江蘇省泰州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模模擬試題含解析

試卷第=page66頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)試卷第=page55頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)P(yáng)age5江蘇省泰州中學(xué)2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模模擬試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合M，N滿意，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿意，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部是（

）A． B． C． D．23．如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是（

）A． B． C． D．4．已知平面單位向量，，滿意，則（

）A．0 B．1 C． D．5．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且點(diǎn)和直線分別是圖像的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，則T＝（

）A． B． C． D．6．小李在2024年1月1日采納分期付款的方式貸款購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值元的家電，在購(gòu)買1個(gè)月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款（2024年12月1日最終一次還款），月利率為．按復(fù)利計(jì)算，則小李每個(gè)月應(yīng)還（

）A．元 B．元C．元 D．元7．在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿意，且經(jīng)過的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．8．已知函數(shù)．設(shè)s為正數(shù)，則在中（

）A．不行能同時(shí)大于其它兩個(gè) B．可能同時(shí)小于其它兩個(gè)C．三者不行能同時(shí)相等 D．至少有一個(gè)小于二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知的綻開式中共有7項(xiàng)，則（

）A．全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B．全部項(xiàng)的系數(shù)和為1C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)D．有理項(xiàng)共4項(xiàng)10．一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為s．另一組樣本數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為s．兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，則（

）A．是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)B．C．函數(shù)在處切線的斜率小于零D．12．正方體的棱長(zhǎng)為，中心為，以為球心的球與四面體的四個(gè)面相交所圍成的曲線的總長(zhǎng)度為，則球的半徑為（

