．故答案為：．39．（2024?渝中區(qū)校級期中）如圖，已知為橢圓上的點，點、分別在直線與上，點為坐標(biāo)原點，四邊形為平行四邊形，若平行四邊形四邊長的平方和為定值，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)，，則直線的方程為，直線方程為，聯(lián)立方程組，解得，聯(lián)立方程組，解得，則，又點在橢圓上，則有，又為定值，則，即，得．故答案為：．40．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）已知為橢圓上隨意一點，點，分別在直線與上，且，，若為定值，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)，，則直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立方程組，解得，，聯(lián)立方程組，解得，，，，在橢圓上，，為定值，，．．故答案為：．41．（2024?道里區(qū)校級期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線右支上的一點，射線平分交軸于點，過原點的直線平行于直線交于點，若，則雙曲線的離心率為．【解答】解：設(shè)雙曲線的右頂點為