2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1章第03講等式與不等式的性質(zhì)(五大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用 2題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式 2題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍 2題型四：不等式的綜合問題 3題型五：糖水不等式 302重難創(chuàng)新練 403真題實戰(zhàn)練 6題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．（2024·上海楊浦·二模）已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（多選題）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（多選題）下列不等式中，推理正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（多選題）已知，下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式5．設(shè)，，則、的大小關(guān)系是.6．若，，則與的大小關(guān)系為.（用“”連接）7．若，則、、、中最小的是.8．，則的大小關(guān)系為．題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍9．（多選題）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．a(chǎn)b的取值范圍為 D．的取值范圍為10．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．（多選題）已知實數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B． C． D．題型四：不等式的綜合問題13．（2024·河北石家莊·二模）若實數(shù)，且，則的取值范圍是.14．（2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為．15．（多選題）已知a，b＞0且2a＋b＝1，則的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10題型五：糖水不等式16．糖水不等式：成立的實數(shù)是有條件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是（只需填滿足題意的一個值即可）．17．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請將這一事實表示為一個不等式，并加以證明；(2)已知，小明同學(xué)判斷添加克糖前后的兩杯糖水中的含糖濃度值之差的絕對值肯定小于，判斷是否正確，并說明理由.（）18．（多選題）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少許的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，則（

）A．若，則 B．若，則C． D．當(dāng)時，．19．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為不等式正確的是（

）A． B．C． D．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若滿足，則（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）命題“”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，，，則下列選項中是“”的一個充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．6．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B．C． D．9．（多選題）（2024·廣西·二模）已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．10．（多選題）（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為1211．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，則12．（多選題）（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．當(dāng)最小時，13．若，，，則的取值范圍為14．購買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價格的升降，甲策略是每次購買這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，則種購物策略比較經(jīng)濟(jì).15．（2024·湖北·三模）若實數(shù)x，y，z，t滿足則的最小值為.16．表示三個數(shù)中的最大值，對任意的正實數(shù)，，則的最小值是．1．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷精編版））若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（山東卷））已知實數(shù)滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是A．B．C．D．3．（2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷精編版））若，，則A． B． C． D．4．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（浙江卷））有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是A． B． C． D．5．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（四川卷））若則一定有A． B． C． D．6．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷精編版））能夠說明“設(shè)是任意實數(shù),若,則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為.7．（2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學(xué)）已知且，則的取值范圍是（答案用區(qū)間表示）8．（2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題）設(shè)實數(shù)滿足，則的最大值是_________第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用 2題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式 3題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍 4題型四：不等式的綜合問題 5題型五：糖水不等式 702重難創(chuàng)新練 903真題實戰(zhàn)練 16題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．（2024·上海楊浦·二模）已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于ABD，取，滿足，顯然，，，ABD錯誤；對于C，，則，C正確.故選：C2．（多選題）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，取，滿足，取，有，A錯誤；對于B，由，得，而，因此，B正確；對于C，取，，C錯誤；對于D，由，得，因此，D正確.故選：BD3．（多選題）下列不等式中，推理正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【解析】對于A中，例如，此時，所以A錯誤；對于B中，若，可得，則，所以B錯誤；對于C中，由，可得，可得，即，所以C正確；對于D中，，由不等式的性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：CD.4．（多選題）已知，下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】時，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，移項得，故A選項正確；由基本不等式，時，，因為，等號不成立，所以，故B選項正確；若，，則，故C選項正確；若，則，不一定成立，如，，滿足且，不成立，故D選項錯誤.故選：ABC．題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式5．設(shè)，，則、的大小關(guān)系是.【答案】/【解析】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.故答案為：6．若，，則與的大小關(guān)系為.（用“”連接）【答案】【解析】，因為，，則，，所以.故答案為：.7．若，則、、、中最小的是.【答案】【解析】因為，所以，，因為，，所以，即故答案為：8．，則的大小關(guān)系為．【答案】≥【解析】因為，則由所以故答案為：題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍9．（多選題）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．a(chǎn)b的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】AC【解析】因為，，所以，，，所以，的取值范圍為，的取值范圍為，故A選項正確，B選項錯誤；因為，，所以，，，，所以，ab的取值范圍為，的取值范圍為故C選項正確，D選項錯誤.故選：AC10．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，則，又，所以.故選：C11．已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，得，即，，所以，即，故選：D12．（多選題）已知實數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題意，實數(shù)，滿足，，令，即，可得，解得，所以，則，，所以.故選：BC.題型四：不等式的綜合問題13．（2024·河北石家莊·二模）若實數(shù)，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為，故，由得，解得，故.故答案為：14．（2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為．【答案】2【解析】若，則，此時，因為，所以和中至少有一個小于等于2，所以，又當(dāng)，時，，所以的最大值為2．若，則，此時，因為，所以和中至少有一個小于2，所以．綜上，的最大值為2．故答案為：2.15．（多選題）已知a，b＞0且2a＋b＝1，則的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABD【解析】由題可知：所以所以原式原式，由a，b＞0，所以又故故選：ABD題型五：糖水不等式16．糖水不等式：成立的實數(shù)是有條件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是（只需填滿足題意的一個值即可）．【答案】0（答案不唯一）【解析】因為，所以，所以，所以或.使糖水不等式不成立的的值可以是0.故答案為：0(答案不唯一)17．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請將這一事實表示為一個不等式，并加以證明；(2)已知，小明同學(xué)判斷添加克糖前后的兩杯糖水中的含糖濃度值之差的絕對值肯定小于，判斷是否正確，并說明理由.（）【解析】（1）不等式：已知，，則.證明：，因為，則，所以，即.（2）答：小明同學(xué)判斷正確，理由如下：兩杯糖水的含糖濃度值之差的絕對值，不妨設(shè)（），記（），化簡得，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值小于，綜上：添加克糖前后的兩杯糖水的含糖濃度值之差的絕對值肯定小于.18．（多選題）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少許的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，則（

）A．若，則 B．若，則C． D．當(dāng)時，．【答案】ABC【解析】由，則，若，若，則，故；若，則，故；由題設(shè)，結(jié)合不等式性質(zhì)顯然有；故選：ABC19．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，加入克糖（）后糖水變甜了，即糖水的濃度增加了，加糖之前，糖水的濃度為：；加糖之后，糖水的濃度為：；所以.故選：A.1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，所以，所以錯誤；令，此時與無意義，所以錯誤；因為，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以正確；令，則，所以錯誤.故選：.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得，所以，即，A，B錯誤.當(dāng)時，，C錯誤.因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，D正確.故選：D.3．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于AC，當(dāng)時，，所以，故A正確，C錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于D，，因為，所以，故D錯誤.故選：A.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）命題“”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C故選：C.5．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，，，則下列選項中是“”的一個充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．6．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知為正數(shù)，且，所以，化簡得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故A正確.故選：A.7．若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B故選：B8．已知，則（

）A． B．C． D．9．（多選題）（2024·廣西·二模）已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．所以不成立，故，即，D正確.故選：AD10．（多選題）（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為1211．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，則所以，得，C錯誤．對于D，由，得．由，得．因為，所以，所以，D正確．故選：ABD．12．（多選題）（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．當(dāng)最小時，即，可得.故答案為：.14．購買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價格的升降，甲策略是每次購買這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，則種購物策略比較經(jīng)濟(jì).15．（2024·湖北·三模）若實數(shù)x，y，z，t滿足則的最小值為.16．表示三個數(shù)中的最大值，對任意的正實數(shù)，，則的最小值是．1．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷精編版））若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，且，所以設(shè)，則，所以