河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

Page16Page16河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題時(shí)間:120分鐘滿分:150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，又，所以，故選：D．2.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（）A.[-5，4] B.[-2，7] C.[-2，1] D.[1，4]【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)解析式可得，解不等式可得，再由即可求解.【詳解】由，則，解得，所以函數(shù)的定義域滿意，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇1，4].故選：D3.不等式的解集是（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】把原不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，通分計(jì)算后，然后轉(zhuǎn)化為，求出不等式組的解集即為原不等式的解集．【詳解】解：不等式可轉(zhuǎn)化為，即，即，所以不等式等價(jià)于解得：，所以原不等式的解集是故選：B4.命題“?x∈R，?n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（）A.?x∈R，?n∈N+，有n<2x+1B.?x∈R，?n∈N+，有n<2x+1C.?x∈R，?n∈N+，使n<2x+1D.?x∈R，?n∈N+，使n<2x+1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)全稱命題、特稱命題的否定表述：條件中的、，然后把結(jié)論否定，即可確定答案【詳解】條件中的、，把結(jié)論否定∴“?x∈R，?n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式為“?x∈R，?n∈N+，使n<2x+1”故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題、特稱命題的否定形式，其原則是將原命題條件中的、且否定原結(jié)論5.已知，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令求，再利用不等式的性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】令，∴，即，∴，故.故選：D6.如圖，中，，，，點(diǎn)P是斜邊上隨意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為，交邊（或邊）于點(diǎn)Q，設(shè)，的面積為y，則y與x之間的函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由中，，，可求得的度數(shù)與的長(zhǎng)度，再分別從當(dāng)與當(dāng)時(shí)，去分析求解即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步選出圖象.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，，，所以，，如圖1，當(dāng)時(shí)，，，所以，如圖2：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，留意駕馭含直角三角形的性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)；留意駕馭分類探討的思想.屬于中檔題.7.已知函數(shù)，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，則，代入已知解析式可得的表達(dá)式，再將換成即可求解.【詳解】令，則，所以，所以，故選：A.8.已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A或 B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，利用基本不等式求出的最小值，再將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值，解不等式可得結(jié)果.【詳解】由得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以恒成立，可化為，即，解得.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則；二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.有以下推斷，其中是正確推斷的有（）.A.與表示同一函數(shù)B.函數(shù)的最小值為2C.函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)D.若，則【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域可推斷A的正誤，依據(jù)基本不等式可推斷B的正誤，依據(jù)函數(shù)的定義可推斷C的正誤，依據(jù)函數(shù)解析式計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可推斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，故兩者不是同一函數(shù).對(duì)于B，由基本不等式可得，但無(wú)解，故前者等號(hào)不成立，故，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由函數(shù)定義可得函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)，故C正確.對(duì)于D，，故D正確.故選：CD.10.下面命題正確是（）A.“”是“"的必要不充分條件B.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根”的充要條件C.“”是“”的必要不充分條件D.設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件【答案】ABC【解析】【分析】利用充分條件，必要條件的定義逐項(xiàng)推斷作答.【詳解】對(duì)于A，不能推出，而，必有，“”是“"的必要不充分條件，A正確；對(duì)于B，若，一元二次方程判別式，方程有二根，，即一正一負(fù)，反之，一元二次方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，則，有，所以“”是“一元二次方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根”的充要條件，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，有，當(dāng)時(shí)，且，因此“”是“”的必要不充分條件，C正確；對(duì)于D，，若，取，明顯“且”不成立，而且，必有，設(shè)，則“”是“且”的必要不充分條件，D不正確.故選：ABC11.函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)?B.若，則C.若，則 D.，【答案】BD【解析】【分析】求得函數(shù)的值域推斷選項(xiàng)A；推理證明推斷選項(xiàng)B；舉反例否定選項(xiàng)C；舉例證明，.推斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)的值域?yàn)?推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，則，，則.推斷正確；選項(xiàng)C：，但.推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，.則，.推斷正確.故選：BD12.已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（）A.B.C.若不等式的解集為，則D.若不等式的解集為，且，則【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)集合子集的個(gè)數(shù)列方程，求得的關(guān)系式，對(duì)A，利用二次函數(shù)性質(zhì)可推斷；對(duì)B，利用基本不等式可推斷；對(duì)CD，利用不等式的解集及韋達(dá)定理可推斷.【詳解】由于集合有且僅有兩個(gè)子集，所以，由于，所以.A，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確.B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確.C，不等式的解集為，，故C錯(cuò)誤.D，不等式的解集為，即不等式的解集為，且，則，則，，故D正確，故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知求________.