湖北省部分省級示范高中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

湖北省部分省級示范中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列事務(wù)：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中既不是確定事務(wù)又不是不行能事務(wù)的是（）A.①④ B.①②③ C.②③④ D.②④【答案】A【解析】【分析】利用隨機事務(wù)的定義逐一分析給定的各個事務(wù)即可推斷作答.【詳解】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不行確定，即①是隨機事務(wù)；因三角形三條高線肯定交于一點，則②是必定事務(wù)；因?qū)崝?shù)a，b都不為0，則，于是得③是不行能事務(wù)；某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預(yù)料，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事務(wù)，所以在給定的4個事務(wù)中，①④是隨機事務(wù).故選：A2.若圓過坐標(biāo)原點，則實數(shù)m的值為（）A.0或3 B.-1或-2 C.3 D.0【答案】C【解析】【分析】把坐標(biāo)代入圓方程求解．留意檢驗，方程表示圓．【詳解】將代入圓方程，得，解得或0，當(dāng)時，，滿意題意；當(dāng)時，，不滿意題意.所以.故選：C．3.從某班級中隨意選出三名學(xué)生，設(shè)“三名學(xué)生都是女生”，“三名學(xué)生都不是女生”，“三名學(xué)生不都是女生”，則下列結(jié)論不正確的是（）A.與為互斥事務(wù) B.與互為對立事務(wù)C.與存在包含關(guān)系 D.與不是對立事務(wù)【答案】B【解析】【分析】列舉出事務(wù)所包含的基本狀況，可推斷各選項的正誤.【詳解】事務(wù)的可能狀況有：一女二男、二女一男、三男，事務(wù)為“三男”，故與為互斥事務(wù)，A對；與為互斥事務(wù)，但不互為對立事務(wù)，B錯；與存在包含關(guān)系，C對D對.故選：B.4.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求出，可證，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式計算即可求解.【詳解】因為直三棱柱中，，，，在中，由余弦定理可得：，，，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為0故選：B.5.經(jīng)數(shù)學(xué)家證明：“在平面上畫有一組間距為a的平行線，將一根長度為的針隨意擲在這個平面上，此針與平行線中任一條相交的概率為（其中為圓周率）”.某試驗者用一根長度為2cm的針，在畫有一組間距為3cm平行線所在的平面上投擲了n次，其中有180次出現(xiàn)該針與平行線相交，并據(jù)此估算出的近似值為，則（）A300 B.450 C.600 D.750【答案】B【解析】【分析】依據(jù)幾何概型的面積類型求解.【詳解】由題意得：，所以，解得，故選：B6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，點A關(guān)于平面對稱的點為B，點A關(guān)于x軸對稱的點為C，則的面積為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】利用空間中的對稱求出坐標(biāo)，再依據(jù)兩點之間的距離求出長度，利用勾股定理證得三角形為直角三角形，進而求得面積.【詳解】由題意可得，點關(guān)于平面對稱點為，點關(guān)于x軸對稱的點為，，，即為直角三角形，所以的面積為故選：B7.已知圓，圓，點M、N分別是圓、圓上的動點，點P為x軸上的動點，則的最大值是（）A. B.9 C.7 D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，可得出，求出的最大值，即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為．，又，，．點關(guān)于軸的對稱點為，，所以，，故選：B．8.在棱長為1的正四面體中，點滿意，點滿意，當(dāng)線段、的長度均最短時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意得到平面，直線，從而求得最短時，得到為的中心，為的中點，求得的長，結(jié)合向量的運算公式，即可求得的值.【詳解】解：如圖所示，因為，，可得平面，直線，當(dāng)最短時，平面，且，所以為的中心，為的中點，如圖所示，又由正四面體的棱長為1，所以，，所以，因為平面，所以，所以中，，所以故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.小明與小華兩人玩嬉戲，則下列嬉戲公允的有（）A.同時拋擲兩枚骰子，向上的點數(shù)和為奇數(shù)，小明獲勝，向上的點數(shù)和為偶數(shù)，小華獲勝B.同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面對上，小明獲勝，兩枚都正面對上，小華獲勝C.從一副不含大小王的52張撲克牌中抽取一張，抽到紅心，小明獲勝，抽到方片，小華獲勝D.小明、小華兩人各寫一個數(shù)字0或1，假如兩人寫的數(shù)字相同，小明獲勝，否則小華獲勝【答案】ACD【解析】【分析】分別計算各選項中小明、小華獲勝的概率，若二人獲勝的概率相等，則公允，否則不公允，由此得到選項．【詳解】對于A，同時拋擲兩枚骰子，一共36種狀況，向上的點數(shù)和為奇數(shù)的概率為，向上的點數(shù)和為偶數(shù)的概率為，所以嬉戲公允對于B，同時拋擲兩枚硬幣，一共4種狀況：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；恰有一枚正面對上的概率為，兩枚都正面對上的概率為，所以嬉戲不公允；對于C，從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅心的概率為，撲克牌是方片的概率為，所以嬉戲公允；對于D，小明?