《電路與信號》課件模塊4

模塊4互感與理想變壓器4.1互感元件的基本模型及伏安關(guān)系

4.2互感元件的等效模型

4.3理想變壓器

本模塊小結(jié)習(xí)題4

4.1互感元件的基本模型及伏安關(guān)系

4.1.1耦合電感

相鄰線圈之間通過彼此的磁場相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象稱為磁耦合。一對相耦合的電感，若流過其中一個電感的電流隨時間變化，則在另一個電感兩端將出現(xiàn)感應(yīng)電壓，而兩電感間可能并無導(dǎo)線相連，這便是電磁學(xué)中所說的互感現(xiàn)象。圖4.1.1所示為兩個相互有耦合關(guān)系的線圈，匝數(shù)分別為N1和N2。若第一個線圈中有電流i1存在，則在線圈周圍建立磁場，產(chǎn)生的磁通設(shè)為Φ11，稱為自感磁通，方向如圖4.1.1所示。在穿越自身線圈時，所產(chǎn)生的磁鏈設(shè)為Ψ11，稱為自感磁鏈，它與電流i1成正比，即

Ψ11=N1Φ11=L1i1

(4.1.1)圖4.1.1兩個線圈的互感式中，L1稱為線圈1的自感，它是一個與電流和時間無關(guān)的常量。線圈1產(chǎn)生的磁通的一部分或全部與線圈2相交鏈產(chǎn)生的磁鏈設(shè)為y21，稱為互感磁鏈，它也與電流i1成正比，即

y21=N2F21=M21i1

(4.1.2)

同樣，若線圈2中有電流i2存在，則產(chǎn)生自感磁通F22與自身線圈相交鏈，產(chǎn)生自感磁鏈y22，它與電流i2成正比，即

y22=N2F22=L2i2

(4.1.3)

式中，L2稱為線圈2的自感，它是一個與電流和時間無關(guān)的常量。線圈2產(chǎn)生的磁通的一部分或全部與線圈1相交鏈產(chǎn)生的互感磁鏈設(shè)為y12，它與電流i2成正比，即

y12=N1F12=M12i2

(4.1.4)由以上分析可知，若兩線圈中同時有電流i1和i2存在，則耦合線圈中磁鏈等于自感磁鏈和互感磁鏈兩部分的代數(shù)和，如線圈1和線圈2的總磁鏈分別為y1和y2，則有

引入同名端的概念后，我們可從實際耦合線圈抽象出來理想化的耦合電感的電路模型，它是一種線性時不變雙口元件，由L1、L2和M三個參數(shù)來表征。圖4.1.1(a)和(b)所示的耦合線圈可用圖4.1.2(a)和(b)所示的電路模型來表示。(4.1.5)圖4.1.2耦合電感工程上為了定量描述兩個耦合線圈的耦合緊疏程度，定義了耦合系數(shù)，記為k，即

將式(4.1.1)～式(4.1.4)代入式(4.1.6)，并考慮M=M12=M21，可得耦合系數(shù)(4.1.6)(4.1.7)4.1.2耦合電感的伏安關(guān)系

如果兩個耦合電感L1和L2中有變動的電流，則各電感中的磁鏈將隨電流變動而變動。設(shè)L1和L2的電壓和電流分別為u1、i1和u2、i2，且都是關(guān)聯(lián)參考方向,互感為M，由式(4.1.5)有(4.1.8)

【例4.1.1】試求圖4.1.3所示耦合電感的電壓-電流關(guān)系。

解：耦合電感的電壓由自感電壓和互感電壓兩部分組成。

自感電壓正負號的確定方法與二端電感相同。圖中，u1和i1

采用關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓為 ；u2和i2采用非關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓為 ?；ジ须妷赫撎柕拇_定與同名端有關(guān)。本例中，u1的“+”端和i2的流入端為標(biāo)有“－”號的同名端，即電流i2在u1處產(chǎn)生的互感電壓的“+”極即為u1的“+”端，互感電壓取正號， ；u2的“－”端與i1的流入端為同名端，即i1在u2處產(chǎn)生的互感電壓的圖4.1.3例4.1.1圖“+”極在u2的“－”端，互感電壓取負號， 。最后得到圖4.1.3所示耦合電感的電壓-電流關(guān)系為

