2025年新高考數(shù)學一輪復習第8章第03講圓的方程(八大題型)(講義)(學生版+解析)

第03講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：圓的定義和圓的方程 4知識點2：點與圓的位置關(guān)系判斷 4題型一：求圓多種方程的形式 5題型二：直線系方程和圓系方程 6題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題 7題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 9題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷 10題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應用 11題型七：與圓有關(guān)的對稱問題 11題型八：圓過定點問題 1204真題練習·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯分析·答題模板 15易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件 15答題模板：求圓的方程 16

考點要求考題統(tǒng)計考情分析(1)圓的方程(2)點與圓的位置關(guān)系2024年北京卷第3題，5分2023年乙卷（文）第11題，5分2023年上海卷第7題，5分2022年甲卷（文）第14題，5分2022年乙卷（文）第15題，5分高考對圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握圓的標準方程與一般方程的求法，除了待定系數(shù)法外，要特別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓的方程．復習目標：（1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程．（2）能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．

知識點1：圓的定義和圓的方程1、平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．2、圓的四種方程（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．【診斷自測】已知點，，，則外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．知識點2：點與圓的位置關(guān)系判斷（1）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．（2）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．【診斷自測】（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型一：求圓多種方程的形式【典例1-1】已知直線與圓相切于點，圓心在直線上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2024·高三·北京·開學考試）圓心為，且與軸相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧】（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法．（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等．【變式1-1】過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【變式1-2】圓心在直線上，且經(jīng)過點，的圓的方程為．【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知直線與均與相切，點在上，則的方程為.【變式1-4】與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．題型二：直線系方程和圓系方程【典例2-1】過圓：和圓：的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．C． D．【典例2-2】圓經(jīng)過點，且經(jīng)過兩圓和圓的交點，則圓的方程為．【方法技巧】求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：簡記為：當時，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：簡記為：，不含當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系【變式2-1】經(jīng)過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為.【變式2-2】曲線與的四個交點所在圓的方程是．【變式2-3】過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題【典例3-1】已知定點B（3，0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是．【典例3-2】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為．【方法技巧】要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．【變式3-1】（2024·高三·青海西寧·期中）已知，，C為平面內(nèi)的一個動點，且滿足，則點C的軌跡方程為．【變式3-2】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動，設(shè)頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為.【變式3-3】已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為．【變式3-4】如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y＝2上運動，過點B作圓O的切線，切點為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為．【變式3-5】點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式3-6】已知動點與兩個定點，的距離之比為，則動點的軌跡方程為.【變式3-7】已知是圓內(nèi)的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．【變式3-8】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．【變式3-9】如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【變式3-10】已知點是圓上的定點，點是圓內(nèi)一點，、為圓上的動點．(1)求線段AP的中點的軌跡方程．(2)若，求線段中點的軌跡方程．題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件【典例4-1】若方程表示一個圓，則m可取的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例4-2】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【方法技巧】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑【變式4-1】若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【變式4-2】（2024·貴州·模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】已知方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷【典例5-1】（2024·高三·廣東·開學考試）“”是“點在圓內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【典例5-2】（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約．【變式5-1】（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·陜西西安·三模）若過點可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】點P在單位圓⊙O上（O為坐標原點），點，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【變式5-4】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應用【典例6-1】已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例6-2】若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】研究曲線的交點個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數(shù)式進行等價變形，以防出現(xiàn)錯誤．【變式6-1】（多選題）關(guān)于曲線：，下列說法正確的是（

）A．曲線圍成圖形的面積為B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形D．曲線是以為圓心，為半徑的圓【變式6-2】已知直線l：與曲線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍為.【變式6-3】直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-4】若兩條直線：，：與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型七：與圓有關(guān)的對稱問題【典例7-1】圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為.【典例7-2】已知圓關(guān)于直線l對稱的圓為圓，則直線l的方程為.【方法技巧】（1）圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱（2）圓關(guān)于點對稱：①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點（3）圓關(guān)于直線對稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線【變式7-1】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知點A，B在圓上，且A，B兩點關(guān)于直線對稱，則圓的半徑的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．3【變式7-3】已知直線，圓，若圓C上存在兩點關(guān)于直線l對稱，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．20【變式7-4】如果圓關(guān)于直線對稱，那么（

