胡不歸問(wèn)題歸納

中考數(shù)學(xué)壓軸熱點(diǎn)問(wèn)題“胡不歸模型近幾年中考題中，常出現(xiàn)帶系數(shù)的兩線段和的最值問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題基本都要用到“阿氏圓”和“胡不歸”模型.下面著重講解“胡不歸模型”的應(yīng)用.【背景】從前，有一個(gè)小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖1所示:A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當(dāng)他氣喘吁吁地趕到父親眼前時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子不覺(jué)失聲痛哭，鄰舍勸慰小伙子時(shí)告訴說(shuō)，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸胡不歸這個(gè)古老的傳說(shuō)，引起了人們的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢倘有可能，他應(yīng)該選擇條怎樣的路線呢這就是風(fēng)靡千年的“胡不歸問(wèn)題”.由于在驛道和沙礫地的行走速度不一樣，那么，小伙子有沒(méi)有可能先在驛道上走一程后，再走沙礫地，雖然多走了路，但反而總用時(shí)更短呢如果存在這種可能，那么要在驛道上行走多遠(yuǎn)才最省時(shí)設(shè)在沙礫地行駛速度為vj在驛道行駛速度為V2，顯然\＜工.不妨假設(shè)從C處進(jìn)入砂礫地.設(shè)總共用時(shí)為t,則t=BC+不妨假設(shè)從C處進(jìn)入砂礫地.設(shè)總共用時(shí)為t,則vvvvTOC\o"1-5"\h\z12 1 2v，v是確定的，所以只要（BC+乙AC）最小，用時(shí)就最少.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求（BC+乙AC）的最\o"CurrentDocument"2 v v2小值.我們可以作出一條以C為端點(diǎn)的線段，使其等于LAC.并且與線段CB位于AM的兩側(cè)，v2然后，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，不難找到最小值點(diǎn).怎么作呢由三角函數(shù)的定義，過(guò)A點(diǎn)，v在AM的另一側(cè)以A為頂點(diǎn)，以AM為一邊作NMAN=Na，sina=t.然后，作CE±AN，2則CE=工AC.最后，當(dāng)點(diǎn)B、C、E在一條直線上時(shí)，BC+CE最小，即（BC+LAC）的值最小，v v2 2即用時(shí)最小.

例1.如圖,AC是圓0例1.如圖,AC是圓0的直徑,AC=4,弧BA=120°1，點(diǎn)D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么0D+,BD的最小值為解；.句的度數(shù)為數(shù)明二60174C是直徑r，乙1于叫作網(wǎng)］CA,DE_L力度于OMI 作網(wǎng)］CA,DE_L力度于OMI 連接0占.,:BKgAC,總忐￡=/在盤(pán)心DBE中IDE-yHD,Xr根據(jù)垂鏤段最短可知.當(dāng)點(diǎn)總與臺(tái)時(shí).&?+；&仃的值最小J最小值為：^BAO=^A&O=^nf.二/甌0二60二在劃為艇中,-.05=2.￡OBM-^r二口」V=。川?￡村60,二V回r.-.杷百+0口的最小值為/.二=方法總結(jié):“胡不歸”問(wèn)題中涉及到三個(gè)點(diǎn)。其中有兩個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)是在直 第一步：在系數(shù)不為i的線段的定端點(diǎn)處作一個(gè)角，使其的正弦值等于此線段的系數(shù).（注意題目中有無(wú)特殊角）第二步：過(guò)動(dòng)點(diǎn)作上一步的角的邊的垂線，構(gòu)造直角三角形.第三步：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，找到最小值的位置.第四步：計(jì)算.應(yīng)用:如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，AB=AC，A（0,222），C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A-D-C,點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為.解:假設(shè)F在的速度為多匕在CD的速度為1吃總時(shí)間U翼+華二）（竽+CD）,要使F最小,就要竽+G）最小，因?yàn)椤灰远弧付檫^(guò)點(diǎn)白作片口_1_且白交于點(diǎn)交1于D,易證TOC\o"1-5"\h\zACAD 4D所以售二嘉=3』所以亭二。H,因?yàn)槭堑妊切?所以以D二。（JCUn Jjn所以要y-4C0最小r就是要D目+0D最小,就要夙從"三點(diǎn)共線就行了.因?yàn)榘譻aeoQr所以黑二洛，即孚二臬,所以。。二CJjBU￡J1UU 4所以點(diǎn)口的坐標(biāo)應(yīng)為5,亨］.中考?jí)狠S題實(shí)戰(zhàn)練習(xí)：如圖，已知拋物線y=k（x+2）（x-4）（k為常數(shù)，且k>0）與x軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，8v3與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y=-'x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D.⑴若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；⑵若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，求k的值；⑶在⑴條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少“胡不歸模型”練習(xí)題：.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高0A在Y軸上.一只電子蟲(chóng)從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲(chóng)在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲(chóng)走完全程菁優(yōu)網(wǎng)的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為..如圖，拋物線y=2x2+mx+n與直線v=—x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于D,C兩點(diǎn)，連接AC,3。已知A(0,3),C(3,0).(I)求拋物線的解析式和tanZBAC的值；(II)在(I)條件下：(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,過(guò)點(diǎn)P作PQXPA交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與^ACB相似若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.⑵設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接DE,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒,二個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(；,0),B(0,-J3),C(2,0),其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，貝U1PB+PD的最小值為；⑶M(x，t)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有個(gè)；②連接MA，MB，若NAMB不小于60°，求t的取值范圍..如圖所示，已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(aW0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=-v"x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；⑵若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；⑶在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出2/3發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒十個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少.【問(wèn)題探究】⑴如圖①，點(diǎn)E是正^ABC高AD上的一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贏B上找一點(diǎn)F,使EF=1AE,并說(shuō)明理由；…，公⑵如圖②，點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為2的正4ABC高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，求,AM+MC的最小值；【問(wèn)題解決】⑶如圖③，A、B兩地相距600km，AC是筆直