2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章重難點(diǎn)突破01圓中的范圍與最值問題(八大題型)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)突破01圓中的范圍與最值問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：斜率型 2題型二：直線型 3題型三：距離型 3題型四：周長(zhǎng)面積型 4題型五：數(shù)量積型 4題型六：坐標(biāo)與角度型 5題型七：長(zhǎng)度和差型 6題型八：方程中的參數(shù)型 703過關(guān)測(cè)試 8

1、涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題.2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題題型一：斜率型【典例1-1】已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】如果實(shí)數(shù)，滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-1】若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·山東日照·二模）若實(shí)數(shù)滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】已知為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型二：直線型【典例2-1】（2024·江西吉安·寧岡中學(xué)校考一模）已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【典例2-2】已知點(diǎn)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，若圓經(jīng)過點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．【變式2-1】點(diǎn)在圓上，則的范圍是．【變式2-2】已知，滿足，則的范圍是．【變式2-3】如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是；的最大值是．題型三：距離型【典例3-1】已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為，最小值為，的范圍為．【典例3-2】直線過定點(diǎn)Q，若為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．4 D．2【變式3-1】（2024·浙江·三模）已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．32【變式3-2】（2024·山東濟(jì)南·三模）圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．9【變式3-3】已知，且，則的最大值為（

）A．9 B．12 C．36 D．48【變式3-4】（2024·四川樂山·三模）已知圓，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．題型四：周長(zhǎng)面積型【典例4-1】（2024·高三·河南·開學(xué)考試）若直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，k＝（

）A． B． C．1 D．－1【典例4-2】在直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則面積的范圍為【變式4-1】若圓C的方程為，則圓C的最小周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式4-2】已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且，點(diǎn)在圓上，則的面積的最大值為（

）A．8 B．5 C．2 D．1題型五：數(shù)量積型【典例5-1】已知是半徑為5的圓上的兩條動(dòng)弦，，則最大值是（

）

A．7 B．12 C．14 D．16【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【變式5-1】已知圓的弦的中點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C．8 D．【變式5-2】在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12題型六：坐標(biāo)與角度型【典例6-1】已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運(yùn)動(dòng).若C上存在點(diǎn)Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是.【典例6-2】已知，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式6-1】動(dòng)圓M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【變式6-2】（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知直線：與圓：，過直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式6-3】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是圓上一點(diǎn)，，則的正切值的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【變式6-4】已知圓D：與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓C：，點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型七：長(zhǎng)度和差型【典例7-1】已知復(fù)數(shù)，，，，，，若，且，則的最大值為．【典例7-2】（2024·黑龍江佳木斯·三模）已知圓上兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A．8 B． C． D．12【變式7-1】設(shè)A為直線上一點(diǎn)，P，Q分別在圓與圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式7-2】在定圓內(nèi)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則的范圍是（

）A． B．C． D．【變式7-3】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型八：方程中的參數(shù)型【典例8-1】（2024·山東泰安·二模）已知在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，則的最大值為；若，則的最大值為.【典例8-2】如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【變式8-1】已知，，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【變式8-2】已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式8-3】已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，過分別作的切線，兩切線交于點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．1．（多選題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的范圍是2．（多選題）已知圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．直線的斜率范圍為D．以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為3．（多選題）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下面正確的有（

）A．圓的半徑為3B．既沒有最大值，也沒有最小值C．的范圍是D．的最大值為724．（多選題）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)C滿足，記的軌跡為.過的直線與交于兩點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則(

)A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．的面積的最大值為C．當(dāng)時(shí)， D．直線的斜率的范圍為5．（多選題）若實(shí)數(shù)、滿足條件，則下列判斷正確的是（

）A．的范圍是 B．的范圍是C．的最大值為1 D．的范圍是6．（多選題）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓M上點(diǎn)到直線的最小距離為B．圓M上點(diǎn)到直線的最大距離為C．圓M上到直線BC的距離為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)D．圓與圓M有公共點(diǎn)，則a的范圍是7．（多選題）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．存在點(diǎn)使D．過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為8．（多選題）（2024·高三·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為5B．的最大值為C．直線與圓相切時(shí)，D．圓心到直線的距離最大為49．（多選題）（2024·江西宜春·三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A，B之間的距離為a（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到A，B的距離之比為常數(shù)（，且），則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)M滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，MO始終平分10．（多選題）已知點(diǎn)在圓C：上，點(diǎn)，，則（

）A．直線與圓相切B．點(diǎn)到直線的距離小于7C．當(dāng)最大時(shí)，D．的最小值小于15°11．（多選題）（2024·高三·浙江寧波·期末）已知為直線上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為2，則（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 B．C．的最小值為 D．的最大角為12．（多選題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，又設(shè)直線分別交軸于，兩點(diǎn)，則（

