自動控制原理 課件 8.1非線性控制系統(tǒng)概述

第8章非線性控制系統(tǒng)分析

前面各章所研究的控制系統(tǒng)都是線性的。實(shí)際中理想的線性控制系統(tǒng)是不存在的。任何一個控制系統(tǒng)，其組成元件總是或多或少地帶有非線性，因此都屬于非線性系統(tǒng)的范疇。非線性系統(tǒng)不再滿足疊加原理，因此本書前七章介紹的線性系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)方法不再適用。但由于線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法在非線性控制系統(tǒng)的研究中仍發(fā)揮著非常重要的作用。8.1非線性控制系統(tǒng)概述

在控制系統(tǒng)的所有組成環(huán)節(jié)中，如果有一個或多個環(huán)節(jié)具有非線性特性，則該系統(tǒng)稱為非線性控制系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別在于能否應(yīng)用疊加原理，由于兩類系統(tǒng)特性上的這種區(qū)別，它們的運(yùn)動規(guī)律有很大差別。8.1.1非線性系統(tǒng)的特征

由前面的內(nèi)容可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入信號及初始條件無關(guān)。換句話說，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則無論受到多大的擾動，擾動消失后系統(tǒng)可以回到唯一的平衡點(diǎn)。而對于非線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外，還與輸入信號和初始條件有關(guān)。即使同一個非線性系統(tǒng)，也可能存在穩(wěn)定運(yùn)動和不穩(wěn)定運(yùn)動，而穩(wěn)定的運(yùn)動也不一定對于所有的初始擾動都是穩(wěn)定的，可能出現(xiàn)對于較大的初始擾動就不穩(wěn)定的情況。因此，對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念。下面通過實(shí)例加以說明。1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜設(shè)描述非線性系統(tǒng)的微分方程為積分可得令

，可知該系統(tǒng)存在兩個平衡狀態(tài)

和

。當(dāng)

時，方程可寫為若初始條件

，可求得從而得到由此可畫出不同初始條件下

的曲線如圖8-1-1所示。當(dāng)

，

時，

隨

的增大而增大，在

時，

趨向于無窮大；當(dāng)

時，

隨著

值的增大而趨近于零。由圖可見，平衡狀態(tài)

是穩(wěn)定的，因?yàn)樗鼘τ?/p>

的擾動都具有恢復(fù)原狀態(tài)的能力；而平衡狀態(tài)

則是不穩(wěn)定的，因?yàn)樯约訑_動就會偏離平衡狀態(tài)。由此可見，非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)不止一個，在某些平衡點(diǎn)非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，但在另一些平衡點(diǎn)卻是不穩(wěn)定的。2.可能產(chǎn)生自激振蕩

描述線性系統(tǒng)的微分方程可能有一個周期運(yùn)動解，然而在實(shí)際系統(tǒng)中，這樣的周期運(yùn)動是不能穩(wěn)定持續(xù)下去的。以二階無阻尼系統(tǒng)為例，其自由運(yùn)動的解為

，其中角速度

由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，而振幅

和相角

取決于初始狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)受到干擾信號的影響時，

和

的值都會發(fā)生變化，原來的周期運(yùn)動便不能持續(xù)下去，因此這種周期運(yùn)動是不穩(wěn)定的。

對于非線性系統(tǒng)，即使在沒有外作用的情況下，也有可能產(chǎn)生固定頻率和振幅的周期運(yùn)動，并且在擾動作用消失后，系統(tǒng)仍能保持原來頻率和振幅的周期運(yùn)動，也就是說這種周期運(yùn)動具有穩(wěn)定性。該周期運(yùn)動稱為自激振蕩，簡稱自振。自激振蕩是非線性系統(tǒng)特有的運(yùn)動現(xiàn)象，是非線性控制理論研究的重要問題之一。

應(yīng)當(dāng)指出，系統(tǒng)長時間大幅度的振蕩會造成不可逆的機(jī)械磨損，并增加系統(tǒng)的控制誤差，多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自激振蕩發(fā)生，但在有些控制系統(tǒng)中，適當(dāng)?shù)囊敫哳l小幅度的振蕩卻有利于系統(tǒng)克服間隙和死區(qū)等非線性因素產(chǎn)生的不良影響。因此研究自激振蕩的產(chǎn)生條件及抑制，確定自激振蕩的頻率和周期，是非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。3.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變

由第五章的內(nèi)容可知，線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，僅在幅值和相位上與輸入不同。針對這一特點(diǎn)，可以利用頻率特性的概念描述系統(tǒng)動態(tài)特性。而對于非線性系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量外，還含有高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。因此線性系統(tǒng)的頻域分析法不再適用于非線性系統(tǒng)。

