湖南省長沙2024-2025高二數(shù)學下學期期中試題

湖南省長沙2024—2024高二其次學期期中考試數(shù)學試題時量：120分鐘滿分：150分得分：___________一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．設(shè)集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若函數(shù)的值域為，則函數(shù)的大致圖象是（）A．B．C．D．4．一家商店運用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最終將兩次稱得的黃金交給顧客．你認為顧客購得的黃金附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有，其中分別為左右盤中物體質(zhì)量，分別為左右橫梁臂長．（）A．等于10gB．小于10gC．大于10gD．不確定5．天文學中常用“星等”來衡量天空中星體的光明程度，一個望遠鏡能看到的最暗的天體星等稱為這個望遠鏡的“極限星等”．在肯定條件下，望遠鏡的極限星等M與其口徑D（即物鏡的直徑，單位：）近似滿意關(guān)系式，例如：50mm口徑的望遠鏡的極限星等約為10.3．則200mm口徑的望遠鏡的極限星等約為（）A．12.8B．13.3C．13.8D．14.36．2024年3月，某校A，B，C，D，E，F(xiàn)六名同學參與了中學生地球科學奧林匹克競賽，均在競賽中取得優(yōu)異成果，現(xiàn)這6名同學和他們的主教練共7人站成一排合影留念，則主教練和A站在兩端，B、C相鄰，B、D不相鄰的排法種數(shù)為（）A．36B．48C．56D．727．已知，則（）A．B．C．D．8．記設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍的是（）A．B．C．D．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9．若，則下列不等式正確的是（）A．B．C．D．10．某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個n位二進制數(shù)，其中，若在A的各數(shù)位上出現(xiàn)0和1的概率均為且相互獨立，記，則當程序運行一次時（）A．B．C．X的數(shù)學期望D．X的方差11．紅黃藍被稱為三原色，選取隨意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色．已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍色調(diào)配出綠色．現(xiàn)有紅黃藍彩色顏料各兩瓶，甲從六瓶中任取兩瓶顏料，乙再從余下四瓶中任取兩瓶顏料，兩人分別進行等量調(diào)配，A表示事務(wù)“甲調(diào)配出紅色”；B表示事務(wù)“甲調(diào)配出綠色”；C表示事務(wù)“乙調(diào)配出紫色”，則下列說法正確的是（）A．事務(wù)A與事務(wù)C是獨立事務(wù)B．事務(wù)A與事務(wù)B是互斥事務(wù)C．D．12．對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若滿意：且，都有，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“非減函數(shù)”．若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，且，，又當時，恒成立，下列命題中正確的有（）A．B．C．D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知，則的最小值為_____________．14．已知函數(shù)的值域為，則k的取值范圍是____________．15．已知，則___________．（用數(shù)字作答）16．若對于隨意實數(shù)x及，均有，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）17．（本小題滿分10分）已知關(guān)于x的函數(shù)，其中．（1）當時，求的值域；（2）若當時，函數(shù)的圖象總在直線的上方，為整數(shù)，求的值．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若不等式對于一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，解關(guān)于x的不等式．19．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱的中點，．（1）證明：；（2）若，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）云計算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長．從中國信息通信探討院發(fā)布的《云計算白皮書（2024年）》可知，我國2017年至2024年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：年份2017年2024年2024年2024年2024年年份代碼x12345云計算市場規(guī)模y/億元692962133420913229經(jīng)計算得：．（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）云計算為企業(yè)降低生產(chǎn)成本、提升產(chǎn)品質(zhì)量供應(yīng)了強大助推力．某企業(yè)未引入云計算前，單件產(chǎn)品尺寸與標準品尺寸的誤差，其中m為單件產(chǎn)品的成本（單位：元），且；引入云計算后，單件產(chǎn)品尺寸與標準品尺寸的誤差，若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則將會變成多少？若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變（即誤差的概率分布不變），則單件產(chǎn)品的成本將會下降多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．若，則．21．