）A．的最小值為 B．直線必過定點(diǎn)C．滿足的點(diǎn)有兩個(gè) D．的最小值為13．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則線段的長(zhǎng)度的范圍是．14．已知與相交于點(diǎn)線段是圓的一條動(dòng)弦，且則的范圍為15．（2024·高三·上海閔行·開學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為3，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的范圍為.16．（2024·江西宜春·一模）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值的范圍是.17．已知若圓上存在點(diǎn)P，使得，則m的范圍．18．（2024·上?！ひ荒＃┮阎c(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則的范圍是．19．已知，，若圓（）上恰有兩點(diǎn)，，使得和的面積均為，則的范圍是．20．（2024·高三·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.21．已知圓，動(dòng)點(diǎn)在圓上，則面積的最大值為．22．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則的最小值為.23．已知滿足，則函數(shù)的最小值為．重難點(diǎn)突破01圓中的范圍與最值問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：斜率型 2題型二：直線型 5題型三：距離型 7題型四：周長(zhǎng)面積型 10題型五：數(shù)量積型 12題型六：坐標(biāo)與角度型 15題型七：長(zhǎng)度和差型 19題型八：方程中的參數(shù)型 2303過關(guān)測(cè)試 27

1、涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題.2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題題型一：斜率型【典例1-1】已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程化為，表示的圖形是一個(gè)以為圓心，為半徑的半圓，令，即，如圖所示，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得或（負(fù)值不滿足條件，舍去），所以的最大值為，故選：C.【典例1-2】如果實(shí)數(shù)，滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，為直線的斜率.如果實(shí)數(shù)，滿足和，即直線同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn).其中圓心，半徑從圖中可知，斜率取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；同理，的最小值為－1.則的范圍是.故選：B.【變式1-1】若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，可得，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以，，解得，即的取值范圍是.故選：B.【變式1-2】（2024·山東日照·二模）若實(shí)數(shù)滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的幾何意義即圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，由圖知，斜率的范圍處在圓的兩條切線斜率之間，其中AC斜率不存在，設(shè)AB的斜率為k，則AB的方程為，由切線性質(zhì)有，，解得，故的取值范圍為，故選：D【變式1-3】已知為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由于為圓上任意一點(diǎn)，故可看作圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最大，由于相切時(shí)，故，此時(shí)斜率,故的最大值為，故選：C題型二：直線型【典例2-1】（2024·江西吉安·寧岡中學(xué)?？家荒＃┮阎c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【解析】由，令，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：A【典例2-2】已知點(diǎn)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，若圓經(jīng)過點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A：經(jīng)過點(diǎn)，．又，所以，可看成是直線在軸上的截距.如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱截距取得最大值或最小值，此時(shí)，解得，所以的最大值為，最小值為，故的最大值與最小值之和為.故選：C．【變式2-1】點(diǎn)在圓上，則的范圍是．【答案】【解析】設(shè)，，即，所以，因?yàn)?，所?故答案為：【變式2-2】已知，滿足，則的范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，表示以為圓心，為半徑的圓，即點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，令，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)取得最值，所以，即，解得，所以故答案為：【變式2-3】如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是；的最大值是．【答案】//【解析】由，得的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方．因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，則的最大值是．令，則是直線在軸上的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線在軸上的截距，一個(gè)是最大值，一個(gè)是最小值，此時(shí)，圓心到直線的距離，解得，所以的最大值為．故答案為：；.題型三：距離型【典例3-1】已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為，最小值為，的范圍為．【答案】644【解析】由圓C的圓心為，半徑為3，且P在圓上，則表示在圓上點(diǎn)到距離的平方，而圓心到的距離為，所以在圓上點(diǎn)到距離的最大值為8，最小值為2，故的最大值為64，最小值為4；又表示在圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)距離為，所以的范圍為.故答案為：64，4，【典例3-2】直線過定點(diǎn)Q，若為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】由，得，所以直線過定點(diǎn)，由，知圓心坐標(biāo)，半徑為2，所以到圓心的距離為，則在圓內(nèi)，則的最大值為，故選：B【變式3-1】（2024·浙江·三模）已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．32【答案】B【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：C.【變式3-2】（2024·山東濟(jì)南·三模）圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：C.【變式3-3】已知，且，則的最大值為（