）A． B． C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某探討機(jī)構(gòu)采訪了“一帶一路”沿線20國(guó)的青年，讓他們用一個(gè)關(guān)鍵詞表達(dá)對(duì)中國(guó)的印象，運(yùn)用頻率前12的關(guān)鍵詞為：高鐵?移動(dòng)支付?網(wǎng)購(gòu)?共享單車?一帶一路?無人機(jī)?大熊貓?廣場(chǎng)舞?中華美食?長(zhǎng)城?京劇?漂亮鄉(xiāng)村.其中運(yùn)用頻率排前四的關(guān)鍵詞“高鐵?移動(dòng)支付?網(wǎng)購(gòu)?共享單車”也成為了他們眼中的“新四大獨(dú)創(chuàng)”.從這12個(gè)關(guān)鍵詞中選擇3個(gè)不同的關(guān)鍵詞，且至少包含一個(gè)“新四大獨(dú)創(chuàng)”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.14．已知，則____________.15．設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則________．16．已知直三棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為，則__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面積為__________．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為．(1)求，的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求△ABC的面積．19．如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE；(2)當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時(shí)，求二面角N-AE-B的余弦值．20．某公司對(duì)40名試用員工進(jìn)行業(yè)務(wù)水平測(cè)試，依據(jù)測(cè)試成果評(píng)定是否正式錄用以及正式錄用后的崗位等級(jí)，測(cè)試分筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)．筆試環(huán)節(jié)全部40名試用員工全部參與；參與面試環(huán)節(jié)的員工由公司按規(guī)則確定．公司對(duì)40名試用員工的筆試得分筆試得分都在內(nèi)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到如下的頻率分步直方圖和列聯(lián)表．男女合計(jì)優(yōu)得分不低于90分8良得分低于90分12合計(jì)40(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認(rèn)為“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別有關(guān)；(2)公司確定：在筆試環(huán)節(jié)中得分低于85分的員工干脆淘汰，得分不低于85分的員工都正式錄用．筆試得分在內(nèi)的崗位等級(jí)干脆定為一級(jí)無需參與面試環(huán)節(jié)；筆試得分在內(nèi)的崗位等級(jí)初定為二級(jí)，但有的概率通過面試環(huán)節(jié)將二級(jí)晉升為一級(jí)；筆試分?jǐn)?shù)在內(nèi)的崗位等級(jí)初定為三級(jí)，但有的概率通過面試環(huán)節(jié)將三級(jí)晉升為二級(jí)．若全部被正式錄用且崗位等級(jí)初定為二級(jí)和三級(jí)的員工都需參與面試．已知甲、乙為該公司的兩名試用員工，以頻率視為概率．①若甲已被公司正式錄用，求甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率；②若乙在筆試環(huán)節(jié)等級(jí)初定為二級(jí)，求甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率．參考公式：，21．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)取最大值時(shí)，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動(dòng)直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由22．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案第=page1717頁(yè)，共=sectionpages1818頁(yè)1．D【分析】利用并集和子集的定義即可求解【詳解】由可得，故D正確；當(dāng)，所以，故ABC不正確故選：D2．D【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得z即可求得虛部.【詳解】由已知，故，故z的虛部是2.故答案為：D3．C【分析】依據(jù)條件通過作垂線，求得底面圓的半徑，將液體的體積看作等于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即可求解答案.【詳解】如圖為圓柱的軸截面圖，過M作容器壁的垂線，垂足為F,因?yàn)镸N平行于地面，故，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，故,在中，，即圓柱的底面半徑為，所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即為，故選：C.4．C【分析】依據(jù)可得，替換，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，，因?yàn)?，所以平行四邊形為菱形，則為正三角形，所以，且反向，所以，所以，因?yàn)椋?，故選:C.5．A【分析】求出對(duì)稱中心和對(duì)稱軸之間的距離關(guān)系，依據(jù)周期的取值范圍即可確定周期的值【詳解】解：由題意在中，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)和與對(duì)稱軸在軸上的交點(diǎn)間的距離為對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：由幾何學(xué)問得，解得：（為屬于的參數(shù)）∵，且點(diǎn)和直線分別是圖像的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸∴解得：∵∴,故選：A.6．A【分析】小李的還款x元每月要產(chǎn)生復(fù)利，小李的貸款元每月也要產(chǎn)生復(fù)利.這是本題的關(guān)鍵所在.【詳解】設(shè)每月還元，按復(fù)利計(jì)算，則有即解之得，故選：A7．C【分析】依據(jù)雙曲線的定義先推出為正三角形，然后依據(jù)余弦定理解決.【詳解】，∴，∴，∵經(jīng)過內(nèi)切圓圓心，∴為的角平分線，∴．∴，∴，，，∴，于是，∴為正三角形，．中，由余弦定理，∴.故選：C.8．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，并結(jié)合的大小關(guān)系，通過賦值或分類探討分析推斷.【詳解】∵，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且，對(duì)A：若，則，則，A錯(cuò)誤；對(duì)B、C：當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：不行能同時(shí)小于，B、C錯(cuò)誤；對(duì)D：構(gòu)建，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，令，可得，則，故，即，使得，反證：假設(shè)均不小于，則，明顯不成立，假設(shè)不成立，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在比較與的大小關(guān)系時(shí)，通過構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析推斷.9．ACD【分析】由題意可得，對(duì)于A，全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，對(duì)于B，令可求出全部項(xiàng)的系數(shù)和，對(duì)于C，由二項(xiàng)式綻開式的系數(shù)特征求解即可，對(duì)于D，求出二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式，可求出全部的有理項(xiàng)【詳解】因?yàn)榈木`開式中共有7項(xiàng)，所以，對(duì)于A，全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以A正確，對(duì)于B，令，則全部項(xiàng)的系數(shù)和為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于二項(xiàng)式的綻開項(xiàng)共有7項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以C正確，對(duì)于D，的綻開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，綻開式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有4項(xiàng)，所以D正確，故選：ACD10．BC【分析】由平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的定義求解推斷．【詳解】由題意，，同理兩式相加得，，所以，．故選：BC．11．AB【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系，以及極值的定義逐項(xiàng)分析推斷.【詳解】令，解得，則在上單調(diào)遞增，令，解得或，則在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，，A、B正確；∵，則，故函數(shù)在處切線的斜率大于零，C錯(cuò)誤；又∵，則，但無法確定函數(shù)值的正負(fù)，D錯(cuò)誤；故選：AB.12．BC【分析】依據(jù)正四面體性質(zhì)可求得球心到正四面體每個(gè)面的距離；當(dāng)正四面體每個(gè)面截得的曲線為一個(gè)圓時(shí)，可求得小圓的半徑，由可求得；當(dāng)正四面體每個(gè)面截得的曲線為三段等差的圓弧時(shí)，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，可確定其唯一零點(diǎn)，由可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知：四面體為正四面體，設(shè)球的半徑為；正方體棱長(zhǎng)為，正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)球心到正四面體各個(gè)面的距離為，正四面體體積，表面積，；①若正四面體的一個(gè)面截球如圖所示，設(shè)小圓半徑為，則，解得：，，解得：；②若正四面體的一個(gè)面截圖如圖所示，每個(gè)面截球所得的曲線長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，設(shè)小圓半徑為，為正四面體側(cè)面的中心，為中點(diǎn)，，，又，，，令，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，，，解得：；綜上所述：球的半徑為或.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的截面截球所得曲線相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠通過分類探討的方式，確定正四面體各個(gè)側(cè)面截球所得曲線的不同狀況，從而依據(jù)不同狀況下曲線長(zhǎng)度來求解截面圓的半徑.13．164【分析】從這12個(gè)關(guān)鍵詞中選擇3個(gè)不同的關(guān)鍵詞，分為包含一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)“新四大獨(dú)創(chuàng)”關(guān)鍵詞的狀況計(jì)算可得答案.【詳解】把12個(gè)的關(guān)鍵詞分為兩組：高鐵、移動(dòng)支付、網(wǎng)購(gòu)、共享單車一組，余下的為一組，從這12個(gè)關(guān)鍵詞中選擇3個(gè)不同的關(guān)鍵詞，且至少包含一個(gè)“新四大獨(dú)創(chuàng)”關(guān)鍵詞的狀況有種.故答案為：.14．【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故答案為?15．【分析】先求出兩圓的公共弦所在的直線方程，然后求出其中一個(gè)圓心到該直線的距離，再依據(jù)弦長(zhǎng)、半徑以及弦心距三者之間的關(guān)系求得答案.【詳解】將和兩式相減：得過兩點(diǎn)的直線方程：，則圓心到的距離為，所以，故答案為：16．