工作在正弦穩(wěn)態(tài)條件下的耦合電感，其相量模型如圖4.1.4所示。相應(yīng)的電壓-電流關(guān)系分別為(4.1.9(a))(4.1.9(b))圖4.1.4耦合電感的相量模型此外，還可用電流控制電壓源(CCVS)表示互感電壓的作用。對圖4.1.4(a)所示的耦合電感，用CCVS表示的電路如圖4.1.5(相量形式)所示。圖4.1.5用CCVS表示的耦合電感電路 4.2互感元件的等效模型

4.2.1將互感電壓等效為電流控制的電壓源

1.互感線圈的串聯(lián)

當(dāng)具有互感的兩個線圈串聯(lián)時，由于同名端的不同，有兩種連接方式：順串和反串。所謂順串，就是把兩個線圈的異名端連接起來，如圖4.2.1(a)所示。這時電流i將從同名端流入，產(chǎn)生的互感電壓高電位點在同名端上。將互感電壓等效成受控源后的電路如圖4.2.1(b)所示。圖4.2.1順串由圖4.2.1(b)可寫出端口電壓-電流的關(guān)系為

相應(yīng)的相量的伏安關(guān)系式為

如果把兩個線圈的同名端連接起來，稱為反串，如圖4.2.2(a)所示。這時電流i將從異名端流入。圖4.2.2反串由圖4.2.2(b)可得端口的伏安關(guān)系為

相應(yīng)的相量關(guān)系為

2.互感線圈的并聯(lián)

兩個線圈并聯(lián)時也有兩種連接方式：一種是把同名端接在同一節(jié)點上，如圖4.2.3(a)所示；另一種是把異名端接在同一節(jié)點上，如圖4.2.4所示。圖4.2.3同名端并接圖4.2.4異名端并接圖4.2.3(a)去掉M后的相量模型如圖4.2.3(b)所示，其KVL和KCL相量方程為

聯(lián)立這組關(guān)系式可以得到端口的相量伏安關(guān)系為

同理，互感線圈異名端相并如圖4.2.4所示，其端口的相量伏安關(guān)系為4.2.2互感化除法

本節(jié)我們通過圖4.2.5所示的具有互感的三端電路來介紹互感化除法。圖4.2.5(a)中，公共端子3為兩線圈同名端的連接點。按圖所示支路電流的參考方向，左、右兩個回路的電壓相量方程為

將 代入上式，可得圖4.2.5具有互感的三端電路在上式中，如果將M看成是、同時流過的公共支路的電感，并把L1和L2分別以電感L1－M和L2－M代替，則可作出如圖4.2.6(a)所示的等效電路，而圖4.2.6(a)已經(jīng)是一個沒有互感的電路，可以按一般正弦電路的分析方法求解各支路的電壓、電流。圖4.2.6互感化除后的三端等效電路

【例4.2.1】利用互感化除法重解圖4.2.1(a)所示的順串和圖4.2.3(a)所示的同名端并接的等效電感量Lab和Le。

解：圖4.2.1(a)所示的順串，屬于異名端作為公共連接點，因此互感化除后的等效電路如圖4.2.7(a)所示。由阻抗的串聯(lián)公式可得等效電感Lab為

Lab=L1+M+L2+M=L1+L2+2M

圖4.2.3(a)所示的同名端并接，屬于同名端作為公共連接點，互感化除后的等效電路如圖4.2.7(b)所示。由阻抗的串并聯(lián)公式可得等效電感為圖4.2.7例4.2.1圖4.2.3含互感的正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

對于含有互感的正弦電路的計算，原則上與一般正弦電路的計算相同。但在計算時要注意：

(1)不要遺漏互感電壓。

(2)要注意同名端，正確寫出互感電壓的表達式，不要搞錯正負號。

(3)在應(yīng)用戴維南定理時，有源單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部與外電路之間不應(yīng)有互感存在。

(4)對含有互感的電路，不易直接列出節(jié)點方程，在一般情況下，不使用節(jié)點電位法。

(5)采用互感化除法常有利于簡化計算。

【例4.2.2】電路如圖4.2.8(a)所示，已知R1=3Ω，R2=6Ω，ωL1=4Ω，ωL2=8Ω，ωM=1Ω，電壓=1∠0°V，求當(dāng)開關(guān)S打開和閉合時的電流。

解：S打開時，兩個具有互感的線圈順接串聯(lián)，故得電路的輸入阻抗為

Zi=(R1+R2)+jω(L1+L2+2M)

=(3+6)+j(4+8+2)

=9+j14=16.64∠57.3°Ω

電路的電流為圖4.2.8例4.2.2圖

S閉合時電路如圖4.2.8(b)所示。應(yīng)用互感化除法可得等效電路，如圖4.2.8(c)所示。根據(jù)等效電路可求得也可直接根據(jù)圖4.2.8(b)所示的電路列出回路電壓方程：

