浙江省嘉興市2024-2025學年高三數(shù)學上學期9月基礎測試試題含解析

Page23浙江省嘉興市2024-2025學年高三數(shù)學上學期9月基礎測試試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出集合A，依據(jù)交集的定義計算即可.【詳解】由，有，解得，∴集合，，則.故選：C2.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的模的性質(zhì)：兩個復數(shù)商的模等于它們的模的商，計算求值即可.【詳解】，.故選：B3.在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且，，記，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平面對量基本定理結(jié)合向量的加減法法則求解即可.【詳解】因為，，所以，因為在平行四邊形ABCD中，，，所以，故選：A4.從圓內(nèi)接正八邊形的個頂點中任取個頂點構成三角形，則所得的三角形是直角三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直角三角形的個數(shù)，利用組合計數(shù)原理以及古典概型的概率公式可求得所求事務的概率.【詳解】從圓內(nèi)接正八邊形的個頂點中任取兩點連成線段，其中有條為圓的直徑，若從這個頂點中任取個頂點構成三角形，所得的三角形是直角三角形，則其中直角三角形的斜邊為圓的直徑，然后從剩余的個頂點（除去直角三角形斜邊的頂點）中任取一個點，與斜邊的頂點可構成直角三角形，故所求事務的概率為.故選：D.5.已知直線及圓，過直線l上隨意一點P作圓C的一條切線PA，A為切點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，由切線長公式可得，據(jù)此可得當取得最小值時，取得最小值，又由最小值即點C到直線l的距離，計算可得答案.【詳解】依據(jù)題意，圓的圓心C(-1，-2)，半徑r=2，過直線上隨意一點P向圓引切線PA，切點為A則，當取得最小值時，取得最小值，又由的最小值即點C到直線l的距離，取得最小值為.故選：A6.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題首先依據(jù)誘導公式和二倍角的正弦公式，化簡得出，再依據(jù)平移的左正右負的原則得到的解析式，最終得到的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的圖像關于點對稱，，，，，，，將函數(shù)向左平移單位的解析式是，令,，結(jié)合所給的選項，令，則的一個增區(qū)間為，故選：B.7.已知實數(shù)a滿意，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)得，對AB，構造，依據(jù)零點存在性定理推斷即可；對CD，構造函數(shù)函數(shù)，求導分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合所給不等式推斷即可.【詳解】由得，對于選項A與B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則存在，使得，即，又且，所以，均有可能，即與a大小不確定．故A與B都不正確．對于選項C與D，令函數(shù)得，令得，所以在上單調(diào)遞減所以當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，即，故D正確．故選：D8.為慶祝國慶，立德中學將實行全校師生游園活動，其中有一嬉戲項目是夾彈珠．如圖，四個半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個半球面形態(tài)的容器中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的容積是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)四個小球和容器的相切關系，作出對應的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關系即可得到容器的半徑.【詳解】分別作出四個小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示:正視圖中小球球心B，半球球心O與切點A構成直角三角形，則有，俯視圖中，四個小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離與正視圖中的相等，設半球半徑為R，已知小球半徑r=1，∴，，，.半球面形態(tài)的容器的容積是.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，為其導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)符號之間的關系可推斷ACD選項；分析的符號可推斷B選項.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，對隨意的，，A對；的符號不能確定，B錯；，則，可得，C對D錯.故選：AC.10.如圖，在正四面體中，、分別為、的中點，則（）A.直線與所成的角為B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與平面所成的角的正弦值為【答案】ABC【解析】【分析】將正四面體放在正方體中，設正方體的棱長為，建立空間直角坐標系，利用空間向量法可推斷各選項的正誤.【詳解】將正四面體放在正方體中，設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、.對于A選項，，，，即，A對；對于B選項，，，所以，直線與所成的角為，B對；對于C選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，故直線與平面所成的角的正弦值為，C對；對于D選項，設平面的法向量為，則，取，可得，，故直線與平面所成的角的正弦值為，D錯.故選：ABC.11.如圖，拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，過點，分別作準線的垂線，垂足分別為，，準線與軸的交點為，則（）A.直線與拋物線必相切 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】設點的坐標，及過點的直線方程；選項A，聯(lián)列方程，整理成的一元二次方程，用判別式判定是否恒為零即可；選項B，由知，選項B正確；選項C，計算得，，兩式不恒等，故C不正確；選項D，先計算，從而得，由等面積法知選項D正確.【詳解】由已知，，設過點的直線方程為：，設點，，則，，由得，所以，選項A：直線的方程為，聯(lián)立方程組得：，所以，不恒為零，故選項A不正確；選項B：由題得，而所以，所以，所以，故B正確；選項C：，所以；，所以，，，，所以所以選項C不正確；選項D：，，，在中，，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若的圖象關于點對稱，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對A選項從函數(shù)關于點對稱得到；對B選項，通過賦值，得到的其中一個周期為4，對C選項進行求和得到值與值相關；對D由前面知道其一個周期為4，通過計算得到其每四個數(shù)值和為0，最終得到2024組數(shù)據(jù)和也為0.【詳解】因為的圖象關于點對稱，所以，的定義域均為，故，由，得，所以，故A錯誤；令得，，因為，所以與聯(lián)立得，，則，所以，即的其中一個周期為4，因為，所以．即，所以的其中一個周期也為4，由，得，與聯(lián)立，得，即．所以B正確；由，得，但與的值不確定，又，，所以故C錯誤；由，得，所以，又，，兩式相加得，，所以，故D正確，故選：BD．【點睛】抽象函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性綜合的問題難度較大，不易推導求解，平常要多去推導練習.