【答案】5【解析】【分析】先求，再依據(jù)值代入對(duì)應(yīng)解析式得【詳解】因?yàn)樗浴军c(diǎn)睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.14.已知正實(shí)數(shù)、滿意，則的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】由已知可得出且，化簡(jiǎn)代數(shù)式，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿意，則，由可得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值是.故答案為：.15.對(duì)于，恒成立的取值________.【答案】【解析】【分析】設(shè)關(guān)于的一次函數(shù)，只需即可求解.【詳解】令，因?yàn)閷?duì)于，不等式恒成立，所以即解得：或.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求不等式恒成立問(wèn)題的方法（1）分別參數(shù)法若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.（2）數(shù)形結(jié)合法結(jié)合函數(shù)圖象將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置關(guān)系（相對(duì)于軸）求解.此外，若涉及的不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可結(jié)合相應(yīng)一元二次方程根的分布解決問(wèn)題.（3）主參換位法把變?cè)c參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，依據(jù)原變量的取值范圍列式求解，一般狀況下條件給出誰(shuí)的范圍，就看成關(guān)于誰(shuí)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.16.若函數(shù)，，對(duì)于，，使，則a的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】由題意可知函數(shù)在區(qū)間的值域是函數(shù)在區(qū)間的值域的子集，轉(zhuǎn)化為子集問(wèn)題求的取值范圍.【詳解】在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間的值域是函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，由題意可知，所以，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙變量等式中隨意，存在問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知，（1）若時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用集合的并集定義代入計(jì)算即可;（2）求出集合，利用集合包含關(guān)系，分類探討和兩種狀況，列出關(guān)于m的不等式，求解可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則即．（2）或，由，可分以下兩種狀況：①當(dāng)時(shí)，，解得：②當(dāng)時(shí)，利用數(shù)軸表示集合，如圖由圖可知或，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：或，即【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查利用集合子集關(guān)系確定參數(shù)問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是要留意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合兩種狀況探討，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.18.（1）已知，且，證明：．（2）證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)利用不等式的性質(zhì)證明即可；(2)等價(jià)于證明++，對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方后只需證明，再平方即可證明.【詳解】證明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要證，只需證，即證；即證，即證；即證，明顯成立；所以．19.已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣a+2．（1）若關(guān)于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若b＝2，a＞0，解關(guān)于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．【答案】（1）a＝﹣1，b＝2（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)一元二次不等式的解集性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的兩根，所以，解得a＝﹣1，b＝2；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)b＝2時(shí)，不等式ax2+bx﹣a+2＞0為ax2+2x﹣a+2＞0，即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，當(dāng)即時(shí)，解集為；當(dāng)即時(shí)，解集為或；當(dāng)即時(shí)，解集為或.20.（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.（2）已知二次函數(shù).函數(shù)在區(qū)間上的最小值記為，求的值域；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)換元法，令，可得函數(shù)，探討其值域即可求解；(2)分類探討二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，分別表示出函數(shù)的最小值，表示為分段函數(shù)形式，作出圖象即可求解.【詳解】(1)函數(shù)，設(shè)，則∵，∴那么函數(shù)轉(zhuǎn)化為其對(duì)稱軸，∴在時(shí)單調(diào)遞增，∴，即，故得的值域?yàn)?（2），二次函數(shù)對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上①若，即，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以最小值.②若，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小，最小值.③若，即，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以最小值.綜上，作出分段函數(shù)的圖像如下，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，綜上知的值域?yàn)?1.今年，我國(guó)某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，安排在2024年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬(wàn)，每生產(chǎn)x（千部）手機(jī)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.7萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.（1）求2024年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2024年產(chǎn)量為多少（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）2024年產(chǎn)量為100（千部）時(shí)，企業(yè)所或利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是8000萬(wàn)元【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件求得分段函數(shù)的解析式.（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求得的最大值以及此時(shí)的產(chǎn)量.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴；【小問(wèn)2詳解】若，，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元；若，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，萬(wàn)元.答：2024