在非線性系統(tǒng)的分析和控制中，還會產(chǎn)生一些其他與線性系統(tǒng)明顯不同的現(xiàn)象，在此不再贅述。8.1.2典型非線性特性一般測量元件、放大器以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)都不同程度地存在不靈敏區(qū)。例如電動機(jī)由于軸上存在著摩擦力矩和負(fù)載力矩，只有在電樞電壓達(dá)到一定數(shù)值后電動機(jī)才會轉(zhuǎn)動。這種在輸入信號比較小時沒輸出，只有在輸入量超過一定值后才有輸出的特性稱為死區(qū)（不靈敏區(qū)）非線性特性。典型的死區(qū)特性如圖8-1-2所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為1.死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性

式中，

是死區(qū)寬度，K為死區(qū)外直線的斜率。死區(qū)特性的存在，一方面會使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，跟蹤精度降低，另一方面死區(qū)能濾去從輸入端引入的小幅值干擾信號，可以提高系統(tǒng)抗擾動的能力。飽和特性是指輸出和輸入之間的線性關(guān)系只能維持在一定的輸入范圍內(nèi)，當(dāng)輸入超出這個范圍時，輸出被限制在一個常數(shù)值。例如晶體管放大器有一個線性工作范圍，超出這個范圍，放大器就會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。典型的飽和特性如圖8-1-3所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為2.飽和特性式中，a為線性區(qū)寬度；K為線性區(qū)的斜率。

飽和特性的存在一般將使系統(tǒng)開環(huán)增益降低，從而導(dǎo)致系統(tǒng)過渡過程時間增加，穩(wěn)態(tài)誤差變大。但在有些控制系統(tǒng)中，人們有目的地引入飽和非線性環(huán)節(jié)，例如在具有轉(zhuǎn)速和電流反饋的雙閉環(huán)直流調(diào)速系統(tǒng)中，把速度調(diào)節(jié)器和電流調(diào)節(jié)器有意識地設(shè)計(jì)成具有飽和非線性特性，以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和限制系統(tǒng)的最大電流。在各種傳動機(jī)構(gòu)中，由于機(jī)械加工精度的限制和工藝裝配的需要，間隙的出現(xiàn)是不可避免的。例如齒輪傳動中，如果主動輪改變運(yùn)動方向，只有當(dāng)主動輪反向移動消除間隙后，從動輪才隨主動輪運(yùn)行。典型的間隙特性如圖8-1-4所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為3.間隙特性式中，2b為間隙寬度，K為間隙特性斜率。

間隙特性的存在，通常會使系統(tǒng)輸出在相位上產(chǎn)生滯后，從而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定裕量減小，動態(tài)性能變壞，甚至使系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩。繼電器是廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)、保護(hù)裝置和通信設(shè)備中的器件。由于繼電器吸合及釋放狀態(tài)下磁路的磁阻不同，吸合與釋放電壓是不相同的。因此，繼電特性輸入輸出關(guān)系不完全是單值的，圖8-1-5所示為具有滯環(huán)的三位置繼電特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為4.繼電特性式中，h為繼電器吸合電壓，mh為繼電器釋放電壓，M為飽和輸出。當(dāng)

時，繼電特性成為純滯環(huán)的兩位置繼電特性，如圖8-1-6所示。當(dāng)

時，成為具有三位置的死區(qū)繼電特性，如圖8-1-7所示。當(dāng)

時，則成為理想繼電特性，如圖8-1-8所示。繼電特性的存在一般會使系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且也使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。8.1.3MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB的Simulink中，不連續(xù)系統(tǒng)模塊庫（Discontinuous）提供了12種常見的標(biāo)準(zhǔn)非線性特性模塊，如間隙、死區(qū)、繼電、飽和、開關(guān)等。對非線性系統(tǒng)進(jìn)行仿真時，可以直接調(diào)用這些非線性模塊，對于Simulink中沒有提供的非線性模塊，則需要開發(fā)人員按照具體的非線性特性編程實(shí)現(xiàn)，然后進(jìn)行模塊封裝，以便后期調(diào)用。解：在Simulink環(huán)境下搭建仿真模型如圖8-1-9所示。對各個模塊進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，如設(shè)定SineWave模塊的幅值A(chǔ)mplitude為1，角頻率Frequency為1rad/s，初相角Phase為0；設(shè)置Backlash模塊的Deadbandwidth為0.8。仿真運(yùn)行，雙擊Scope圖標(biāo)，就可以得到系統(tǒng)的仿真曲線如圖8-1-10所示。由圖可見，間隙非線性特性使系統(tǒng)輸出在相位上產(chǎn)生了明顯的滯后。8.1.