）A．9 B．12 C．36 D．48【答案】B【解析】設(shè)與為圓上一點(diǎn)，則，得，，即為等腰直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，則，得，即點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，故，因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)D的距離的最大值為，因此的最大值為36.故選：C【變式3-4】（2024·四川樂山·三模）已知圓，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由題意作出圖形如圖所示設(shè)，，由∽,可得，所以，即，即，所以，所以，所以點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線中，化簡(jiǎn)可得（不同時(shí)為），所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的最大值為故選：B.題型四：周長(zhǎng)面積型【典例4-1】（2024·高三·河南·開學(xué)考試）若直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，k＝（

）A． B． C．1 D．－1【答案】B【解析】直線的方程可化為所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)樗渣c(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，最小，周長(zhǎng)最小，又，所以，此時(shí)．故選：C．【典例4-2】在直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則面積的范圍為【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則由已知得，所以，即故點(diǎn)的軌跡方程為，即，其圓心，半徑為．直線AC的方程為，即圓心到直線AC的距離則點(diǎn)到邊AC的距離的最小值為，最大值為又則面積的最小值為，最大值為，所以面積的范圍為．故答案為：．【變式4-1】若圓C的方程為，則圓C的最小周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閳AC的方程為，所以圓C的半徑為，所以圓C的最小周長(zhǎng)為.故選：D.【變式4-2】已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且，點(diǎn)在圓上，則的面積的最大值為（

）A．8 B．5 C．2 D．1【答案】D【解析】設(shè)圓心到直線的距離為到直線的距離為，又圓心坐標(biāo)為，則，又半徑為，則當(dāng)最大時(shí)，，此時(shí)面積也最大，．故選：A．題型五：數(shù)量積型【典例5-1】已知是半徑為5的圓上的兩條動(dòng)弦，，則最大值是（

）

A．7 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】如圖，連接，作，，易知是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，由勾股定理得，，故，故，當(dāng)反向時(shí)等號(hào)成立，故C正確.故選：C【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，所以．因?yàn)?，，所以點(diǎn)A在以BC為弦的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）．設(shè)所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，則MD⊥BC，，可得，，．以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得，圓M的方程為，設(shè)，則，結(jié)合，可得，因?yàn)锳點(diǎn)在圓M：上運(yùn)動(dòng)，所以，可得當(dāng)時(shí)，，達(dá)到最大值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：D．【變式5-1】已知圓的弦的中點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C．8 D．【答案】D【解析】圓，圓心，半徑為3，如圖，

為弦的中點(diǎn)，，共線時(shí)等號(hào)成立，.故選:D.【變式5-2】在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所?，，，得到，所以，又因?yàn)?，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)（在的延長(zhǎng)線上）三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以，故選：B.題型六：坐標(biāo)與角度型【典例6-1】已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運(yùn)動(dòng).若C上存在點(diǎn)Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是.【答案】【解析】如圖圓，在直線上，若圓存在點(diǎn)，使得，當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)，極端情況，與圓相切，.在中，，所以.所以以為圓心，為半徑的圓與直線交于，兩點(diǎn).符合條件的點(diǎn)在線段之間.所以或.故的取值范圍為.故答案為：【典例6-2】已知，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)在圓上，,則，如圖，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最小值，所以，此時(shí)點(diǎn).故選：C【變式6-1】動(dòng)圓M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為1，動(dòng)圓M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得,即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為故選：C【變式6-2】（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知直線：與圓：，過直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，因?yàn)?，且，?dāng)最小時(shí)，則最大，可得最大，即最大，又因?yàn)榈淖钚≈导礊閳A心到直線的距離為，此時(shí)，所以取得最大值．故選：C．【變式6-3】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是圓上一點(diǎn)，，則的正切值的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】設(shè)過三點(diǎn)的圓的圓心為，且，由于，故最大，則最大，只需要圓與圓相切于點(diǎn)時(shí)，最大，則有或（舍去），，所以,易知此時(shí)四點(diǎn)共線，此時(shí)進(jìn)而，故，故選：A.【變式6-4】已知圓D：與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓C：，點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓D：的圓心，半徑為，圓C：的圓心，半徑為，因?yàn)閳A與圓相外切，所以，所以，且圓與軸交于，不妨記，因?yàn)閳A關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上，由對(duì)稱性不妨令，當(dāng)時(shí)，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，則，解得，故，綜上所述，的最大值為.故選：B.題型七：長(zhǎng)度和差型【典例7-1】已知復(fù)數(shù)，，，，，，若，且，則的最大值為．【答案】【解析】由，得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