）A． B．C． D．【變式7-5】圓關(guān)于直線對稱后的圓的方程為（

）A． B．C． D．題型八：圓過定點問題【典例8-1】點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【典例8-2】圓恒過的定點是.【方法技巧】特殊值法【變式8-1】已知圓，點，平面內(nèi)一定點（異于點），對于圓上的任意動點，都有為定值，定點的坐標為．【變式8-2】（2024·高三·上海閔行·期中）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為．【變式8-3】對任意實數(shù)，圓恒過定點，則其坐標為.【變式8-4】設(shè)有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過原點．1．（2024年北京高考數(shù)學真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．3．（2020年山東省春季高考數(shù)學真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（

）A． B．C． D．4．（2022年高考全國甲卷數(shù)學真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為．5．（2022年高考全國乙卷數(shù)學真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．1．平面直角坐標系中有，，，四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？2．已知圓的一條直徑的端點分別是A（x1，y1），B（x2，y2）．求證：此圓的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．3．如圖，在四邊形ABCD中，，，且，，AB與CD間的距離為3．求等腰梯形ABCD的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．4．在半面直角坐標系中，如果點P的坐標滿足，其中為參數(shù)．證明：點P的軌跡是圓心為，半徑為r的圓．5．已知動點M與兩個定點，的距離的比為，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．6．長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件易錯分析：易忽視圓的一般方程：表示圓的條件而導致錯誤.【易錯題1】已知點為圓外一點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【易錯題2】已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答題模板：求圓的方程1、模板解決思路求圓的方程，首先確定圓的類型。若已知圓心坐標和半徑，直接代入標準方程；若已知圓上三點，通過構(gòu)造方程組求解圓心坐標和半徑；若已知直徑，則先求圓心，再計算半徑后代入方程。2、模板解決步驟第一步：根據(jù)題意，設(shè)出圓的方程或圓心、半徑.第二步：根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組，并求解。第三步：根據(jù)第二步所得結(jié)果，寫出圓的方程.【典型例題1】寫出與直線和軸都相切，半徑為的一個圓的方程：．【典型例題2】已知點，其中一點在圓內(nèi)，一點在圓上，一點在圓外，則圓的方程可能是．（答案不唯一，寫出一個正確答案即可）第03講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：圓的定義和圓的方程 4知識點2：點與圓的位置關(guān)系判斷 5題型一：求圓多種方程的形式 5題型二：直線系方程和圓系方程 8題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題 11題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 17題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷 19題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應用 21題型七：與圓有關(guān)的對稱問題 25題型八：圓過定點問題 2804真題練習·命題洞見 3105課本典例·高考素材 3406易錯分析·答題模板 36易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件 36答題模板：求圓的方程 37

考點要求考題統(tǒng)計考情分析(1)圓的方程(2)點與圓的位置關(guān)系2024年北京卷第3題，5分2023年乙卷（文）第11題，5分2023年上海卷第7題，5分2022年甲卷（文）第14題，5分2022年乙卷（文）第15題，5分高考對圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握圓的標準方程與一般方程的求法，除了待定系數(shù)法外，要特別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓的方程．復習目標：（1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程．（2）能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．

