2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第04講解三角形(九大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第04講解三角形目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：正弦定理的應(yīng)用 2題型二：余弦定理的應(yīng)用 2題型三：判斷三角形的形狀 2題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用 3題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用 3題型六：解三角形的實際應(yīng)用 4題型七：倍角關(guān)系 5題型八：三角形解的個數(shù) 6題型九：三角形中的面積與周長問題 702重難創(chuàng)新練 803真題實戰(zhàn)練 11題型一：正弦定理的應(yīng)用1．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則.2．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則.3．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則角.題型二：余弦定理的應(yīng)用4．在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若的面積為，則角=.5．在中，，則角=.6．在中，角的對邊分別為，若，則中角B的大小是（

）A． B． C． D．題型三：判斷三角形的形狀7．（2024·高三·廣東廣州·開學(xué)考試）在中，，則的形狀為三角形．8．在中，有，試判斷的形狀（從“直角三角形”，“銳角三角形”，“鈍角三角形”中選一個填入橫線中）.9．在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為.10．對于，有如下四個命題:

①若，則為等腰三角形，②若，則是直角三角形③若，則是鈍角三角形④若，則是等邊三角形.其中正確的命題序號是11．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且，則的形狀為A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用12．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則，.13．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．14．設(shè)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用15．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)已知銳角的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.16．（2024·湖南長沙·一模）已知函數(shù).（1）若，求的值.（2）在中，角的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍.17．在中，角的對邊分別為.已知向量，向量，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的值.題型六：解三角形的實際應(yīng)用18．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里19．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測量學(xué)著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B，測得，在點A處測得點C，D的仰角分別為，，在點B處測得點D的仰角為，則塔高CD為m．20．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂?shù)难鼋菫椋缓笱胤较蛐凶?2.5米至處，又測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．21．中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上.要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為（米/秒）22．（2024·上海金山·二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為m．(結(jié)果精確到1m)題型七：倍角關(guān)系23．（多選題）（2024·河北·三模）已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則24．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的最小值為.25．設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且為邊上的中點，且，則．26．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求證：；(2)若，求a邊的范圍；(3)求的取值范圍．題型八：三角形解的個數(shù)27．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，．（1）若，則；（2）當(dāng)（寫出一個可能的值）時，滿足條件的有兩個．28．（2024·上海閔行·模擬預(yù)測）已知中，，，的對邊分別為，，，若，，給出下列條件中：①，②，③，能使有兩解的為.（請寫出所有正確答案的序號）29．已知分別是內(nèi)角所對的邊，若，，且有唯一解，則的取值范圍為.30．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成了一個“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣和臨秀亭兩個標(biāo)志性景點，如圖．若為測量隔湖相望的、兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與、不共線的處，構(gòu)成，以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：①測量、、；②測量、、；③測量、、；④測量、、．其中一定能唯一確定、兩地之間的距離的所有方案的序號是．題型九：三角形中的面積與周長問題31．（2024·山東·模擬預(yù)測）內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為.32．（2024·安徽滁州·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)若的面積為，求的周長．33．（2024·北京西城·二模）已知函數(shù)．在中，，且．(1)求的大小；(2)若，且的面積為，求的周長．1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是邊一點，是的角平分線，則（

）A． B．1 C．2 D．4．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長為，則AC邊上的高為（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南衡陽·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，為AC的中點，，則（

）A．1 B． C． D．26．（2024·北京·三模）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的周長為（

）A．10 B．11 C． D．127．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，若，，則（

）A．1 B．2 C． D．48．（2024·浙江紹興·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則A等于（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測）在中，面積，則下列說法正確的是（