，，，記與夾角為，，所以,，到直線的距離，到直線的距離，即求的最大值．設(shè)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)，且，則D到直線的距離，，即求的最大值，設(shè)D到直線距離為，即求最大值．由，，可知，點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，取得最大值，取得最大值，故答案為：.【典例7-2】（2024·黑龍江佳木斯·三模）已知圓上兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A．8 B． C． D．12【答案】D【解析】由圓上兩點(diǎn)Ax1,y得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，由，得，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為半徑，為原點(diǎn)的圓，，表示兩點(diǎn)到直線的距離之和的倍，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故兩點(diǎn)到直線的距離之和等于點(diǎn)到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的最大值是.故選：D.【變式7-1】設(shè)A為直線上一點(diǎn)，P，Q分別在圓與圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，即，由對(duì)稱性可知，對(duì)于圓，圓心，半徑，，當(dāng)且僅當(dāng)A，C，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，由于，，則.故選A．【變式7-2】在定圓內(nèi)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，當(dāng)，，，交換位置可得，故，，又，顯然能取到，故，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，，故，故選：D【變式7-3】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓C：的圓心為，半徑為2，直線l的方程可化為，于是l過定點(diǎn)，且，顯然，即，又，因此，設(shè)，，顯然，則，其中，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，符合條件，所以的最大值為．故選：D題型八：方程中的參數(shù)型【典例8-1】（2024·山東泰安·二模）已知在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，則的最大值為；若，則的最大值為.【答案】3【解析】如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線為,軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，故的最大值為，，，，，，，，，故的最大值為3，故答案為：，3【典例8-2】如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)中點(diǎn)為，易得，則中點(diǎn)，，故以為直徑的圓的方程為，過作軸平行線交軸于，交半圓于，則，設(shè)，則，又，故，則，其中，顯然當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.【變式8-1】已知，，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又直線的方程為：，，圓心到直線的距離，所以到直線的距離最大值為則面積的最大值為.故選：.【變式8-2】已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)，則，令，則，即，則，其中為輔助角，，則，整理得，故的最大值為，故選：A【變式8-3】已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，過分別作的切線，兩切線交于點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】如下圖所示，連接、，則、，所以四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則、、、四點(diǎn)在以為直徑的圓上.設(shè)，則該圓的圓心為，半徑為，則該圓的方程為，又該圓和圓的交點(diǎn)弦即為，故直線所在的方程為，整理得，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，故，即點(diǎn)的軌跡為，又因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，因?yàn)椋栽趫A上運(yùn)動(dòng)，故的最小值為到直線的距離減去半徑，即，即的最小值為.故答案為：1．（多選題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的范圍是【答案】DBD【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足方程，所以，得圓心為，半徑為1，對(duì)于AB，設(shè)，則兩直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，，所以的最大值為，的最大值為，所以AB正確，對(duì)于C，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，所以，所以的最大值為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，表示出圓上的點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，即，所以D正確，故選：ABD2．（多選題）已知圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．直線的斜率范圍為D．以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為【答案】DC【解析】圓的圓心，半徑，又，所以，即點(diǎn)在圓外，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；設(shè)直線，根據(jù)題意可得點(diǎn)到直線的距離，解得，故C正確；設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以以為直徑圓的方程，顯然圓與圓相交，所以公共弦方程為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．3．（多選題）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下面正確的有（

）A．圓的半徑為3B．既沒有最大值，也沒有最小值C．的范圍是D．的最大值為72【答案】AC【解析】圓轉(zhuǎn)化為，則圓的圓心為，半徑為2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.設(shè)，則直線與圓有交點(diǎn)，即，整理得，解得或.既沒有最大值，也沒有最小值，選項(xiàng)B正確.設(shè)，，則，其中.則的取值范圍為，選項(xiàng)C正確.又，則，因此其中.則的最大值為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.4．（多選題）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)C滿足，記的軌跡為.過的直線與交于兩點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則(

)A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．的面積的最大值為C．當(dāng)時(shí)， D．直線的斜率的范圍為【答案】DC【解析】設(shè)，由得，，整理得的方程為，其軌跡是以為圓心，半徑的圓．由圖可知，由于，所以當(dāng)垂直時(shí)，即時(shí)，的面積的最大值，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，又軌跡的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，則為等腰直角三角形，，選項(xiàng)C正確；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，此時(shí)，所以，所以切線的傾斜角為和，由圖可知，可得直線的斜率的取值范圍為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC5．（多選題）若實(shí)數(shù)、滿足條件，則下列判斷正確的是（

