江蘇省連云港市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)試題含解析

Page14江蘇省連云港市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)試題（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)求解.【詳解】因?yàn)榧希?，且，所以，故選：B2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用對(duì)數(shù)式的真數(shù)為正得到關(guān)于的一元二次不等式，不等式的解集即為該函數(shù)的定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，須，即，即，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.3.已知、，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用特別值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義推斷可得出結(jié)論.【詳解】充分性：取，，則成立，但不成立，充分性不成立；必要性：取，，則成立，但不成立，必要性不成立.因此，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.函數(shù)的圖像肯定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令即可求出定點(diǎn).【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，即函數(shù)的圖象肯定經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：B.5.若函數(shù)（且）在上的最大值為4，最小值為m，實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】分和兩種狀況，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的最大值為4，求出的值，從而可求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求出函數(shù)的最小值.【詳解】時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，解得，此時(shí)，.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，此時(shí)，.綜上，m的值為或，故選：D.6.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，敏捷利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.7.若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A.或3 B.3 C. D.0【答案】B【解析】【分析】由題意可得，從而可求出實(shí)數(shù)的值【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，由，得或，當(dāng)時(shí)，，所以舍去，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：B8.17世紀(jì)，在探討天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法，數(shù)學(xué)家拉普拉斯贊揚(yáng)為“對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了很多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，由此可得答案.【詳解】,所以.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的有（）A.，B.，C.若p：，則：D.若p：，則：【答案】BC【解析】【分析】通過(guò)舉例推斷A，B，依據(jù)含量詞的命題的否定方法推斷C，D.詳解】當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，B正確，命題“?n∈N，n2＞2n”否定是命題“?n∈N，n2≤2n”C正確，命題“”的否定是命題“”，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為5 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式易得結(jié)論.詳解】∵已知，∴，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值5，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知、均為實(shí)數(shù)集的子集，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】首先依據(jù)已知條件得到集合與集合的包含關(guān)系，然后通過(guò)交并補(bǔ)運(yùn)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】∵∴，若是的真子集，則，故A錯(cuò)誤；由可得，故B正確；由可得，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD．12.函數(shù)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則可能取的值有（）A.2 B. C.0 D.1【答案】ABC【解析】【分析】只有一個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)與函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可干脆得到答案.【詳解】解：∵只有一個(gè)零點(diǎn)，

∴函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，

作函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)；函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，可得，令可得，所以函數(shù)在時(shí)，直線與相切，可得.綜合得：或.

故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合，，則集合B的子集的個(gè)數(shù)是_____________.【答案】8【解析】【分析】由題意，計(jì)算出集合的全部元素，依據(jù)子集個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)的關(guān)系，可得答案.【詳解】由，，，，，且，故，則集合B的子集的個(gè)數(shù)為．故答案為：.14.已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.15.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】整理可得在上恒成立，依據(jù)x的范圍，可求得的范圍，分析即可得答案.【詳解】由題意，可得，即，當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，只需，當(dāng)時(shí)有最小值為1，則有最大值為3，則，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：16.已知，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，即，所以，故答案為：##四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）3（2）1【解析】【分析】（1）由指數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】18.已知二次函數(shù)的最小值為3，且.（1）求的解析式；（2）若的圖像恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意設(shè)，代求出參數(shù)即可得出函數(shù)解析式；（2）原不等式等價(jià)于恒成立，將二次函數(shù)函數(shù)配成頂點(diǎn)坐標(biāo)式求出最小值即可得出其范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)中，所以對(duì)稱軸為又二次函數(shù)的最小值為3，故可設(shè)所以所以（2）的圖像恒在直線的上方等價(jià)于即恒成立因?yàn)樗裕磳?shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：探討參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.19.已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)椋?）若求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；（2）按與的大小分類探討求解.【詳解】（Ⅰ）由，得，故集合；（Ⅱ）由題可知，①若，即時(shí)，，又因?yàn)?，所以，無(wú)解；②若時(shí)，明顯不合題意；③若，即時(shí)，，又因?yàn)椋?，解得．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域和集合的運(yùn)算.求函數(shù)定義域的常用方法：1、分母不為零；2、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；3、偶次方根的被開(kāi)方方數(shù)大于或等于零；4、零次冪的底數(shù)不等于零；5、中.20.已知函數(shù)的定義域是.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本題可依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出恒成立，然后通過(guò)即可得出結(jié)果；（2）本題首先可依據(jù)得出，然后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以恒成立，則，解得，的取值范圍為.（2），即，因?yàn)?，所以，即，解得，故不等式的解集?21.已知函數(shù)且，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由即可得的值；（2）令可得有實(shí)根，當(dāng)時(shí)明顯不成立，所以有實(shí)根，由，可得，即可求解.【詳解】（1）由題意可得，可得；（2）由可得，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以有實(shí)根，所以即有實(shí)根，當(dāng)時(shí)明顯不成立，所以有實(shí)根，因?yàn)椋?，即，可得或，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最終利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法明顯，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得微小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，令，則．令，則面積為，只需求出最小值．．因?yàn)椋粤?，得．隨著a的改變，的改變狀況如下表：a0減微小值增所以．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法三]：多元