江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章空間向量與立體幾何6.2空間向量的坐標(biāo)表示6.2.2第2課時(shí)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及空間兩點(diǎn)間的距離公式分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第二冊

第2課時(shí)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及空間兩點(diǎn)間的距離公式基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),則(2a-3b)·(a+2b)等于()A.-212 B.-106 C.106 D.2122.設(shè)一地球儀的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,球面上的兩個(gè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,2,2),(2,-2,1),則||等于()A.18 B.12 C.2 D.33.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b相互垂直,則k的值是()A.1 B. C. D.4.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),則cos<a,b>等于()A. B. C. D.5.(多選題)已知向量a=(1,1,-1),b=(2,-1,0),c=(0,1,-2),則下列結(jié)論正確的是()A.a·(b+c)=4B.(a-b)·(b-c)=-8C.記a與b-c的夾角為θ,則cosθ=D.若(a+λb)⊥c,則λ=36.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量與的夾角為.

7.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),且a∥b,b⊥c.(1)求向量a,b,c;(2)求向量a+c與向量b+c所成角的余弦值.實(shí)力提升練8.已知向量a=(1,0,-1),則下列向量與a成60°夾角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)9.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,則λ等于()A.5 B.4C.3 D.210.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為()A.30° B.60°C.120° D.150°11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)·取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A. B.C. D.12.(多選題)若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M為B1C1的中點(diǎn),則下列說法正確的是()A.直線AB1與直線BC1成60°角B.若=,平面A1MN交CD于點(diǎn)E,則CE=C.點(diǎn)P在正方形ABB1A1邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且MP⊥DB1,則點(diǎn)P的軌跡長等于D.E,F分別在線段DB1,A1C1上,且==2,直線EF與AD1,A1D所成的角分別是α,β,則α+β=13.若a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c兩兩垂直,則x=,y=,z=.

14.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量與的夾角為.

15.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ與的夾角為120°,求λ的值.拓展探究練16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA與平面ABCD所成的角為60°,在四邊形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.(1)求BP的長;(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值.17.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點(diǎn).(1)求BM,BN的長;(2)求△BMN的面積.第2課時(shí)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及空間兩點(diǎn)間的距離公式1.A(2a-3b)·(a+2b)=(-10,13,-14)·(16,-4,0)=-10×16+13×(-4)=-212.2.D||==3,故選D.3.D因?yàn)?ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,因?yàn)閨a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=.4.C由已知得a=(1,,),b=(1,0,),故cos<a,b>===.5.ABD由題意得a·(b+c)=(1,1,-1)·(2,0,-2)=2+0+2=4.(a-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2)=-2-4-2=-8.cosθ===-.因?yàn)?a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,即(1+2λ,1-λ,-1)·(0,1,-2)=0,得1-λ+2=0,解得λ=3.綜上可知,選項(xiàng)ABD正確.6.∵=(0,3,3),=(-1,1,0),∴||=3,||=,·=0×(-1)+3×1+3×0=3,∴cos<,>==.又∵<,>∈[0,π],∴<,>=.7.解(1)因?yàn)閍∥b,所以==,且y≠0,解得x=2,y=-4,此時(shí)a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又由b⊥c,得b·c=0,故(-2,-4,-1)·(3,-2,z)=-6+8-z=0,得z=2,此時(shí)c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),因此向量a+c與向量b+c所成角θ的余弦值為cosθ===-.8.B設(shè)b=(x,y,z)與a成60°夾角,則cos60°==,代入選項(xiàng)檢驗(yàn)得b=(1,-1,0)滿意.9.Cλa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3.10.Ca+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|==,所以cos<a,c>==-,所以<a,c>=120°.11.C設(shè)=λ,則=-=-λ=(1-λ,2-λ,3-2λ),=-=-λ=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以·=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=2.當(dāng)λ=時(shí),·取得最小值,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.12.ACD如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).對于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2),|cos<,>|===,∴直線AB1與直線BC1成60°角,故A正確;對于B,∵=,∴N0,2,,設(shè)E(0,m,2),則=(-1,2,0),=-2,2,,=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四點(diǎn)共面,∴存在λ,μ∈R,使得=λ+μ,得解得∴E0,,2,∴=0,-,0,||=,故B錯(cuò)誤;對于C,設(shè)P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),則=(1,y-2,z),=(2,2,-2),由MP⊥DB1,得·=2+2y-4-2z=0,則y-z=1,∴點(diǎn)P的軌跡長為線段y-z=1(0≤y≤2,0≤z≤2)的長度,為,故C正確;對于D,∵E,F分別在線段DB1,A1C1上,且==2,∴==×(2,2,-2)=,,-,==×(-2,2,0)=-,,0,則E,,,F,,0,則=-,0,-,則cosα=|cos<,>|===1,故α=0,cosβ=|cos<,>|==0,故β=,故α+β=,故D正確.故選ACD.13.-64-26-17∵a⊥b,a⊥c,b⊥c,∴即解得14.∵=(0,3,3),=(-1,1,0),∴||=3,||=,·=0×(-1)+3×1+3×0=3,∴cos<,>==.又∵<,>∈[0,π],∴<,>=.15.解∵=(1,0,0),=(0,-1,1),∴+λ=(1,-λ,λ),∴(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|==,||=,∴cos120°==-,∴λ2=.又<0,∴λ=-.16.解(1)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.∵∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).由PD⊥平面ABCD,得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角,∴∠PAD=60°.在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2.∴P(0,0,2).∴BP==4.(2)由(1)得=(2,0,-2),=(-2,-3,0),∴cos<,>==-,∴異面直線PA與BC所成角的余弦值為.17.解以C為