）A．B．若是銳角三角形，則C．若，則D．若角的平分線長為，則10．（多選題）（2024·廣東佛山·一模）在中，所對的邊為，設(shè)邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是（）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為11．（多選題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則一定是等腰三角形12．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別是，已知，三角形面積為12，則．13．（2024·新疆·三模）在中，，.則.14．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，已知，，，則．15．（2024·湖南長沙·三模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求的值；(2)若是邊上的一點，且平分，求的長.16．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線交于點D，，，求的長.17．（2024·天津南開·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，.(1)求證：；(2)求的值；(3)求的值.18．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，求的值和的面積；(2)在（1）的條件下，求的值；(3)若，求的值.19．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點在邊上，且，，，求的面積．1．（2024年上海高考數(shù)學(xué)真題）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則(精確到0.1度)2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．3．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．5．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．6．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．7．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．8．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.9．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．10．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．11．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．12．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．13．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：14．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．15．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．16．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．第04講解三角形目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：正弦定理的應(yīng)用 2題型二：余弦定理的應(yīng)用 3題型三：判斷三角形的形狀 4題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用 5題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用 6題型六：解三角形的實際應(yīng)用 8題型七：倍角關(guān)系 12題型八：三角形解的個數(shù) 16題型九：三角形中的面積與周長問題 1802重難創(chuàng)新練 2003真題實戰(zhàn)練 31題型一：正弦定理的應(yīng)用1．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則.【答案】或【解析】在中，，則由正弦定理得，，得，因為，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，故答案為：或2．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則.【答案】/【解析】在中，由，，得，則，由正弦定理理，所以.故答案為：3．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則角.【答案】【解析】由正弦定理角化邊可知，，整理為，即，由于，所以.故答案為：題型二：余弦定理的應(yīng)用4．在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若的面積為，則角=.【答案】【解析】由題，，故，．，，，．故答案為：5．在中，，則角=.【答案】【解析】因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，，.故答案為：6．在中，角的對邊分別為，若，則中角B的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由余弦定理得，又，所以.故選：D.題型三：判斷三角形的形狀7．（2024·高三·廣東廣州·開學(xué)考試）在中，，則的形狀為三角形．【答案】直角【解析】在中，由，得，即，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形.故答案為：直角8．在中，有，試判斷的形狀（從“直角三角形”，“銳角三角形”，“鈍角三角形”中選一個填入橫線中）.【答案】直角三角形【解析】由二倍角公式可知，，且注意到在中，有，因此可將已知轉(zhuǎn)換為，解得，因為是的一個內(nèi)角，所以，即是直角三角形.故答案為：直角三角形.9．在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為.【答案】直角三角形或等腰三角形【解析】用正弦定理對條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式化簡后進(jìn)行求解.10．對于，有如下四個命題:

①若，則為等腰三角形，②若，則是直角三角形③若，則是鈍角三角形④若，則是等邊三角形.其中正確的命題序號是【答案】③④【解析】對于①可推出或，故不正確；②若，顯然滿足條件，但不是直角三角形；③由正弦定理得，所以，是鈍角三角形；④由正弦定理知，由于半角都是銳角，所以，三角形是等邊三角形.故答案為：③④11．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且，則的形狀為A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形【答案】D【解析】由題即，由正弦定理及余弦定理得即故整理得，故故為頂角為的等腰三角形故選D題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用12．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則，.【答案】/【解析】由正弦定理，有，所以，由余弦定理，有，解得.故答案為：，.13．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，由余弦定理可得：，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，則．故選：B．14．設(shè)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由正弦定理有，根據(jù)余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故選：D.題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用15．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)已知銳角的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.【解析】（1），所以要使有意義，只需，即，所以，解得所以函數(shù)的定義域為，由于，所以，所以函數(shù)的值域為；（2）由于，所以，因為，所以，所以即，由銳角可得，所以，由正弦定理可得，因為，所以所以，所以的最大值為2.16．（2024·湖南長沙·一模）已知函數(shù).（1）若，求的值.（2）在中，角的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍.【解析】（1）由可得：..（2）由余弦定理得：，整理可得：，，，又，，，，則，，即的取值范圍為.17．在中，角的對邊分別為.已知向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【解析】（1）

