2022年新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步3簡單幾何體的表面積與體積練習（含解析）

簡單幾何體的表面積與體積(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(多選題)正方體ABCD-A1B1C1D1A．這兩部分的表面積也相等B．截面可以是三角形C．截面可以是五邊形D．截面可以是正六邊形【解析】選AD.平面α截這個正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則平面α一定經(jīng)過正方體的中心，所以這兩部分的表面積也相等；根據(jù)對稱性，截面不會是三角形、五邊形，可以是六邊形，如圖．2．(2021·溫州高一檢測)一個圓錐的母線與其軸所成的角為60°，則該圓錐的側面展開圖的圓心角為()A．eq\f(π,2)B．πC．eq\r(2)πD．eq\r(3)π【解析】選D.如圖所示，設圓錐的母線為l，底面圓半徑為r，因為∠ABO＝60°，所以eq\f(r,l)＝sin60°，解得r＝eq\f(\r(3),2)l，因為底面圓的周長為2πr，所以該圓錐的側面展開圖的圓心角為θ＝eq\f(2πr,l)＝eq\f(2π×\f(\r(3),2)l,l)＝eq\r(3)π.3．(2020·合肥高一檢測)圓錐和圓柱的底面半徑、高都是R，則圓錐的表面積和圓柱的表面積之比為()A．(eq\r(2)＋1)∶4 B．eq\r(2)∶2C．1∶2 D．(eq\r(2)＋1)∶2【解析】選A.由題意圓錐的表面積為：πR2＋eq\f(1,2)×eq\r(2)R×2πR＝(1＋eq\r(2))πR2，圓柱的表面積為：2πR2＋π×2R×R＝4πR2，所以圓錐的表面積與圓柱的表面積之比為：(eq\r(2)＋1)∶4.4．(2021·鎮(zhèn)江高一檢測)玻璃金字塔位于巴黎盧浮宮的主院拿破侖庭院，由美籍華人建筑師設計，已成為巴黎的城市地標．玻璃金字塔為正四棱錐造型，四個側面由幾乎大小相同的玻璃塊拼裝而成，能為地下設施提供良好的采光，創(chuàng)造性地解決了把古老宮殿改造成現(xiàn)代美術館的一系列難題，取得極大成功，享譽世界．金字塔塔高21米，底寬34米，如果每塊玻璃面積為2.72平方米，不計安裝中的損耗，請你估算，建造這座玻璃金字塔需要玻璃塊的塊數(shù)最接近的數(shù)為()A．575B．625C．675D．725【解析】選C.如圖，四棱錐P-ABCD，PO＝21米，AB＝34米，過O作OE⊥BC，連接PE，則OE＝eq\f(1,2)AB＝17米，PE＝eq\r(212＋172)＝eq\r(730)米，所以四棱錐P-ABCD的側面積為S＝4×eq\f(1,2)×34×eq\r(730)＝68eq\r(730)≈1837.26平方米，又每塊玻璃面積為2.72平方米，所以建造這座玻璃金字塔需要玻璃塊的塊數(shù)最接近的數(shù)為eq\f(1837.26,2.72)≈675.二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知球在底面半徑為1、高為2eq\r(2)的圓錐內，則該圓錐內半徑最大的球的體積為________．【解析】已知半徑最大球為圓錐的內切球，球與圓錐內切時的軸截面如圖所示，點M為BC邊上的中點，由題設BC＝2，AM＝2eq\r(2)，則AB＝AC＝3，設內切球的圓心為O，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，設內切球的半徑為r，則S△ABC＝eq\f(1,2)(AB＋AC＋BC)·r＝eq\f(1,2)×(3＋3＋2)×r＝2eq\r(2)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故圓錐內半徑最大的球的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(\r(2),3)π.答案：eq\f(\r(2),3)π【加固訓練】(2021·合肥高一檢測)已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則此圓錐外接球的體積是________．【解析】如圖，△DAE是等邊三角形，其外接圓的半徑就是圓錐外接球的半徑，因為△DAE的邊長是2，所以高DO＝eq\r(3)，外接圓的半徑是eq\f(2\r(3),3).故此圓錐外接球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(32\r(3)π,27).答案：eq\f(32\r(3)π,27)6．粽子古稱“角黍”，是中國傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米等食材蒸制而成．因各地風俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形狀可以看成所有棱長均為8cm的正四棱錐，則這個粽子的表面積為________cm2，現(xiàn)在需要在粽子內部放入一顆蛋黃，蛋黃的形狀近似地看成球，則當這個蛋黃的體積最大時，其半徑與正四棱錐的高的比值為________．【解析】由粽子的形狀是所有棱長均為8cm的正四棱錐，得每個側面三角形的面積為eq\f(1,2)×8×8×eq\f(\r(3),2)＝16eq\r(3)cm2.所以粽子的表面積為4×16eq\r(3)＋8×8＝(64eq\r(3)＋64)cm2；球的體積要達到最大，則需要球與四棱錐的五個面都相切，正四棱錐的高為h＝eq\r(（4\r(3)）2－42)＝4eq\r(2)cm，設球的半徑為r，所以四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×(64eq\r(3)＋64)r＝eq\f(1,3)×64×4eq\r(2)，解得r＝2eq\r(2)(eq\r(3)－1)cm.所以eq\f(r,h)＝eq\f(\r(3)－1,2)，即其半徑與正四棱錐的高的比值為eq\f(\r(3)－1,2).答案：64eq\r(3)＋64eq\f(\r(3)－1,2)三、解答題(每小題10分，共20分)7．(2021·靜安高一檢測)如圖，我們知道，圓錐是Rt△AOP(及其內部)繞OP所在的直線旋轉一周形成的幾何體，我們現(xiàn)將直角梯形AOO1A1(及其內部)繞OO1所在的直線旋轉一周形成的幾何體稱為圓臺，設⊙O1的半徑為r，⊙O的半徑為R，OO1(1)求證：圓臺的體積V＝eq\f(1,3)πh·eq\f(R3－r3,R－r)；(2)若R＝2，r＝1，h＝eq\r(3)，求圓臺的表面積S.【解析】(1)如圖，因為△PA1O1∽△PAO，所以eq\f(PO1,PO1＋h)＝eq\f(r,R)，得PO1＝eq\f(rh,R－r)，所以V＝eq\f(1,3)πR2·PO－eq\f(1,3)πr2·PO1＝eq\f(1,3)πR2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(rh,R－r)＋h))－eq\f(1,3)πr2·eq\f(rh,R－r)＝eq\f(1,3)πh·eq\f(R3－r3,R－r)；(2)在△PAO中，過點A1作A1B⊥AO，B為垂足，則在Rt△ABA1中，AB＝R－r＝1，A1B＝eq\r(3)，所以∠A1AB＝60°，則PA＝4，PA1＝2.所以該圓臺的表面積S＝eq\f(1,2)·2πR·PA－eq\f(1,2)·2πr·PA1＋πR2＋πr2＝8π－2π＋4π＋π＝11π.8.一個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h.一個正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在正三棱錐P-ABC的三條側棱上，A0，B0，C【解析】設三棱錐的底面中心為O，連接PO，則PO為三棱錐的高，設A1，B1，C1所在的底面與PO交于O1點，則eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(PO1,PO)，令A1B1＝x，而PO＝h，則PO1＝eq\f(h,a)x，于是OO1＝h－PO1＝h－eq\f(h,a)x＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a))).所以所求三棱柱的側面積為S＝3x·heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,