【分析】取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連，，求出棱臺(tái)的體積，再由柱體體積減去臺(tái)體體積可得；求出三棱錐外接球半徑為，利用向量法求出外接球球心到平面距離，從而求出小圓的半徑，即可得到答案；【詳解】取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連，平面為平面，，，，三棱錐外接球半徑，如下圖建系，，，，，設(shè)平面的法向量，，，不妨設(shè)，則，球心到平面距離，，．故答案為：，17．(1)，；(2)11【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得公差，得通項(xiàng)公式，寫出時(shí)的集合可得元素個(gè)數(shù)，即；（2）由（1）可得，然后分組求和法求得和，用估值法得時(shí)和小于2024，時(shí)和大于2024，由數(shù)列的單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，，解得，所以，時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為，時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為；（2）由（1）知，，時(shí)，=2001<2024，時(shí)，=4039>2024，記，明顯數(shù)列是遞增數(shù)列，所以所求的最小值是11.18．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和和三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)等式，即可得出.（2）依據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其最值，從而求出，即可求出△ABC的面積【詳解】（1）由題意在△ABC中，，，由正弦定理得，∴，整理得到，而為三角形內(nèi)角，故，故，而，故即.（2）由題意及（1）得在△ABC中，，，故外接圓直徑，故，，其中，且，因?yàn)?，故，而，故的最大值?，此時(shí)，故，，故，且故，此時(shí).19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，證得，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，同理得到平面，證得平面平面，進(jìn)而得到平面.（2）過E作交AB于O，證得平面ABCD，取CD的中點(diǎn)G，連接OG，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，因?yàn)镸，F(xiàn)分別為ED和EC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：如圖所示，過E作交AB于O，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧的中點(diǎn)，所以O(shè)與AB的中點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)G，連接OG，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，，所以EO，AB，OG兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，可得，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可得，令，則平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二成角的余弦值為．20．(1)表格見解析，沒有；(2)①；②.【分析】（1）依據(jù)頻率直方圖求出得分不低于90分的人數(shù)，結(jié)合所給的公式和數(shù)據(jù)進(jìn)行求解推斷即可；（2）①依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，結(jié)合和事務(wù)的概率公式進(jìn)行求解即可；②分類運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）得分不低于90分的人數(shù)為：，所以填表如下：男女合計(jì)優(yōu)得分不低于90分8412良得分低于90分161228合計(jì)241640所以，因此沒有的把握認(rèn)為“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別有關(guān)；（2）不低于85分的員工的人數(shù)為：，干脆定為一級(jí)的概率為，崗位等級(jí)初定為二級(jí)的概率為：，崗位等級(jí)初定為三級(jí)的概率為：.①甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率為：；②甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率為：.21．（1