，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：

為銳角

題型六：解三角形的實際應(yīng)用18．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【解析】依題意設(shè)炮彈第一次命中點為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），在中，所以，即炮臺與彈著點的距離為公里.故選：D19．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測量學(xué)著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B，測得，在點A處測得點C，D的仰角分別為，，在點B處測得點D的仰角為，則塔高CD為m．【答案】20【解析】在中，延長與的延長線交于點E，如圖所示.由題意可知，，因為小李同學(xué)根據(jù)課本書中有一道測量山上松樹高度的題目受此題啟發(fā)，所以三點在同一條直線上.所以，所以為等腰三角形，即.設(shè)，即，，在中，由余弦定理得,即，，所以，又因為，所以.故答案為：.20．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．【答案】【解析】中，，，，中，，，，因為米，所以，解得：故答案為：21．中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上.要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為（米/秒）【答案】/【解析】如圖所示，依題意知，，由正弦定理知（米），∴在中，（米），∵國歌長度約為46秒，∴升旗手升旗的速度應(yīng)為＝（米/秒）．故答案為：．22．（2024·上海金山·二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為m．(結(jié)果精確到1m)【答案】【解析】作交于E，由題意可得如圖：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故答案為：475.題型七：倍角關(guān)系23．（多選題）（2024·河北·三模）已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則【答案】BCD【解析】由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，則，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，又，所以，所以，所以，所以，故選項A錯誤；由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，故選項B正確；在中，，由正弦定理，，若為銳角三角形，又，則，故，所以，所以，則，所以，故選項C正確；在中，由正弦定理，又，，，得，則由余弦定理，，得，整理得，解得，或，當(dāng)時，有，又，所以，因為，則不成立，故選項D正確.故選：BCD.24．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的最小值為.【答案】/【解析】由余弦定理得，又，所以，即，所以，由正弦定理得，即，因為，所以，所以或（舍去），所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.25．設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且為邊上的中點，且，則．【答案】【解析】中，由，可得，則，則，整理得，即，又，則．中，是邊上的中點，且，則，則有，解之得則．故答案為：26．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求證：；(2)若，求a邊的范圍；(3)求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，由正弦定理可得，又因為，代入可得，即，因為，，則，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，則，則，又，故，因為，，則，故，所以或，即或（舍去），（2）因為為銳角三角形，，所以，由，解得，又故．（3）由（2）知．由，，令，則在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為．題型八：三角形解的個數(shù)27．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，．（1）若，則；（2）當(dāng)（寫出一個可能的值）時，滿足條件的有兩個．【答案】（答案不唯一）【解析】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因為,,所以當(dāng)時，方程有兩解，即，取即可滿足條件（答案不唯一）故答案為：；6.28．（2024·上海閔行·模擬預(yù)測）已知中，，，的對邊分別為，，，若，，給出下列條件中：①，②，③，能使有兩解的為.（請寫出所有正確答案的序號）【答案】②③【解析】選擇①，由余弦定理，得，解得，所以只有一解.故①錯誤；選擇②，因為，所以,由正弦定理，得，解得，所以,所以有兩解，故②正確；選擇③，由，得,解得，因為，所以或，所以有兩解，故③正確；故答案為：②③.29．已知分別是內(nèi)角所對的邊，若，，且有唯一解，則的取值范圍為.【答案】【解析】由正弦定理，可得，當(dāng)時，，此時唯一；當(dāng)時，有兩個值，不唯一；當(dāng)時，，即，，唯一，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：30．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成了一個“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣和臨秀亭兩個標(biāo)志性景點，如圖．若為測量隔湖相望的、兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與、不共線的處，構(gòu)成，以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：①測量、、；②測量、、；③測量、、；④測量、、．其中一定能唯一確定、兩地之間的距離的所有方案的序號是．【答案】②③【解析】對于①，由正弦定理可得，則，若且為銳角，則，此時有兩解，則也有兩解，此時也有兩解；對于②，若已知、，則確定，由正弦定理可知唯一確定；對于③，若已知、、，由余弦定理可得，則唯一確定；對于④，若已知、、，則不確定.故答案為：②③.題型九：三角形中的面積與周長問題31．（2024·山東·模擬預(yù)測）內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為.【答案】1【解析】因為，由正弦定理可得，且,所以，則.故答案為：132．（2024·安徽滁州·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)若的面積為，求的周長．【解析】（1）由可知，由正弦定理，得，即．所以，又，所以.（2）由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以的周長為．33．（2024·北京西城·二模）已知函數(shù)．在中，，且．(1)求的大小；(2)若，且的面積為，求的周長．【解析】（1）由函數(shù)，因為，可得，在中，因為，所以，又因為，所以，所以，解得，因為，所以.（2）由（1）知，因為的面積為，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周長為.1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，則的外接圓的面積．故選：A．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得，即，解得，所以三角形的面積為.故選：A3．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是邊一點，是的角平分線，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，其中，，所以，，故，又，所以，在中，由余弦定理得，故，在中，由正弦定理得，即，解得.故選：A4．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長為，則AC邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，則，由的面積為，得，解得，由，得，又，因此，令A(yù)C邊上的高為，則，所以.故選：B5．（2024·湖南衡陽·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，為AC的中點，，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由已知，在中，由正弦定理得，所以，又，故.故選：A.6．（2024·北京·三模）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的周長為（

