線性回歸分析課件

第12章線性回歸分析12線性回歸分析2兩變量間的關(guān)系A(chǔ)無關(guān)系B有關(guān)系確定性關(guān)系：已知一個變量能夠精確求出另一個變量的值，兩變量是完全對應(yīng)的。如I=U/R、V=S/T

非確定性關(guān)系：兩變量存在某種關(guān)系，但非完全的一一對應(yīng)關(guān)系，而是具有某種趨勢。例：正常人血壓隨年齡增高而增高，但不能講某一年齡的人，他的血壓一定是多少。

12線性回歸分析2

對于線性回歸，若只有1個自變量，稱為簡單回歸(simpleregression)；若有2個或2個以上自變量，稱為多重回歸(multipleregression)。

當(dāng)這種數(shù)量關(guān)系為曲線關(guān)系時，稱為曲線回歸/非線性回歸(curveregression/nonlinearregression)。12線性回歸分析2

例12-1用某飼料喂養(yǎng)12只大白鼠，得出大白鼠的進(jìn)食量與體重增加量如表12-1，試?yán)L其散點(diǎn)圖.12線性回歸分析212線性回歸分析2由圖12-1可見，體重增加量隨進(jìn)食量增加而增大且呈直線趨勢，但并非12個點(diǎn)子恰好全都在一直線上。這與兩變量間嚴(yán)格對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不同，稱為直線回歸(linearregression)。直線回歸是回歸分析中最基本、最簡單的一種，故又稱簡單回歸(simpleregression)。12線性回歸分析2

回歸方程的一般形式：

a為回歸直線在Y軸上的截距(intercept)

，即X=0時的Y的估計值。

a>0表示回歸直線與Y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)上方

a<0表示回歸直線與Y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方

a=0表示回歸直線通過原點(diǎn)12線性回歸分析2b為回歸系數(shù)(coefficientofregression)

即回歸直線的斜率（slope

），b的統(tǒng)計學(xué)意義是X每增加（減少）一個單位，Y平均改變b個單位。b>0Y隨X的增大而增大b<0Y隨X的增大而減小b=0回歸直線與X軸平行，Y與X之間無直線關(guān)系。12線性回歸分析2直線回歸方程的求法用最小二乘法(leastsquaremethod)求a、b，使得各實(shí)測點(diǎn)到該直線的縱向距離的平方和(殘差，剩余平方和)最小，可得a和b的計算公式：12線性回歸分析212線性回歸分析2求中間統(tǒng)計量lXX、lYY、lXY直線回歸方程的求解過程12線性回歸分析23、按公式求a、b，并列出回歸方程

則12線性回歸分析2直線回歸方程的圖示

在X的實(shí)測范圍內(nèi)任取相距較遠(yuǎn)且易讀的兩個X值，代入回歸方程，求相應(yīng)的，然后將這兩點(diǎn)連成一條線即可。可用下列兩點(diǎn)來核對圖形繪制是否正確：

1、所繪直線必通過點(diǎn)（、）

2、此直線與Y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于a(直線是否在自變量X的實(shí)測范圍內(nèi))12線性回歸分析2直線回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

b是

的估計值，b存在抽樣誤差，其大小可用b的標(biāo)準(zhǔn)誤Sb來表示。即使

=0，，由于抽樣誤差的存在使所得b值也可能不為0，因此求得了b的大小還應(yīng)該作

=0的檢驗(yàn)。具體有兩種方法：方差分析法與t檢驗(yàn)。12線性回歸分析2因變量Y的變異分解圖示●●●●●●●●●●●●●（一）、方差分析法

P(X,Y)12線性回歸分析2lYY

的分解：

表示為：=+

總=

回+

剩

(

總=n-1,

回=1,

剩=n-2)SS總SS回SS剩12線性回歸分析2SS總是Y的離均差平方和,表示Y的總變異。SS回表示在Y的總變異中可用X來解釋的部分，即使得總變異

(Y-)2減少的那部分。

SS回越大，說明回歸效果越好。

SS回=blXY=SS剩表示在Y的總變異中無法用X解釋的部分，即除了X對Y的線性影響外，其它一切因素對Y變異的作用。12線性回歸分析2將SS總分解為SS回與SS剩兩部分，SS回越大表明回歸效果越好，即X對Y的影響越大；SS剩越小，說明各實(shí)測點(diǎn)到回歸直線越近，回歸的估計誤差越小。比較回歸均方和誤差均方，計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量F值

回=1，

剩=n-212線性回歸分析2H0：體重的增加量與進(jìn)食量之間無直線關(guān)系（

=0）

H1：體重的增加量與進(jìn)食量之間有直線關(guān)系（

0）

=0.05

SS總=lYY=193.3SS回=blXY=lXY2/lXX=2681.62/41389.4=173.7SS剩=SS總-SS回=193.3-173.7=19.612線性回歸分析2

回=1，

剩=12-2=10

查F界值表，得P<0.001，所以按

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，故可認(rèn)為體重的增加量與進(jìn)食量之間有直線關(guān)系

，繪制回歸直線0.107980.86326.9080.745410.7454回歸91.6086總FMS

SS12線性回歸分析2（二、）t檢驗(yàn)

當(dāng)β=0時，樣本回歸系數(shù)b服從正態(tài)分布

=

剩=n-2Sb為樣本回歸系數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)誤，SY.X為剩余標(biāo)準(zhǔn)差，反映了因變量在扣除了自變量的線性影響后的離散程度。

12線性回歸分析2H0、H1及

同方差分析，代入公式求得t=9.42,查t界值表得P<0.001，結(jié)論同上。注意

對同一份資料，F(xiàn)=t2,F檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)所得的結(jié)論一致。

回歸系數(shù)的檢驗(yàn)與相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)論一致。12線性回歸分析2直線回歸方程的應(yīng)用

描述兩變量在數(shù)量上的依存關(guān)系利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，也就是預(yù)報因子X等于某固定值X1時，預(yù)報量Y的波動范圍（即Y的1-

容許區(qū)間）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制，如要求因變量Y控制在一定范圍內(nèi)波動，可以通過控制自變量X的取值來實(shí)現(xiàn)。12線性回歸分析2應(yīng)用直線回歸方程時注意：作回歸分析要有實(shí)際意義。資料要求Y至少服從正態(tài)分布。散點(diǎn)圖呈直線趨勢才做直線回歸分析.如散點(diǎn)圖明顯呈曲線趨勢，應(yīng)先通過變量變換使之直線化再作分析?？商崾举Y料有無異常點(diǎn)?；貧w方程必須作假設(shè)檢驗(yàn)。若回歸/相關(guān)關(guān)系不顯著，不繪制回歸直線，以免引起誤解。12線性回歸分析2回歸方程的應(yīng)用范圍只限于原數(shù)據(jù)自變量的取值范圍