小華兩人各寫一個數(shù)字0或1，一共四種狀況：（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）；兩人寫的數(shù)字相同的概率為，兩人寫的數(shù)字不同的概率為，所以嬉戲公允．故選：ACD．10.下列說法不正確的是（）A.經(jīng)過，兩點的直線的方向向量為，則B.“或-1”是“直線與直線相互平行”的充要條件C.直線的傾斜角的取值范圍是D.過，兩點的直線方程為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)直線的方向向量定義推斷A,依據(jù)直線平行公式推斷B,依據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系推斷出C,依據(jù)兩點式的限制條件推斷D即可得出結(jié)果.【詳解】對于A,由已知可得,則可看作經(jīng)過兩點的直線的方向向量，則，A正確；對于B，若與相互平行，則有：，解得或-1（舍），B錯誤；對于C，，時斜率不存在，此時直線傾斜角為，時，，則，時，.即傾斜角取值范圍,綜上傾斜角,C錯誤.對于D，必需在且的條件下才成立，無此條件，則D錯誤.故選：BCD.11.正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，則（）A.直線與直線垂直B.直線與平面平行C.直線與平面所成角的余弦值為D.點C和點G到平面的距離相等【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量逐項分析推斷作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令棱長，則，，則，即，直線與直線垂直，A正確；，令平面的法向量，則，令，得，而，，平面，而平面，則平面，B正確；，，所以直線與平面所成角的正弦值為，C不正確；，則點C和點G到平面的距離分別為：，，D不正確.故選：AB12.已知曲線的方程為，圓，則（）A.表示一條直線B.當(dāng)時，與圓有3個公共點C.當(dāng)時，存在圓，使得圓與圓相切，且圓與有2個公共點D.當(dāng)與圓的公共點最多時，的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】對于A，由，得，則表示兩條直線；對于B，C，利用點到直線的距離公式進行推斷；對于D，舉反例推斷即可【詳解】解：對于A選項，由，得，即，則表示兩條直線，其方程分別為與，所以A錯誤；對于B選項，因為到直線的距離，所以當(dāng)時，直線與圓相切，易知直線與圓相交，與圓有3個公共點，所以B正確；對于C選項，當(dāng)時，存在圓，使得圓內(nèi)切于圓，且圓與直線相交，與直線相離，圓與有2個公共點，所以C正確；對于D選項，當(dāng)時，圓與直線、交于一點，所以公共點的個數(shù)為3，與與圓的公共點最多為4個沖突，所以D錯誤，故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知兩條平行直線與間的距離為1，則_____________.【答案】或##或【解析】【分析】干脆利用兩平行線之間的距離公式列方程，解方程即可求解.【詳解】因為兩條平行直線與間的距離為，所以，即，解得或，故答案為：或.14.從長度為2，4，5，7，9的五條線段中任取三條（抽取不分先后），設(shè)事務(wù)A=“取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形”，則事務(wù)A包含的樣本點個數(shù)為_______________個.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)題意將事務(wù)A的基本領(lǐng)件一一列出即可得解.【詳解】長度為2，4，5，7，9的五條線段中任取三條，則取出的三條線段可以構(gòu)成一個三角形的基本領(lǐng)件空間是：（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9），所以事務(wù)A包含的樣本點個數(shù)為4個.故答案為：415.甲、乙兩位同學(xué)參與100米達標(biāo)訓(xùn)練，下面分別是這兩位同學(xué)5次訓(xùn)練的成果（單位：秒）甲：11.6；12.2；13.2；13.9；12.6乙：12.1；11.3；12.0；12.9；12.7從甲、乙5次訓(xùn)練成果中各抽取一次，則抽取的成果中僅有一次比12.8秒強的概率為_____________.【答案】【解析】【分析】先計算出甲乙成果比12.8秒強的概率，再利用對立事務(wù)的概率公式即可求解.【詳解】甲的5次訓(xùn)練成果中比12.8秒強的有2次，概率為；乙的5次訓(xùn)練成果中比12.8秒強的有1次，概率為抽取的成果中僅有一次比12.8秒強的的概率故答案為：16.已知正四面體的棱長為3，底面所在平面上一動點P滿意，則點P運動軌跡的長度為_______________；直線與直線所成的角的取值范圍為______________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用正四面體的性質(zhì)求得，可知點P在以為圓心，為半徑的圓上運動，可求得其運動軌跡長，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與直線所成的角的余弦值的范圍，進而求得角的范圍.【詳解】設(shè)底面正的中心為，連接為正四面體，底面，又正四面體的棱長為3，在直角中，即點P運動軌跡為以為圓心，為半徑的圓上運動，因此運動軌跡長度為；以為原點，為x軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，且設(shè)直線與直線所成角為，則，則又，，又，，即直線與直線所成的角的取值范圍為故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點.（1）求過點P且與原點的距離為1的直線的方程；（2）是否存在過點P且與原點的距離為4的直線？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，方程符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，由點到直線距離公式能求出直線方程；（2）由原點到過點的直線的最大距離可得答案．【小問1詳解】①當(dāng)直線的斜率不存在時，方程符合題意．

