《電路分析》課件第8章

第8章非正弦周期電流電路

8.1非正弦周期信號(hào)及其分析8.2周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)8.3非正弦周期電流電路中電流和電壓的有效值8.4非正弦周期電流電路的平均值和平均功率8.5非正弦周期電流電路的分析習(xí)題8【本章要點(diǎn)】本章主要介紹周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)、非正弦周期電流電路中電壓和電流的有效值、非正弦周期電流電路的平均值和平均功率以及非正弦周期電流電路的分析等內(nèi)容。8.1非正弦周期信號(hào)及其分析如果一個(gè)正弦電源或多個(gè)同頻電源同時(shí)作用在一個(gè)線性電路中，那么電路的穩(wěn)態(tài)電壓、電流都是同頻的正弦量。在工程實(shí)踐和科學(xué)研究中，實(shí)際遇到的往往不是真正的正弦量，如交流發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓波形與真正的正弦波存在一定的差別，可以看做是非正弦的。如果電路存在非線性元件，即使電流、電壓是正弦波，那么電路中也會(huì)產(chǎn)生非正弦電流。在電子設(shè)備、自動(dòng)控制等技術(shù)的領(lǐng)域內(nèi)所廣泛應(yīng)用的脈沖電路，其電壓和電流的波形都是非正弦的，如圖8－所示。圖8－1非正弦周期信號(hào)

(a)方波；(b)鋸齒波；(c)全波整流波形圖8－1所示電路中的波形雖然各不相同，但它們都是按一定規(guī)律周而復(fù)始地變動(dòng)，故稱之為非正弦周期信號(hào)。非正弦電流可分為周期電流與非周期電流兩種。具體分析方法如下：

(1)將非正弦周期激勵(lì)電壓、電流或外施信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦量之和；

(2)分別計(jì)算在各種頻率正弦量單獨(dú)作用下產(chǎn)生的正弦電流分量和電壓分量；

(3)根據(jù)線性電路的疊加定理，把所得分量變換成時(shí)域形式進(jìn)行疊加，得到電路中實(shí)際的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。8.2周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)在線性電路分析中，傅里葉級(jí)數(shù)扮演著重要的角色。利用傅里葉級(jí)數(shù)可將周期電流或電壓分解為一系列不同頻率正弦周期信號(hào)之和，然后求解在這些正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。8.2.1傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(t)為一非正弦周期函數(shù)，即f(t)=f(t+kT),k=0,1,2,3,…，其周期為T，頻率為f。如果f(t)滿足狄里赫利條件，則可將f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開為以下兩種形式。形式1:其中:n為正整數(shù)；;、an和bn

稱為傅里葉系數(shù)。求時(shí)，對(duì)和式(8－1)兩端在一個(gè)周期內(nèi)積分，只有右端的這一項(xiàng)積分不為零，即（8-1）所以,是f(t)在T內(nèi)的平均值，稱為直流分量；求an時(shí)，用cosnω1t乘式(8－1)，有（8-2）

對(duì)上式兩端在一個(gè)周期內(nèi)積分，根據(jù)三角函數(shù)的正交性，只有右端的ancos2nω1t這一項(xiàng)積分不為零，其他各項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)積分都等于零，即所以（8-3）令n=1，2，3,…,便可求得a1,a2,a3,…；求bn時(shí)，同理用sinnω1t乘式(8－1)，并使其在一個(gè)周期內(nèi)積分，可得

（8-4）為了使傅里葉級(jí)數(shù)形式更加簡(jiǎn)潔，便于用相量法求解在這些正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，傅里葉級(jí)數(shù)可展開為第二種形式。形式2：（8-5）式中

傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)無窮三角級(jí)數(shù)。式(8－5)中，第一項(xiàng)稱為周期函數(shù)的直流分量；其余所有的項(xiàng)是具有不同振幅、不同初相位而頻率成整數(shù)倍關(guān)系的一些正弦量；第二項(xiàng)A1msin(nω1t+θn)稱為一次諧波(或基波分量)，其周期或頻率與原周期函數(shù)相同，其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波，即二次、三次、四次、n次諧波。式(8－5)表明，一個(gè)非正弦周期函數(shù)可以表示為一個(gè)直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。這種數(shù)學(xué)表達(dá)式可以詳盡、準(zhǔn)確地表達(dá)周期函數(shù)分解的結(jié)果，但不直觀。為了更直觀地表達(dá)f(t)分解為傅里葉級(jí)數(shù)后的頻率分量、各頻率分量的大小以及各諧波分量初相角的大小，用如圖8－2所示的圖形來表示，這種圖形稱為f(t)的頻譜圖。8－2信號(hào)頻譜圖(a)幅度頻譜；(b)相位頻譜如果用每一譜線的高度表示該頻率諧波的幅值，則所做出的圖形稱為幅度頻譜(amplitudespectrum)。如果用每一譜線的高度表示該頻率諧波的初相角，則所做出的圖形稱為相位頻譜(phasespectrum)。

例8－1求如圖8－3所示周期性矩形信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜。圖8－3例8－1用圖

