江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章計(jì)數(shù)原理7.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第二冊

第2課時(shí)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.如圖所示,在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路,則電路不通,則因焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致電路不通的狀況有()A.9種 B.11種C.13種 D.15種2.從0,1,2,…,9這10個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)(a,b)的坐標(biāo),能夠確定不在x軸上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.100 B.90 C.81 D.723.把10個(gè)相同的蘋果分成三堆,要求每堆至少1個(gè),至多5個(gè),則不同的分法共有()A.4種 B.5種C.6種 D.7種4.某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.假如將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為()A.42 B.30 C.20 D.125.某城市的電話號碼由七位升為八位(首位數(shù)字均不為零),則該城市可增加的電話部數(shù)是()A.9×8×7×6×5×4×3×2B.8×97C.9×107D.8.1×1076.某縣總工會利用業(yè)余時(shí)間開設(shè)太極、書法、繪畫三個(gè)培訓(xùn)班,甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參與,每人只報(bào)名參與一項(xiàng),且甲、乙不參與同一項(xiàng),則不同的報(bào)名方法種數(shù)為.

7.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B為集合M的非空子集,若對?x∈A,y∈B,x<y恒成立,則稱(A,B)為集合M的一個(gè)“子集對”,則集合M的“子集對”共有個(gè).

8.五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目,每個(gè)工程隊(duì)承建1個(gè),其中甲工程隊(duì)不能承建1號子項(xiàng)目,則不同的承建方案有種.

9.某文藝小組有20人,其中會唱歌的有14人、會跳舞的有10人,從中選出會唱歌與會跳舞的各1人參與演出,且既會唱歌又會跳舞的至多選1人,有多少種不同的選法?10.在3000到8000之間有多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)?11.如圖是某校的校內(nèi)設(shè)施平面圖,現(xiàn)有不同的顏色作為各區(qū)域的底色,為了便于區(qū)分,要求相鄰區(qū)域不能運(yùn)用同一種顏色.若有6種不同的顏色可選,求有多少種不同的著色方案.宿舍區(qū)餐廳教學(xué)區(qū)實(shí)力提升練12.一植物園的參觀路途如圖所示,若要全部參觀并且路途不重復(fù),則不同的參觀路途共有()A.6種 B.8種 C.36種 D.48種13.(多選題)已知集合A={-1,2,3,4},m,n∈A,則對于方程+=1的說法正確的是()A.可表示3個(gè)不同的圓B.可表示6個(gè)不同的橢圓C.可表示3個(gè)不同的雙曲線D.表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有3個(gè)14.某超市內(nèi)一排共有6個(gè)收費(fèi)通道,每個(gè)通道處有1號、2號兩個(gè)收費(fèi)點(diǎn),依據(jù)每天的人流量,超市打算周一選擇其中的3處通道,要求3處通道互不相鄰,且每個(gè)通道至少開通一個(gè)收費(fèi)點(diǎn),則周一這天超市選擇收費(fèi)的支配方式共有種.

15.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以隨意選取,則不同的選取種數(shù)為,m,n都取到奇數(shù)的概率為.

