河北省衡水中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期三調(diào)考試試卷含解析

PAGEPAGE18河北省衡水中學(xué)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期三調(diào)考試試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共4頁(yè)，總分150分，考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，集合（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則A． B． C． D．2．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則A．－1 B． C． D．3．若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則的最小值為A． B． C． D．4．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以是A． B． C． D．5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在區(qū)間上的最小值為 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱6．若函數(shù)的最小正周期為4，則在下列區(qū)間中單調(diào)遞增的是A． B． C． D．7．圭表（如圖①）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推斷節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）．當(dāng)太陽(yáng)在正午時(shí)刻照耀在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖②是一個(gè)依據(jù)某地的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知該地冬至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即大約為15°，夏至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長(zhǎng)）為，則表高（即的長(zhǎng)）為A． B． C． D．8．已知不等式的解集為，若中只有唯一整數(shù)，則稱A為“和諧解集”，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上存在“和諧解集”，則實(shí)數(shù)的可能取值為A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列說(shuō)法中正確的是A．“為銳角三角形”是“”的充分不必要條件B．若，則為等腰三角形C．命題“若，則”是真命題D．若，，，則符合條件的有兩個(gè)10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是A．，若恒成立，則B．若，則，C．若，則D．若，且，則11．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便及更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作versinθ；定義為角的余矢，記作coversinθ，則下列結(jié)論中正確的是A．B．C．若，則D．函數(shù)的最大值為12．已知函數(shù)，，則在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則.14．已知定義在R上的函數(shù)滿意，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.15．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．據(jù)氣象部門報(bào)道某臺(tái)風(fēng)影響我國(guó)東南沿海一帶，測(cè)定臺(tái)風(fēng)中心位于某市南偏東60°，距離該市400千米的位置，臺(tái)風(fēng)中心以40千米/時(shí)的速度向正北方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心350千米的范圍都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，則該市從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．(10分)已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，在①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)完成下列問(wèn)題：(1)求；(2)若在邊上，且，求的最大值．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．(12分)已知函數(shù)，其圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為.(1)求的解析式；(2)記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，，若角的平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．20．(12分)記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求；(2)是邊上的點(diǎn)，若，，求的值．21．(12分)已知的外心為分別為邊上的點(diǎn)，且恰為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，，求的最大值．22．(12分)已知函數(shù).(1)若，求的最小值；(2)若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．C【解析】因?yàn)?，，所?2．B【解析】由題意得，所以.3．A【解析】由已知得，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.4．D【解析】因?yàn)椋瑢⒌膱D象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，所以，故，又，所以，當(dāng)時(shí)，.5．D【解析】由題圖得，又，點(diǎn)在圖象的上升部分上，所以，由五點(diǎn)作圖法可知，則，所以．對(duì)于A，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間上的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確．6．C【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，且其單調(diào)遞增區(qū)間為對(duì)于函數(shù)，其最小正周期為，可得，則。由，得，，所似的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在區(qū)間上單凋遞減，，在區(qū)間上不單調(diào)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.7．B【解析】.在Rt中，.在Rt中，.由，得.8．C【解析】不等式可化為.由函數(shù)的圖象，可知只有一個(gè)整數(shù)解，則唯一整數(shù)解只能是。因?yàn)辄c(diǎn)，是圖象上的點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，，所以?shí)數(shù)的可能取值為.二、選擇題9．AC【解析】若為銳角三角形，則，，，且，即，又，，則；反之，若為鈍角，滿意，不能推出為銳角三角形，故A正確；由，得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；若，則，由正弦定理得，即成立，故C正確：依據(jù)余弦定理得，即，所以符合條件的只有一個(gè)，故D錯(cuò)誤．10．ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所以，故A正確，對(duì)于B，若，即，所以或，，即或，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，即，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，且，由的，圖象在區(qū)間內(nèi)的對(duì)稱軸為直線可知，，所以，故D正確．11．BC【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，，分子分母同除以，得，故C正確，，當(dāng)時(shí)，取得最大值4，故D錯(cuò)誤．12．AC【解析】由，得，即，解得或，又，所以或.當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，所以單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上只有1個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，因此在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增.又，，所以在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增．由為偶函數(shù)可知在區(qū)間上先單調(diào)遞減，然后單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，最終單調(diào)遞增，故在區(qū)間上共有3個(gè)極值點(diǎn)，綜上，在區(qū)間上有1個(gè)或3個(gè)極值點(diǎn)．三、填空題13．【解析】因?yàn)?，所以，整理得，?14．1【解析】因?yàn)?，所以，所以．又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以.又，所以.15．【解析】的定義域?yàn)镽，，故為偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，作出在區(qū)間上的大致圖象如圖所示．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)不同的實(shí)根，則.16．【解析】如圖，A點(diǎn)為某市的位置，B點(diǎn)是臺(tái)風(fēng)中心在向正北方向移動(dòng)前的位置．設(shè)臺(tái)風(fēng)移動(dòng)小時(shí)后的位置為，則.又，，在中，由余弦定理，得.令，即，解得，則（小時(shí)），所以該市從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．四、解答題17．解：(1)因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以. （1分）當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以（5分）(2)當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增．（7分）由，可得（8分）所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是. (10分)18．解：(1)若選①：由正弦定理，得，整理得（3分）所以.又，所以.（5分）若選②：因?yàn)?，所以，即，?分）解得（舍去）或.又，所以（5分）(2)因?yàn)?，所以為邊上的高，又，所以?dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，取得最大值．法一：在中，由余弦定理，得，即 （8分）由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以(10分)所以邊上的高的最大值為，(12分)法二：由正弦定理，得，（8分）所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以邊上的高的最大值為.（12分）19．解：(1)，（2分）設(shè)的周期為，由題意得，即，解得，（4分）所以.（5分）(2)由，得，即，，解得，，因?yàn)椋?（7分）由，得，所以.（10分）在中，由余弦定理，得，即，則，即，故（12分）20．解：(1)由題得，等式左邊，由正弦定理，得（2分）又，所以，所以，即（4分）又，所以.（5分）(2)因?yàn)椋?設(shè)，則.在中，由正弦定理，得，則（7分）在中，由余弦定理，得.（9分）故，解得，即.(11分)又，所以.（12分）21．(1)證明：設(shè)，，，，連接在和中，由余弦定理，得，.（2分）由是的外心知，又，所以，即.（4分）因?yàn)椋酝砜傻?，因?yàn)?，所?故.（6分）(2)解：在和中，由余弦定理，得，.由，得.設(shè)，.由(1)知，則（9分）所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為. （12分）22．解：(1)當(dāng)時(shí)，，則.（1分）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.又，所以，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為.（4分）(2)由