）A．10 B．11 C． D．12【答案】C【解析】在四棱錐中，連接交于，連，則為的中點，如圖，正方形中，，，在與中，，則≌，于是，由余弦定理得，所以的周長為.故選：C7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，若，，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【解析】，由正弦定理得，又，所以，即，得，即，又，所以，而，由余弦定理得.故選：A8．（2024·浙江紹興·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則A等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，即，如圖，過B點作于D，可知，，所以，所以，又，所以.故選：D.9．（多選題）（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測）在中，面積，則下列說法正確的是（

）A．B．若是銳角三角形，則C．若，則D．若角的平分線長為，則【答案】ABC【解析】對于A，由，得，則，而，解得，A正確；對于B，銳角中，，，，則，B正確；對于C，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，C正確；對于D，由三角形面積公式得，則，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D錯誤.故選：ABC10．（多選題）（2024·廣東佛山·一模）在中，所對的邊為，設(shè)邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是（）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為【答案】ABC【解析】選項A，若，由余弦定理，得，所以，則三角形面積，A正確；選項B，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，由余弦定理可得，則，B正確；選項C，因為邊上的中點為，所以，而，即，則，所以，故C正確；選項D，因為，即，所以由余弦定理得，又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，D錯誤.故選：ABC.11．（多選題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，所以如圖有兩解，所以A正確，對于B，因為，，所以由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大值為，所以B錯誤，對于C，因為，，，所以由余弦定理得，因為，所以，所以由正弦定理得，得，所以C正確，對于D，因為，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以D錯誤，故選：AC12．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別是，已知，三角形面積為12，則．【答案】6或8【解析】在中，因為三角形面積為12，所以，解得，所以．當(dāng)時，由余弦定理得，解得；當(dāng)時，由余弦定理得，解得，綜上，或．故答案為：6或8.13．（2024·新疆·三模）在中，，.則.【答案】【解析】由正弦定理，，所以由可得，所以，所以，所以.故答案為：14．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，已知，，，則．【答案】/.【解析】由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以.故答案為：.15．（2024·湖南長沙·三模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求的值；(2)若是邊上的一點，且平分，求的長.【解析】（1）由題意得，所以.由正弦定理，得，即.又，所以，又，所以.因為，所以.（2）由，得，解得.由，得，即，所以.16．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線交于點D，，，求的長.【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）在中，由等面積法得，即，即所以.17．（2024·天津南開·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，.(1)求證：；(2)求的值；(3)求的值.【解析】（1）因為，又由余弦定理，可得，由知，所以，（2）由（1）及正弦定理得，又因為，所以，又因為，解得．（3）由（2）知，所以，，因為，即，則，或，當(dāng)時，．當(dāng)，B為，此時．18．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，求的值和的面積；(2)在（1）的條件下，求的值；(3)若，求的值.【解析】（1）在中，由余弦定理得，即，化簡得，解得或(舍)，，，的面積.（2），，.（3）在中，由正弦定理得，，化簡得，由余弦定理得，，解得（負(fù)值舍去），所以.19．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點在邊上，且，，，求的面積．【解析】（1），由正弦定理可得，，，，，；（2）設(shè)，，，或4，當(dāng)時，，，此時三角形為正三角形，當(dāng)時，，，滿足，此時三角形為直角三角形，．1．（2024年上海高考數(shù)學(xué)真題）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則(精確到0.1度)【答案】【解析】設(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因為，得，利用計算器即可得，故答案為：.2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．【答案】/【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.3．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【解析】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】（1）由題意得，因為為鈍角，則，則，則，解得，因為為鈍角，則.（2）選擇①，則，因為，則為銳角，則，此時，不合題意，舍棄；選擇②，因為為三角形內(nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因為為三角形內(nèi)角，則，則，則5．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設(shè)，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求