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】分、兩種狀況解不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，由，解得或，此時或；當時，由，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.的綻開式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】首先分析出存在有兩項，然后分別求出這兩項系數(shù)，相加即可.【詳解】依據(jù)題意,的項在的綻開式中有兩項，分別為：和，即和，則的系數(shù)為：.故答案為：.15.樹人中學進行籃球定點投籃測試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進得3分，未投進得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進一次得2分，未投進得0分，測試者累計得分高于3分即通過測試．甲同學為了通過測試，進行了五輪投籃訓練，每輪在A處和B處各投10次，依據(jù)統(tǒng)計該同學各輪三分球和兩分球的投進次數(shù)如下圖表：若以五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率，則該同學通過測試的概率是___________．【答案】##【解析】【分析】分別求出甲同學兩分球投籃命中的概率和甲同學三分球投籃命中的概率，設甲同學累計得分為，則，由此能求出甲同學通過測試的概率．【詳解】解：依題意甲同學兩分球投籃命中的概率為：，甲同學三分球投籃命中的概率為：，設甲同學累計得分為，則，甲同學通過測試的概率為．故答案為：16.已知點，點在曲線上運動，點在曲線上運動，則的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】作出圖形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長為，所以，雙曲線的左、右焦點分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當且僅當為射線與圓的交點，且時，等號成立，故的最小值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，依據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出數(shù)列的通項公式；（2）推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，.【小問2詳解】解：，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為，因.18.如圖，在四棱臺中，底面是正方形，若，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）將四棱臺補形成四棱錐，取CD中點E，連接PE，BE，依據(jù)已知易證、，再由線面垂直、面面垂直的判定即可證結(jié)論；（2）應用幾何法找到二面角的一個平面角，進而求其余弦值即可.【小問1詳解】將四棱臺補形成四棱錐，取CD中點E，連接PE，BE，由題意知，且，，，分別是棱PA，PB，PC，PD的中點，所以，又，，，所以，故，又，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，又平面，所以平面平面ABCD．【小問2詳解】由底面是正方形，則，由（1）知：面面ABCD，面面ABCD，而面ABCD，所以面，過D作于G，連接AG，則面，故面面，面面，面，所以面，又面，則，因此∠AGD為二面角的一個平面角，在直角△ADG中，，，則，所以，即二面角的平面角的余弦值為．19.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點D為AB的中點，點E滿意，且．（1）求A；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角性質(zhì)及正弦定理邊角關系可得，進而求角的大?。唬?）在△ABC、△ADE中應用余弦定理可得、，求出b、c，再由三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由得：，即，由正弦定理得，在△ABC中，，故，則，因為，所以．【小問2詳解】在△ABC中，由余弦定理，得，在△ADE中，由余弦定理得，所以，化簡得，即，所以，代入得：，，則△ABC的面積．20.某市確定利用兩年時間完成全國文明城市創(chuàng)建的打算工作，其中“禮讓行人”是交警部門主扲的重點工作之一．“禮讓行人”即當機動車行經(jīng)人行橫道時應當減速慢行，遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行．如表是該市某一主干路口電子監(jiān)控設備抓拍的今年1-6月份機動車駕駛員不“禮讓行人”行為的人數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)．月份123456不“禮讓行人”333640394553（1）請利用所給的數(shù)據(jù)求不“禮讓行人”人數(shù)與月份之間的閱歷回來方程，并預料該路口今年11月份不“禮讓行人”的機動車駕駛員人數(shù)（精確到整數(shù)）；（2）交警部門為調(diào)查機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年的關系，從這6個月內(nèi)通過該路口的機動車駕駛員中隨機抽查了100人，如表所示：不“禮讓行人”禮讓行人駕齡不超過3年1842駕齡3年以上436依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年有關?并說明理由．附：參考公式：，，其中．獨立性檢驗臨界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），68人（2）認為“禮讓行人”與駕齡滿3年有關，且推斷犯錯誤的概率不超過0.05，理由見解析【解析】【分析】（1）利用表中的數(shù)據(jù)和公式干脆求解即可，（2）先完成列聯(lián)表，然后利用公式求解，再依據(jù)臨界值分析推斷.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：，，所以，即，所以，所求得閱歷回來方程為．當時，，所以預料該路口11月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù)為68人．【小問2詳解】零假設為：“禮讓行人”與駕齡滿3年無關，由題意知列聯(lián)表為不禮讓行人禮讓行人合計駕齡不超過3年184260駕齡3年以上43640合計2278100由表中數(shù)據(jù)可得依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推新不成立，即認為“禮讓行人”與駕齡滿3年有關，且推斷犯錯誤的概率不超過0.05，21.已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點，且的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）當時，斜率為的直線交橢圓于，兩點（，兩點在直線的異側(cè)），若四邊形的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）設，，聯(lián)立直線與橢圓方程，得出韋達定理，再依據(jù)弦長公式求解，結(jié)合函數(shù)的最大值可得，進而求得橢圓方程即可；（2）設直線方程為，，，記點，到直線的距離分別為，，表達出，，依據(jù)求解即可.【小問1詳解】設，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，消去y得，又，是這個方程的兩個實根，所以，由弦長公式得，所以當時，取到最大值，即，解得．所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】設直線方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得，所以，且，記點，到直線的距離分別為，，又，且，所以，所以，因，所以，整理得，