知識點1：圓的定義和圓的方程1、平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．2、圓的四種方程（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．【診斷自測】已知點，，，則外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得是直角三角形，且，所以圓的半徑為，圓心為，所以外接圓的方程為.故選：B.知識點2：點與圓的位置關(guān)系判斷（1）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．（2）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．【診斷自測】（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，故，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實數(shù)的范圍為.故選：C.題型一：求圓多種方程的形式【典例1-1】已知直線與圓相切于點，圓心在直線上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)（），圓的半徑為，，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為.故選：D.【典例1-2】（2024·高三·北京·開學考試）圓心為，且與軸相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，圓心坐標為，可知AB錯誤；設(shè)圓心半徑為，且圓心到軸的距離為，則由圓與軸相切可得，故圓的方程為：.故選：C.【方法技巧】（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法．（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等．【變式1-1】過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圓，得到圓心，由題意知O、A、B、P四點共圓，的外接圓即四邊形的外接圓，又，從而的中點坐標為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.故選：A【變式1-2】圓心在直線上，且經(jīng)過點，的圓的方程為．【答案】【解析】圓經(jīng)過點和，，AB中點為，所以線段AB的垂直平分線的方程是．聯(lián)立方程組，解得．所以，圓心坐標為，半徑，所以，此圓的標準方程是．故答案為：.【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知直線與均與相切，點在上，則的方程為.【答案】【解析】由于直線與平行，且均與相切，兩直線之間的距離為圓的直徑，即，又在上，所以為切點，故過且與垂直的直線方程為，聯(lián)立，所以與相切于點，故圓心為與的中點，即圓心為0，1，故圓的方程為，故答案為：【變式1-4】與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，過圓的圓心作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓(設(shè)其半徑為)即為所求圓.理由如下：另作一個圓，與圓相切，與直線切于點，設(shè)其半徑為，由圖知，即，即，即圓是符合要求的最小圓.由點到直線的距離為，則，設(shè)點，由可得，，即①，由點到直線的距離等于可得②，聯(lián)立①②可解得，或，由圖知僅符合題意，即得，故所求圓的方程為.故選：C.題型二：直線系方程和圓系方程【典例2-1】過圓：和圓：的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】經(jīng)過圓：和圓：交點的圓可設(shè)為，即，圓心在直線上，故，解得，所以圓的方程為.故選：A.【典例2-2】圓經(jīng)過點，且經(jīng)過兩圓和圓的交點，則圓的方程為．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為：，整理得到：，因為圓過，代入該點得到：即，故圓的方程為：即，故答案為：.【方法技巧】求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：簡記為：當時，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：簡記為：，不含當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系【變式2-1】經(jīng)過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為.【答案】【解析】設(shè)過已知直線和圓的交點的圓系方程為：∵所求圓過點∴解得所以圓的方程為，化簡得.故答案為：.【變式2-2】曲線與的四個交點所在圓的方程是．【答案】【解析】根據(jù)題意得到：，化簡得到答案.，，故，化簡整理得到：，即.故答案為：.【變式2-3】過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)所求圓的方程為，即，圓心坐標為，代入中，即，解得，將代入中，即，滿足，故所求圓的方程為，故選：A題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題【典例3-1】已知定點B（3，0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是．【答案】．【解析】設(shè)，則，設(shè)，由為的角平分線，可得，即有，可得，，即，，可得，，則，即為．故答案為：．【典例3-2】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為．【答案】【解析】因為，所以直線過點，直線過點，因為，所以，設(shè)，所以，所以，所以，化簡可得：.故答案為：.【方法技巧】要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．【變式3-1】（2024·高三·青海西寧·期中）已知，，C為平面內(nèi)的一個動點，且滿足，則點C的軌跡方程為．【答案】【解析】依題意，設(shè)，由，得，即，整得得，所以點的軌跡方程為.故答案為：【變式3-2】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動，設(shè)頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為.【答案】【解析】設(shè)，如圖，當三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動時，開始時，先繞旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到時，旋轉(zhuǎn)到，此時，然后再以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，此時，當三角形再旋轉(zhuǎn)時，不旋轉(zhuǎn)，此時旋轉(zhuǎn)到，當三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，點從開始到時是一個周期，故的周期為，如圖，為相鄰兩個零點，在上的圖像與軸圍成的圖形的面積為：.