空間向量與立體幾何知識總結(jié)

授課教師：全國章年級：高二上課時間：教材版本：人教版總課時：已上課時：課時學(xué)生簽名：課題名稱教學(xué)目標(biāo)重點、難點、考點教學(xué)步驟及內(nèi)容空間向量與立體幾何一、空間直角坐標(biāo)系的建立及點的坐標(biāo)表示為坐標(biāo)向量，則存在)A(x,y,zrrrr為坐標(biāo)向量，則存在)A(x,y,z空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量〃，設(shè)i,j,k(單位正交基底)123uurr唯一的有序?qū)崝?shù)組qa2,a3)，使a="尸2j+03k，有序?qū)崝?shù)組(<2,a3)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系O-町z中的坐標(biāo)，記作a=(a,a,a).在空間直角坐標(biāo)系O-^123uurr對空間任一點A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(羽y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo).TOC\o"1-5"\h\z二、空間向量的直角坐標(biāo)運算律 x\o"CurrentDocument"r r(1)若a=(a,a,a),b=(b,b,b),rri23 i23則a+b=(a+b,a+b,a+b),rri12 23 3ra一b=(a一b,a一b,a一b),九a=(九a,九a,九a)(九eR),rr1 1 2 2 3 3 1 2 3a//b=a=Xb,a=Xb,a=Xb(九eR),1 12 23 3uuu(2)若A(x,y,z),B(x,y,z)，則AB=(x一x,y一y,z一z).1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。'b='arrrr1 1(3)a//bob=Xaojb=Xa(入eR)2 2b=Xa33 3三、空間向量直角坐標(biāo)的數(shù)量積1、設(shè)a,b是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量IaIIbIcos<a,b>叫作向量a,b的數(shù)量積，IaIIbIcos<a,b> 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。2、模長公式r —r , IaI=<a?a=Jx2+x2+x2TOC\o"1-5"\h\z1 2 33、兩點間的距離公式：若A(x,y,z),B(x,y,z),111 222uuruur 則IAbI=ABB2=、J(x一x)2+(y一y)2+(z一z)2，. '21 21 2 1或d=.(x一x)2+(y一y)2+(z-z)2.A.B22 1 2 1 2 14、,rr4、,rr夾角：cos：a.brrrrrr注：①a±boa?b=0(a,b是兩個非零向量);5、6、r②Ia|2二空間向量數(shù)量積的性質(zhì):_rr.r.rr_r.rrr_.r.①a?e=IaIcos<a,e>.②a1boa?b=0.③IaI2=運算律①a-b=b-a； ②(>a)-b=X(b-a)； ③a-(b+c)=a-b+a-c四、直線的方向向量及平面的法向量1、直線的方向向量：我們把直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面a,記作n±a，如果n±a，那么向量n叫做平面a的法向量。注：①若l±a，則稱直線l為平面a的法線；②平面的法向量就是法線的方向向量。③給定平面的法向量及平面上一點的坐標(biāo)，可以確定一個平面。3、在空間求平面的法向量的方法：(1)直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。(2)待定系數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系①設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)②在平面內(nèi)找兩個不共線的向量a=(x,y,z)和b=(x,y,z)③建立方程組:rrrn-a=0<rrn-b=0④解方程組，取其中的一組解即可。五、證明1、2、1、2、證明兩直線平行已知兩直線a和b,A,Bea,C,Deb，則a//bo證明直線和平面平行(1)已知直線aaa,A,Bea,C,D,Eea且三點不共線，

uuiiuuur存在唯一的實數(shù)X使AB=XCDuur iur uur則a//ao存在有序?qū)崝?shù)對X,日使ab=XCD+RCE3、(2)已知直線aaa,A,Bea,和平面a的法向量n，則a/aoAB±n證明兩個平面平行3、4、已知兩個不重合平面a,P，法向量分別為m,n，則a/pom//n證明兩直線垂直4、已知直線a,b。A,Bea,C,Deb，則a±boAB?CD=05、6、證明直線和平面垂直已知直線a和平面證明兩個平面垂直uurira5、6、證明直線和平面垂直已知直線a和平面證明兩個平面垂直uurira，且A、Bea，面a的法向量為m，則a1aoAB//murr已知兩個平面a,P，兩個平面的法向量分別為m,n，則a1p六、計算角與距離1、求兩異面直線所成的角urrom±n已知兩異面直線a,b,A,Bea,C,Deb，則異面直線所成的角0為：cos°二uiuruuurAB?CD

uiuruuurAB?CD

UUTitUMT

ABCD【空間向量基本定理】例1.已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點，且PA，平面ABCD,M、N分別為PC、PD上的點，且M分PC成定比2,N分分析;結(jié)合圖形，從向量MN出發(fā)，利用向量運算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都用函\而、陋表示出來，PD成定比1,求滿足如=.他+了力：）+工研的實數(shù)乂、丫、分析;結(jié)合圖形，從向量MN出發(fā)，利用向量運算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都用函\而、陋表示出來，即可求出x、y、z的值。如圖所示，取PC的中點E,連接NE,則MN=EN-EM。點評：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式?？臻g向量基本定理恰好說明，用空間三個不共面的向量組3*可以表示出空間任意一個向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的?！纠每臻g向量證明平行、垂直問題】例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD，底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點，作EFLPB于點F。⑴證明：PA,： 方 方形ABCD—%跖CQi中，e、f分別是直Qi,%力的中點，求:（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

**點評：（1）兩條異面直線所成的角日可以借助這兩條直線的方向向量的夾角中求得，即1c0,5。（2）直線與平面所成的角R主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角中求得，即*1nsmc口,何或COSe=SifLCp（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角?！居每臻g向量求距離】例4.長方體ABCD一人聲凸口1中，ab=4,ad=6，.l=斗，M是A1cl的中點，P在線段BC上，＜|CP|=2,Q是DD］的中點，求：(1)(2)(3)異面直線AM與(1)(2)(3)M到直線PQ的距離；M到平面ABP的距離。Ai7^p1Ai7^p本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法。（1）一次方程平面的法向量的求法：設(shè)”=足^^），利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元聯(lián)立后取其一組解。（1）一次方程(2)角為0則sin(2)角為0則sin6=竺?n(3)”一i—R的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為線面角的求法：設(shè)n是平面的一個法向量，ab是平面的斜線l的一個方向向量，則直線上與平面&1所成AB,CDcos{nL,iij=叫叫,（叫，11j②設(shè)%，%分別是二面角d—1—B的兩個平面J?的法向量，則 就是二面角的平面角或其補角。（4）異面直線間距離的求法：1】1口是兩條異面直線，n是111口的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是1】1口上的任意兩點，則底.|ABn|（5）點面距離的求法：設(shè)n是平面B的法向量，AB是平面里的一條斜線，則點B到平面工的距離為（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離再用（5）中方法求解。練習(xí)：_ uuuriuur2uuruuruur.若等邊AABC的邊長為24，平面內(nèi)一點M滿足CM=yBB+-CA，則MA?MB= 6 3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A（1,0,2）,B（1,-3,1）,點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是。

.（本小題滿分12分）ABCD,如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A±平面ABCD,AABOMAD±1±PAC±ABCAABCACE,F,OPAPBACAC=16PA=PC=10GOCFG//BOE2AABOMFM±BOEMOAOB圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD1底面ABCD，點E在棱PB上.(I)求證：平面AEC1平面PDB；(II)當(dāng)PD=