由以上兩式可解出

與上述結(jié)果完全相同。

4.3理想變壓器

理想變壓器是一種特殊的無損耗全耦合變壓器，它是實際變壓器的理想化模型?？招咀儔浩魅绻瑫r滿足下列3個條件，則經(jīng)“理想化”和“極限化”就演變?yōu)槔硐胱儔浩鳎?/p>

(1)空芯變壓器本身無損耗。

(2)耦合系數(shù)k=1。

(3)L1、L2和M均為無限大。

4.3.1理想變壓器的基本模型及伏安關(guān)系

理想變壓器也是一種耦合元件，但與耦合電感不同，表示的不是磁耦合關(guān)系，而是電壓變換關(guān)系和電流變換關(guān)系，其電路模型如圖4.3.1所示。圖4.3.1理想變壓器若端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，原邊匝數(shù)為N1，副邊匝數(shù)為N2，則根據(jù)理想變壓器的三個條件，可以證明同名端如圖4.3.1(a)所示的理想變壓器其伏安關(guān)系為

對于同名端如圖4.3.1(b)所示的理想變壓器，其伏安關(guān)系為(4.3.1)(4.3.2)理想變壓器用受控源表示的電路模型如圖4.3.2所示。圖4.3.2理想變壓器的受控源表示4.3.2理想變壓器的阻抗變換特性

理想變壓器對電壓、電流按變比變換的作用還反映在阻抗的變換上。如圖4.3.3所示，在正弦穩(wěn)態(tài)的情況下，當(dāng)理想變壓器的次級接負載阻抗ZL時，從理想變壓器初級看進去的輸入阻抗為

n2ZL即為次級折合到初級的等效阻抗。也就是說，圖4.3.3(a)可用圖(b)等效代替。(4.3.3)圖4.3.3理想變壓器的阻抗變換作用4.3.3含理想變壓器的正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

【例4.3.1】含理想變壓器的電路如圖4.3.4(a)所示，試求和。

解：利用理想變壓器的阻抗變換特性，將次級阻抗變換到初級，可得如圖4.3.4(b)所示的電路，則

由理想變壓器的伏安關(guān)系，可得

則圖4.3.4例4.3.1圖

【例4.3.2】在如圖4.3.5所示的電路中，理想變壓器匝比n=0.5，R1=R2=10Ω， ， ，試求流過R2的電流。

解：設(shè)理想變壓器初、次級電壓為和，網(wǎng)孔電流為和，則 ，電路的網(wǎng)孔方程為

代入數(shù)據(jù)，可計算出

本模塊小結(jié)

1.耦合電感的伏安關(guān)系

耦合電感是具有磁耦合的多個線圈的電路模型。通常由L1、L2和M三個參數(shù)來表征理想化耦合電感。設(shè)兩線圈電壓、電流分別取關(guān)聯(lián)方向，則有

其相量形式為

上面兩式中，線圈電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則自感電壓取正；當(dāng)兩個線圈電流產(chǎn)生的磁通相互增強時，互感電壓取正，否則取負。

2.耦合電感的同名端

若兩電流分別流入這對端子，使線圈中的磁通相互增強，或線圈產(chǎn)生互感電壓與自感電壓方向相同，則這對端子稱為同名端。

3.耦合電感的連接及去耦等效

(1)耦合電感的串聯(lián)。其等效電感為

Leq=L1+L2±2M

式中，順串時M前的符號取正，反串時M前的符號取負。

(2)耦合電感的并聯(lián)。其等效電感為

式中，同側(cè)并聯(lián)(順并)時M前的符號取負，異側(cè)并聯(lián)(反并)時M前的符號取正。

(3)耦合電感的三端連接。三端連接的耦合電感可等效為3個無耦合的電感構(gòu)成的T形電路。當(dāng)耦合電感同名端連接在一起時，等效為與此端連接的電感為M，其余兩個電感分別為L1－M和L2－M；否則，改變上述3個電感M前的符號。

4.含理想變壓器電路

(1)理想變壓器的伏安關(guān)系。當(dāng)耦合電感滿足線圈無損耗，耦合系數(shù)k=1，L1、L2和M均為無限大，且保持

(匝比)的條件時，此元件模型稱為理想變壓器。理想變壓器只有一個參數(shù)，即匝比n。雖然同名端的標(biāo)注可能會有所不同，但其