故答案為：.【變式3-3】已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為．【答案】【解析】圓，所以圓心為，半徑為2，設(shè)，由線段的中點為，可得，即有，即，所以點的軌跡方程為．故答案為：【變式3-4】如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y＝2上運動，過點B作圓O的切線，切點為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為．【答案】，【解析】設(shè)，，連結(jié)，，則，，是切線，，，，四邊形是菱形．，得，又，滿足，所以，即是所求軌跡方程．故答案為：，【變式3-5】點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點的坐標為，因為點是線段的中點，可得，點在圓上，則，即.故選：A.【變式3-6】已知動點與兩個定點，的距離之比為，則動點的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)點，則，整理得，所以動點的軌跡方程為.故答案為：.【變式3-7】已知是圓內(nèi)的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．【解析】連接AB，PQ，設(shè)AB與PQ交于點M，如圖所示．因為四邊形APBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點，連接OM.由垂徑定理可知設(shè)由此可得①又在中，有②由①②得故點M的軌跡是圓．因為點M是PQ的中點，設(shè)則代入點M的軌跡方程中得，整理得，即為所求點Q的軌跡方程．【變式3-8】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．【解析】分別以AB，AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系．如圖所示，則點、、、，設(shè)動點，，由知：，則．當時，直線AR：①，直線DQ：，則②，①×②得：，化簡得．當時，點P與原點重合，坐標也滿足上述方程．故點P的軌跡方程為．【變式3-9】如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【解析】設(shè)動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.【變式3-10】已知點是圓上的定點，點是圓內(nèi)一點，、為圓上的動點．(1)求線段AP的中點的軌跡方程．(2)若，求線段中點的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)中點為，由中點坐標公式可知，點坐標為∵點在圓上，∴．故線段中點的軌跡方程為．（2）設(shè)的中點為，在中，，設(shè)為坐標原點，則，所以，所以．故線段中點的軌跡方程為．題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件【典例4-1】若方程表示一個圓，則m可取的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由方程分別對進行配方得：，依題意它表示一個圓，須使，解得：或，在選項中只有D項滿足.故選：D.【典例4-2】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【答案】A【解析】關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是，即，且，.故選：D【方法技巧】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑【變式4-1】若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】若方程表示圓，則，解得：或.故選：C【變式4-2】（2024·貴州·模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，即，∴曲線是圓，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：A.【變式4-3】已知方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為方程表示圓，所以，解得.故選：D題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷【典例5-1】（2024·高三·廣東·開學考試）“”是“點在圓內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】點在圓內(nèi)，所以“”是“點在圓內(nèi)”的充分不必要條件.故選：A.【典例5-2】（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為可化為，則，所以．又點在圓的外部，所以，故，綜上，．故選：A.【方法技巧】在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約．【變式5-1】（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，解得，即點在圓的內(nèi)部，即有，解得.故選：D.【變式5-2】（2024·陜西西安·三模）若過點可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓，即圓，則，解得．過點有兩條切線，則點P在圓外，，即，解得．故．故選：C【變式5-3】點P在單位圓⊙O上（O為坐標原點），點，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)，因為，所以，則，即，因為點P在圓上，所以，令，得，，即，解得，所以的最大值為2，故選：C【變式5-4】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑為，由得，則兩直線與的交點為，依題意得，解得.故選：B題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應用【典例6-1】已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】曲線整理得，則該曲線表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線，即，則令，解得，則其過定點，如圖，當時，曲線與直線有兩個不同的交點，由，得或，所以，，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C．【典例6-2】若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線恒過定點，曲線表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點，）．當直線經(jīng)過點時，與曲線有兩個不同的交點，此時，直線記為；當與半圓相切時，由，得，切線記為．分析可知當時，與曲線有兩個不同的交點，故選：A．【方法技巧】研究曲線的交點個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數(shù)式進行等價變形，以防出現(xiàn)錯誤．【變式6-1】（多選題）關(guān)于曲線：，下列說法正確的是（