解在第一個(gè)周期內(nèi)f(t)的表達(dá)式為根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)公式得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)由此求得周期性矩形信號(hào)f(t)由有限項(xiàng)諧波合成的波形如圖8－4所示。其幅度頻譜圖如圖8－5所示。圖8－4諧波合成示意圖圖8－5矩形波的幅度頻譜圖8.2.2周期函數(shù)的對(duì)稱性

若要把已知信號(hào)f(t)展為傅里葉級(jí)數(shù)，如果f(t)的波形滿足某種對(duì)稱性，則在其傅里葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表達(dá)式也變得比較簡(jiǎn)單。波形的對(duì)稱性有兩類：一類是對(duì)整周期對(duì)稱，例如偶函數(shù)和奇函數(shù)；另一類是對(duì)半周期對(duì)稱，例如奇諧函數(shù)。前者決定級(jí)數(shù)中只可能含有余弦項(xiàng)或正弦項(xiàng)，后者決定級(jí)數(shù)中只可能含有偶次項(xiàng)或奇次項(xiàng)。1．偶函數(shù)若信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的，即滿足f(t)=f(-t)，此時(shí)f(t)是偶函數(shù)，如圖8－6所示。傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)中的f(t)cosnω1t是偶函數(shù)，而中的f(t)sinnω1t是奇函數(shù)，于是級(jí)數(shù)中的系數(shù)所以在偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不會(huì)含有正弦項(xiàng)，只含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。圖8－6偶函數(shù)波形

2．奇函數(shù)若信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是反對(duì)稱的，即滿足f(t)=－f(－t)，此時(shí)f(t)是奇函數(shù)，如圖8－7所示。圖8－7奇函數(shù)波形由，可以知道，a0=0，a0=0；，所以在奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不會(huì)含有余弦項(xiàng)，只可能含有正弦項(xiàng)。

3．奇諧函數(shù)若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化，即滿足，這樣的函數(shù)稱為半波對(duì)稱函數(shù)或奇諧函數(shù)，如圖8－8所示。圖8－8奇諧函數(shù)波形由，可知，f(t)sinw1t和f(t)cosw1t的積分存在，而f(t)cos2w1t和f(t)sin2w1t為零，即a0=0，a0=b(n為偶數(shù))，，

(n為奇數(shù))。8.3非正弦周期電流電路中電流和電壓的有效值工程中常將周期電流或電壓在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的平均效應(yīng)換算為在效應(yīng)上與之相等的直流量，以衡量和比較周期電流或電壓的效應(yīng)，這一直流量就稱為周期量的有效值。有效值定義為（8-6）式(8－6)表示周期量的有效值等于其瞬時(shí)值的平方，在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值再取平方根，因此有效值又稱均方根值。上式的定義無論是對(duì)正弦周期量，還是對(duì)非正弦周期量公式都適用。當(dāng)電流i(t)是正弦量時(shí)，可以得出正弦量的有效值與正弦量的振幅之間的特殊關(guān)系，即（8-7）將i(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，即(8－8)將式(8－8)代入式(8－6)，得i(t)的有效值為(8－9)將式(8－9)中多項(xiàng)式的平方展開，可知有三種類型的項(xiàng):

(1)各交叉項(xiàng)乘積2Inmsin(nω1t+θn)Ikmsin(kω1t+θk);

(2)直流與各次諧波的乘積2I0Ikmsin(kω1t+θk);

(3)各次諧波的平方項(xiàng)。由三角函數(shù)的正交性可知,各交叉項(xiàng)乘積的2倍在一個(gè)周期內(nèi)的積分值應(yīng)為零，直流與各次諧波的乘積的積分值也為零，只有各平方項(xiàng)的平均值不為零，即所以即i的有效值為(8－10)由此可見，非正弦周期電流的有效值等于它的直流分量及各諧波分量有效值的平方和的平方根。

例8－2已知周期電流i=1+0.707sin(ωt－20°)+0.42sin(2ωt+50°)A，試求其有效值。

解將直流分量及各諧波分量的有效值代入式(8－10)中,得8.4非正弦周期電流電路的平均值和平均功率

1.非正弦周期量的平均值在電工實(shí)踐中，還常用到平均值的概念，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(8－11)根據(jù)式(8－11)可求得正弦電流的平均值為對(duì)于非正弦周期電流的平均值，根據(jù)式(8－11)可知等于此電流絕對(duì)值的平均值。取絕對(duì)值是將負(fù)值部分反號(hào)，對(duì)于二極管整流電路來說就是“全波整流”。所以，正弦電流的平均值就是“全波整流”后的平均值。若計(jì)算正弦電壓的平均值，并計(jì)算正弦電壓的有效值與平均值之比，可設(shè)u(t)=Umsinωt，則平均值為有效值為有效值與平均值之比為

2.非正弦周期量的平均功率

在電路分析中經(jīng)常遇到非正弦周期電流電路的功率問題，下面討論這一問題。設(shè)加在二端口網(wǎng)絡(luò)的周期電壓、電流分別為當(dāng)其參考方向一致時(shí)，其吸收的瞬時(shí)功率為p(t)=u(t)i(t)平均功率為（8-12）將式(8－2)積分，可有以下幾種類型的項(xiàng)：