16.(1)從5種顏色中選出3種顏色,涂在一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)上,每一個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色,并使同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)異色,求不同的涂色方法數(shù);(2)從5種顏色中選出4種顏色,涂在一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)上,每一個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色,并使同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)異色,求不同的涂色方法數(shù).拓展探究練17.如圖,一環(huán)形花壇被分成A,B,C,D四個(gè)區(qū)域,現(xiàn)有4種不同的花可供選種,要求在每個(gè)區(qū)域里種1種花,且相鄰的2個(gè)區(qū)域種不同的花,則不同種法的種數(shù)為()A.96 B.84 C.60 D.4818.某同學(xué)支配用不超過30元的現(xiàn)金購買筆與筆記本.已知筆的單價(jià)為4元,筆記本的單價(jià)為5元,且筆至少要買2支,筆記本至少要買2本,不同的購買方案有多少種?第2課時(shí)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用1.C依據(jù)可能脫落的個(gè)數(shù)分類探討,若脫落一個(gè),則有(1),(4),共2種狀況;若脫落2個(gè),則有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種狀況;若脫落3個(gè),則有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4種狀況;若脫落4個(gè),則有(1,2,3,4)共1種狀況.綜上,共有2+6+4+1=13(種)狀況.故選C.2.C分兩步,第1步選b,因?yàn)閎≠0,所以有9種不同的選法;第2步選a,因?yàn)閍≠b,所以也有9種不同的選法.由分步計(jì)數(shù)原理知共有9×9=81(個(gè))點(diǎn)滿意要求.3.A若三堆蘋果中“最多”的一堆為5個(gè),其他兩堆總和為5個(gè),每堆至少1個(gè),只有2種分法,即“1和4”“2和3”兩種分法.若三堆蘋果中“最多”的一堆為4個(gè),其他兩堆總和為6,每堆至少1個(gè),只有2種分法,即“2和4”“3和3”兩種分法.若蘋果最多的一堆為3個(gè)或3個(gè)以下,則這是不行能的.所以不同的分法共有2+2=4(種).4.A原定的5個(gè)節(jié)目產(chǎn)生6個(gè)空位,將其中1個(gè)新節(jié)目插入,有6種不同的插法,然后6個(gè)節(jié)目產(chǎn)生7個(gè)空位,將另一個(gè)新節(jié)目插入,有7種不同的插法.由分步計(jì)數(shù)原理知共有7×6=42(種)不同的插法.5.D電話號碼是七位數(shù)字時(shí),該城市可安裝電話9×106部,同理升為八位時(shí)可安裝電話9×107部,所以可增加的電話部數(shù)是9×107-9×106=8.1×107.6.54甲有三個(gè)培訓(xùn)可選,甲、乙不參與同一項(xiàng),所以乙有兩個(gè)培訓(xùn)可選,丙、丁各有三個(gè)培訓(xùn)可選,依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,不同的報(bào)名方法種數(shù)為3×2×3×3=54.7.17當(dāng)A={1}時(shí),B有23-1=7(種)狀況;當(dāng)A={2}時(shí),B有22-1=3(種)狀況;當(dāng)A={3}時(shí),B有1種狀況;當(dāng)A={1,2}時(shí),B有22-1=3(種)狀況;當(dāng)A={1,3},{2,3},{1,2,3}時(shí),B均有1種狀況,所以集合M的“子集對”共有7+3+1+3+3=17(個(gè)).8.96完成承建任務(wù)可分五步.第1步,支配1號子項(xiàng)目,有4種不同的承建方案;第2步,支配2號子項(xiàng)目,有4種不同的承建方案;第3步,支配3號子項(xiàng)目,有3種不同的承建方案;第4步,支配4號子項(xiàng)目,有2種不同的承建方案;第5步,支配5號子項(xiàng)目,有1種承建方案.由分步計(jì)數(shù)原理,共有4×4×3×2×1=96(種)不同的承建方案.9.解第1類,首先從只會唱歌的10人中選出1人,有10種不同的選法,從會跳舞的10人中選出1人,有10種不同的選法,共有10×10=100(種)不同的選法;第2類,從既會唱歌又會跳舞的4人中選1人,再從只會跳舞的6人中選1人,共有4×6=24(種)不同的選法.所以一共有100+24=124(種)不同的選法.10.解分兩類:第1類是以3,5,7為首位的四位奇數(shù),可分三步完成:先排千位有3種方法,再排個(gè)位有4種方法,最終排中間兩個(gè)數(shù)有8×7種方法,所以滿意要求的數(shù)有3×4×8×7=672(個(gè)).第2類是首位是4或6的四位奇數(shù),也可分三步完成,滿意要求的數(shù)有2×5×8×7=560(個(gè)).由分類計(jì)數(shù)原理得,滿意要求的數(shù)共有672+560=1232(個(gè)).11.解操場可從6種顏色中任選1種著色;餐廳可以從剩下的5種顏色中任選1種著色;宿舍區(qū)、操場和餐廳顏色都不能相同,故可以從剩下的4種顏色中任選一種著色;教學(xué)區(qū)、宿舍區(qū)和餐廳的顏色都不能相同,故可以從剩下的4種顏色中任選1種著色.依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,知共有6×5×4×4=480(種)不同的著色方案.12.D選擇參觀路途分步完成:第1步選擇三個(gè)“環(huán)形”路途中的一個(gè),有3種方法,再按逆時(shí)針或順時(shí)針方向參觀,有2種方法;第2步選擇余下兩個(gè)“環(huán)形”路途中的一個(gè),有2種方法,也按逆時(shí)針或順時(shí)針方向參觀,有2種方法;最終一個(gè)“環(huán)形”路途,也按逆時(shí)針或順時(shí)針方向參觀,有2種方法.由分步計(jì)數(shù)原理,共有3×2×2×2×1×2=48(種)方法.故選D.13.ABD當(dāng)m=n>0時(shí),方程+=1表示圓,故有3個(gè),選項(xiàng)A正確;當(dāng)m≠n且m,n>0時(shí),方程+=1表示橢圓,焦點(diǎn)在x軸、y軸上的橢圓分別有3個(gè),故有3×2=6(個(gè)),選項(xiàng)B正確,D正確;當(dāng)mn<0時(shí),方程+=1表示雙曲線,故有3×1+1×3=6(個(gè)),選項(xiàng)C錯誤.14.108設(shè)6個(gè)收費(fèi)通道依次編號為1,2,3,4,5,6,從中選擇3個(gè)互不相鄰的通道,有135,136,146,246共4種不同的選法.對于每個(gè)通道,至少開通一個(gè)收費(fèi)點(diǎn),即可以只開通1號收費(fèi)點(diǎn),只開通2號收費(fèi)點(diǎn),同時(shí)開通兩個(gè)收費(fèi)點(diǎn),共3種不同的支配方式.由分步計(jì)數(shù)原理,周一這天超市選擇收費(fèi)的支配方式共有4×33=108(種).15.63因?yàn)檎麛?shù)m,n滿意m≤7,n≤9,所以(m,n)全部可能的取值有7×9=63(種),其中m,n都取到奇數(shù)的狀況有4×5=20(種),因此所求概率為.16.解(1)如圖,由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,則A,C必需顏色相同,B,D必需顏色相同,所以共有5×4×3×1×1=60(種)不同的涂色方法.(2)由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,則A,C可以顏色相同,B,D可以顏色相同,并且兩組中只有一組顏色相同.所以,先從兩組中選出一組涂同一顏色,有2種選法(如:B,D顏色相同);再從5種顏色中,選出四種顏色涂在S,A,B,C四個(gè)頂點(diǎn)上,最終D涂B的顏色,有5×4×3×2=120(種)不同的涂色方法.依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有2×120=240(種)不同的涂色方法.17.B當(dāng)A,C區(qū)域種同樣的花時(shí),A,C區(qū)域有4種種法,B區(qū)域有3種種法,D區(qū)域有3種種法;當(dāng)A,C區(qū)域種不同的花時(shí),A區(qū)域有4種種法,C區(qū)域有3種種法,B區(qū)