）A．曲線圍成圖形的面積為B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形D．曲線是以為圓心，為半徑的圓【答案】AC【解析】曲線：如圖所示：對于A：圖形在各個象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以為圓心，為半徑的圓的一半加一個直角三角形所得，，所以曲線圍成圖形的面積為，故A正確；對于B，由圖可知，曲線所表示的圖形對稱軸有軸，軸，直線，直線四條，故B錯誤；對于C，由圖可知，曲線所表示的圖形是關(guān)于原點對稱的中心對稱圖形，故C正確；對于D，曲線的圖形不是一個圓，故D錯誤.故選：AC【變式6-2】已知直線l：與曲線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍為.【答案】【解析】直線l：，得，可知直線l過定點，如圖，曲線表示以O(shè)為圓心，1為半徑的上半圓，當直線l與半圓相切時，，解得，曲線與x軸負半軸交于點，，因為直線l與曲線有兩個交點，所以.故答案為：.【變式6-3】直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個交點；此時，沒有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個交點.所以直線與曲線的交點個數(shù)為2個.故選：B【變式6-4】若兩條直線：，：與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由題意直線平行，且與圓的四個交點構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.題型七：與圓有關(guān)的對稱問題【典例7-1】圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為.【答案】【解析】圓的圓心為，則關(guān)于對稱的點設(shè)為：，故.與的中點為：，中點在直線上，所以.解得：，所以對稱圓的圓心為：.所以圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為：.故答案為：.【典例7-2】已知圓關(guān)于直線l對稱的圓為圓，則直線l的方程為.【答案】【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓與圓關(guān)于直線對稱，可得兩圓心和關(guān)于直線對稱，又由，可得，且的中點為，所以直線的方程為，即.故答案為：【方法技巧】（1）圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱（2）圓關(guān)于點對稱：①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點（3）圓關(guān)于直線對稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線【變式7-1】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即，故C正確．故選：C．【變式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知點A，B在圓上，且A，B兩點關(guān)于直線對稱，則圓的半徑的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．3【答案】A【解析】因為，化為標準方程為，設(shè)圓的半徑為，由題可知圓心在直線上，于是有，則，當時，取得最小值2，故的最小值為.故選：B【變式7-3】已知直線，圓，若圓C上存在兩點關(guān)于直線l對稱，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．20【答案】A【解析】圓的圓心坐標為，圓C上存在兩點關(guān)于直線l對稱，則直線l過圓心，即，有，，當時，有最小值20.故選：D【變式7-4】如果圓關(guān)于直線對稱，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為圓的圓心為，由圓的對稱性知，圓心在直線上，故有，即.故選：B.【變式7-5】圓關(guān)于直線對稱后的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的圓心半徑為，由得，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱點的坐標為，則，解得，所以對稱圓的方程為.故選：A.題型八：圓過定點問題【典例8-1】點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【解析】設(shè)點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標為、.故選：D.【典例8-2】圓恒過的定點是.【答案】【解析】圓方程化為，由解得故圓恒過點.故答案為：【方法技巧】特殊值法【變式8-1】已知圓，點，平面內(nèi)一定點（異于點），對于圓上的任意動點，都有為定值，定點的坐標為．【答案】【解析】設(shè)，且，，因為為定值，設(shè)，化簡得：，與點位置無關(guān)，所以，解得：或，因為異于點，所以定點N為.故答案為：.【變式8-2】（2024·高三·上海閔行·期中）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為．【答案】【解析】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標為.故答案為：.【變式8-3】對任意實數(shù)，圓恒過定點，則其坐標為.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.【變式8-4】設(shè)有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過原點．【答案】②④【解析】根據(jù)題意得：圓心坐標為，圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，選項②正確；考慮兩圓的位置關(guān)系：圓：圓心，半徑為，圓：圓心，即，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓的半徑之差，任取或時，（），含于之中，選項①錯誤；若取無窮大，則可以認為所有直線都與圓相交，選項③錯誤，將帶入圓的方程，則有，即（），因為左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在使上式成立，即所有圓不過原點，選項④正確．故答案為②④.1．（2024年北京高考數(shù)學真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，即，則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：D.2．（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．3．（2020年山東省春季高考數(shù)學真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.4．（2022年高考全國甲卷數(shù)學真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為．【答案】【解析】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1，-1).，的方程為.故答案為：5．（2022年高考全國乙卷數(shù)學真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．【答案】或或或．【解析】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設(shè)（1）若圓過三點，圓心在直線，設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過