(1)直流電壓與直流電流的乘積；

(2)直流電壓與電流多次諧波的乘積；

(3)直流電流與電壓多次諧波的乘積；

(4)各同次諧波電壓與電流的乘積；

(5)不同次諧波電壓與電流的乘積。已知(2)、(3)、(5)各類積分值為零，將(1)、(4)兩類求平均值，即積化和差為即非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量構(gòu)成的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和。

例8－3已知某二端口網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流分別為當(dāng)u(t)與i(t)取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，求二端口網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率。解將電壓和電流的直流分量和各次諧波的有效值代入平均功率公式，得平均功率

P=2×10+18.55×100cos21.8°+6.4×50cos［30°－(69.81°－90°)］

=20+1772.34+204.88

=1997.22W8.5非正弦周期電流電路的分析在工程實(shí)踐中，周期性激勵(lì)信號(hào)一般都滿足狄里赫利條件，都可展開為傅里葉級(jí)數(shù)。根據(jù)線性電路的疊加性，可將非正弦周期性激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)等效于一系列按傅里葉級(jí)數(shù)展開的正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和。由于傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性，根據(jù)工程計(jì)算所允許的誤差范圍，一般只取前若干項(xiàng)來計(jì)算(對(duì)周期電壓信號(hào)可認(rèn)為是若干諧波電壓源相串聯(lián)，對(duì)周期電流信號(hào)可認(rèn)為是若干諧波電流源相并聯(lián))。其分析電路的具體步驟如下：

(1)信號(hào)分解。將給定的非正弦激勵(lì)信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù)，并根據(jù)計(jì)算精度要求，取有限項(xiàng)高次諧波。

(2)計(jì)算諧波響應(yīng)。分別計(jì)算各次諧波單獨(dú)作用下電路的響應(yīng)，計(jì)算方法與直流電路及正弦交流電路的計(jì)算方法完全相同。對(duì)直流分量，電感元件相當(dāng)于短路，電容元件相當(dāng)于開路。對(duì)各次諧波分量可以用相量法求解，電路成為正弦交流電路，并把計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式。

(3)疊加響應(yīng)。用疊加原理，把步驟(2)所計(jì)算出的各次諧波作用下的響應(yīng)結(jié)果用時(shí)域表達(dá)后進(jìn)行相加，終響應(yīng)是用時(shí)間函數(shù)表示的。

例8－4電路如圖8－9所示，，ωL=2Ω,1/(ωC)=15Ω,R1=5Ω,R2=10Ω，求各支路電流及R1支路吸收的平均功率。圖8－9例8－4用圖

解因?yàn)殡娫措妷阂逊纸鉃楦道锶~級(jí)數(shù)，所以可直接計(jì)算各次諧波作用下的電路響應(yīng)。

(1)在直流分量U0=10V單獨(dú)作用下，等效電路如圖8－10(a)所示，這時(shí)電感相當(dāng)于短路，而電容相當(dāng)于開路。各支路電流分別為

(2)在基波分量單獨(dú)作用下，等效電路如圖8－10(b)所示，用相量法計(jì)算如下:(3)在三次諧波分量單獨(dú)作用下，等效電路如圖8－10(c)所示。此時(shí),感抗XL(3)=3ωL=6Ω,容抗，則有圖8－10圖8－9所示電路的等效電路將以上各個(gè)響應(yīng)分量用瞬時(shí)表達(dá)式表示后疊加，得到各支路電流為各支路電流有效值為R1支路吸收的平均功率為

例8－5電路如圖8－1所示，已知，輸入電源為求電流i和電阻吸收的平均功率P。圖8－11例8－5用圖解：電流相量的一般表達(dá)式，式中:為k次諧波電流的振幅。根據(jù)疊加定理，按k=0,1,2,…的順序，逐一求解如下：當(dāng)k=0時(shí)，直流分量，U0=10V,

I0=0,

P0=0當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k=3時(shí)，同理求得：當(dāng)k=5時(shí)，當(dāng)k=7時(shí),當(dāng)k=9時(shí),按時(shí)域形式疊加，得習(xí)題88－1求如圖所示波形的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。習(xí)題8－1圖8－2已知周期函數(shù)f(t)如圖所示，求其傅里葉級(jí)數(shù)的展開式。習(xí)題8－2圖8－3已知周期函數(shù)f(t)如圖(a)、(b)所示，求其傅里葉級(jí)數(shù)的展開式。習(xí)題8－3圖

8－4已知一個(gè)RLC串聯(lián)電路，其R=11Ω，L=0.015H,C=70μF，外加電壓為u(t)=11+141.4cos1000t-35.4sin2000tV，試求電路中的電流i(t)和電路消耗的功率。

8－5有效值為100V的正弦電壓加在電感L兩端時(shí)，得電流I＝10A；當(dāng)電壓中有三次諧波分量，而有效值仍為100V時(shí)，得電流I