）A．的范圍是 B．的范圍是C．的最大值為1 D．的范圍是【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、B、C利用基本不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可，對(duì)于選項(xiàng)D，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷求解對(duì)于A，，故，化簡(jiǎn)得，，所以，，A錯(cuò)對(duì)于B，，又因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿足條件，故，所以，，B對(duì)對(duì)于C，由于，所以，，故，化簡(jiǎn)得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，C錯(cuò)對(duì)于D，即求該斜率的取值范圍，明顯地，當(dāng)過定點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，直線與圓相切，當(dāng)過定點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，令，則可看作圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的連線的斜率，可設(shè)過定點(diǎn)的直線為：，該直線與圓相切，圓心到直線的距離設(shè)為，可求得，化簡(jiǎn)得，故，故D對(duì)故選：BD6．（多選題）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓M上點(diǎn)到直線的最小距離為B．圓M上點(diǎn)到直線的最大距離為C．圓M上到直線BC的距離為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)D．圓與圓M有公共點(diǎn)，則a的范圍是【答案】DD【解析】由題意，可得如下示意圖：∵為等腰三角形且AB＝AC，知：外心、重心在的中垂線上，由“歐拉線”定義即為“歐拉線”且B、C中點(diǎn)在直線上，而，∴直線：，而圓M與直線知，∴圓M：，且直線：圓心M到直線的距離，圓上點(diǎn)與直線距離范圍為，故A正確，B錯(cuò)誤；圓心M到直線BC的距離，故C錯(cuò)誤；圓與圓M有公共點(diǎn)，即，所以，故D正確.故選：AD7．（多選題）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．存在點(diǎn)使D．過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為【答案】DD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，解得，得的最大值為，故A正確；對(duì)于B，令，則點(diǎn)到直線的距離，解得，得的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)存在點(diǎn)使，設(shè)Px,y，則，化簡(jiǎn)得，因此滿足的點(diǎn)在圓上，此圓圓心為，半徑為，而，因此與圓外離，所以不存在點(diǎn)使，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑為，則過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為，故D正確.故選：AD.8．（多選題）（2024·高三·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為5B．的最大值為C．直線與圓相切時(shí)，D．圓心到直線的距離最大為4【答案】AC【解析】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，Px0所以的最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確.直線，即，過定點(diǎn)，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項(xiàng)正確.圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC9．（多選題）（2024·江西宜春·三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A，B之間的距離為a（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到A，B的距離之比為常數(shù)（，且），則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)M滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，MO始終平分【答案】DBD【解析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)，由，得，化為，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心、4為半徑的圓，所以面積的最大值為，故A正確；對(duì)于B，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)取等號(hào)，故的最大值為72，故B正確；對(duì)于C，顯然點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)，，當(dāng)B，M，Q三點(diǎn)共線且點(diǎn)M在線段BQ之間時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，|OB|=2，有，當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線分線段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分線，故D正確．故選：ABD．10．（多選題）已知點(diǎn)在圓C：上，點(diǎn)，，則（

）A．直線與圓相切B．點(diǎn)到直線的距離小于7C．當(dāng)最大時(shí)，D．的最小值小于15°【答案】ACD【解析】對(duì)于A：圓：的圓心，半徑，直線的方程為，即，圓心到直線的距離，可知直線與圓相離，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)閳A心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為，B正確；對(duì)于C：當(dāng)直線與圓相切（圖中位置）時(shí)，最大，此時(shí)，C正確；對(duì)于D：直線與圓相切（圖中位置）時(shí)，最小，由，又得，又，可得，又，因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，D正確.故選：BCD.11．（多選題）（2024·高三·浙江寧波·期末）已知為直線上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為2，則（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 B．C．的最小值為 D．的最大角為【答案】DCD【解析】設(shè)，依題意有，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，A選項(xiàng)正確；方程表示圓心為B4,0半徑為2的圓，圓心B4,0到直線的距離，所以MN的最小值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為點(diǎn)到直線的距離，C選項(xiàng)正確；的最大時(shí)，與圓相切，此時(shí)，，，D選項(xiàng)正確；故選：ACD12．（多選題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，又設(shè)直線分別交軸于，兩點(diǎn)，則（

）A．的最小值為 B．直線必過定點(diǎn)C．滿足的點(diǎn)有兩個(gè) D．的最小值為【答案】ACD【解析】圓的圓心為，半徑，則到直線的距離，則，故A錯(cuò)誤；設(shè)，以為直徑的圓，又圓，兩圓的方程相減得，即，由，解得，因此直線過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于直線，令，則，即，令，則，所以，則的中點(diǎn)為，，則以為直徑的圓的方程為，又，則，所以以為直徑的圓與圓相交，所以滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，故C正確；因?yàn)?，，設(shè)，Mx,y，則，則，即又，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，故D正確.故選：BCD13．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則線段的長(zhǎng)度的范圍是．【答案】【解析】由題意知，，則圓心，半徑，如圖，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線