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線方程為：，即．

依據(jù)題意，得，解得．

則直線方程為．

故符合題意的直線方程為或．【小問2詳解】不存在．理由：由于原點到過點的直線的最大距離為，

而，故不存在這樣的直線．18.已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，.（1）試用、、表示；（2）求的長度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)依據(jù)給定條件結(jié)合空間向量的線性運算計算作答.(2)用、、表示出，借助空間向量數(shù)量積運算計算作答.【小問1詳解】平行六面體中，，，，因，于是得：，所以.【小問2詳解】平行六面體中，，，，因，且底面是正方形，，，則有，，同理，，因此，，所以的長度是.19.已知有五個大小相同的小球，其中3個紅色，2個黑色.現(xiàn)將這五個小球隨機編號為1，2，3，4，5，紅色小球的編號之和為A，黑色小球的編號之和為B.（1）求時的概率；（2）記，求時的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解；（2）由已知條件可得，全部可能取值為1，3，5，7，9，求出對應(yīng)的概率，再依據(jù)概率和為1列式即可求解．【小問1詳解】從1，2，3，4，5這5個編號中，隨機選3個安排給紅色小球，有共10種選法，其中紅色小球的編號為8的有1，2，5或1，3，4，共2種狀況則；【小問2詳解】必定一奇一偶，故為奇數(shù)即全部可能的取值為，當(dāng)時，或或則.20.如圖，在四棱錐中，，，，平面，點F在線段上運動.（1）若平面，請確定點F的位置并說明理由；（2）若點F滿意，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）F為BD的中點，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由為的中點，取的中點，連接易證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）依據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設(shè)二面角為，由求解.【小問1詳解】為的中點.如圖：取的中點，連接∵，分別為，的中點，∴且∵且∴平行且等于∴四邊形為平行四邊形，則∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC小問2詳解】由題意知，平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為三角形為等腰三角形，易求，則，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，解得設(shè)平面的一個法向量為，則，即，解得設(shè)二面角為，則，因為二面角為銳角，所以余弦值為.21.如圖所示，用4個電子元件組成一個電路系統(tǒng)，有兩種連接方案可供選擇，當(dāng)且僅當(dāng)從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的牢靠性.這4個電子元件中，每個元件正常工作的概率均為，且能否正常工作相互獨立，當(dāng)某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路.（1）求方案①中從A到C的電路為通路的概率.（用p表示）；（2）分別求出按方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)正常工作的概率、（用p表示）；比較與的大小，并說明哪種連接方案更穩(wěn)定牢靠.【答案】（1）；（2），；，按方案①的連接方案更穩(wěn)定牢靠.【解析】【分析】(1)依據(jù)給定條件利用對立事務(wù)和相互獨立事務(wù)的概率公式列式計算作答.(2)利用對立事務(wù)和相互獨立事務(wù)的概率公式列式計算出、，再作差比較大小作