（本小題滿分12分）2024年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市．為迎接冬奧會的到來，某地許多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深化了解學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與狀況，在該地隨機選取了10所學校進行探討，得到如圖數(shù)據(jù)：（1）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學校可以作為“基地學?！保F(xiàn)在從這10所學校中隨機選出3所，記X為可作為“基地學?！钡膶W校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）在這10所學校中隨機選取3所來調(diào)查探討，求在抽到學校中恰有一所參與“自由式滑雪”超過40人的條件下，抽到學校中恰有一所學?！皢伟寤背^30人的概率；（3）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測試中，小明同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響．假如小明同學在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達到3次，那么理論上至少要進行多少輪測試？22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，函數(shù)．函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）定義在I上的函數(shù)，假如滿意：對隨意，存在常數(shù)，都有成立，則稱函數(shù)是I上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)在I的上界．探討函數(shù)在上是否存在上界？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由．高二期中考試數(shù)學參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）題號12345678答案CBACBDAB1．C解析：由得：，而，所以．故選：C．2．B解析：由可得，即，可等價變形為：，即或，明顯“或”是“”的必要不充分條件．故選：B．3．A解析：∵，且的值域為，∴，當時，在上是增函數(shù)．又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以的大致圖象應(yīng)為選項A．故選：A．4．C解析：設(shè)天平左臂長，右臂長，且，設(shè)天平右盤有克黃金，天平左盤有克黃金，所以所以．故選：C．5．B解析：由題意，∴，∴．∴．故選：B．6．D解析：分2步進行分析：①主教練和A站在兩端，有種狀況；②中間5人分2種狀況探討：若B、C相鄰且與D相鄰，有種支配方法；若B、C相鄰且不與D相鄰，有種支配方法，則中間5人有種支配方法，則共有種不同的支配方法．故選：D．7．A解析：；設(shè)，因為函數(shù)在上遞增，，，即，由零點存在定理可知；設(shè)函數(shù)，易知在上遞減，，即，由零點存在定理可知．即．故選：A．8．B解析：設(shè)，則函數(shù)在上遞增，且，且函數(shù)至多有兩個零點，當時，，若函數(shù)在上有零點，則在上有零點，不妨設(shè)零，點為，則，此時，則，與題意沖突，故函數(shù)在上無零點．二次函數(shù)圖象對稱銷為直線，函數(shù)在上有兩個零點，所以解得故選：B．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）題號9101112答案ACABCBDACD9．AC解析：由，可知．A中，因為．所以．則，故A正確；B中，因為，所以．故，即，故B錯誤；C中，因為，又，則，所以，故C正確；D中，因為，依據(jù)在上單調(diào)遞減，可得，而在定義域上單調(diào)遞增，所以，故D錯誤．故選：AC．10．ABC解析：由題意可得，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，每位數(shù)出現(xiàn)0，1是獨立的，因此，故A正確；由于，故B正確；∵，∴，故C正確，D錯誤．故選：ABC．11．BD解析：依據(jù)題意，A事務(wù)兩瓶均為紅色顏料，C事務(wù)為一瓶紅色一瓶藍色顏料，則事務(wù)A發(fā)生事務(wù)C必定不發(fā)生，∴，故A，C不是獨立事務(wù)，是互斥事務(wù)，故，故A，C錯誤；若調(diào)出紅色，須要兩瓶顏料均為紅色，若調(diào)出綠色，則需1瓶黃色和1瓶藍色，此時調(diào)出紅色和調(diào)出綠色不同時發(fā)生，故A，B為互斥事務(wù)，故B正確；若B事務(wù)發(fā)生，，若C事務(wù)發(fā)生，則甲有三種狀況，分別為甲取兩瓶黃色，甲取1瓶黃色和1瓶紅色或藍色，甲取1瓶紅色1瓶藍色，則，故D正確．故選：BD．12．ACD解析：A．因為，所以令得，所以，A符合題意；B．由當恒成立，令，則，由為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，則，所以，則，B不符合題意；C．，而，所以，由，又，則，則，C符合題意；當時，，令，則，則，即，D符合題意．故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．6解析：由已知得，當且僅當，即時取等號．即，令，則且，得，即的最小值為6．14．解析：因為函數(shù)的值域為，所以，解不等式得或．15．34解析：令，得；令，得；二項式的通項公式為，則，所以．16．解析：由本不等式，，故只須要即可，即對于隨意的恒成立，等價于對隨意的，或．當時，由于，原式可變形為，記，求導(dǎo)可知函數(shù)在上遞減，在上遞增．于是在上遞增，此時；當時，由于，原式可變形為，記，依據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，于是在上遞減在上遞增，當，，留意到，故當時，，故．綜上，．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）17．解析：（1）當時，，令，則在上單調(diào)覺增，所以的值域為．（2）由題可知，在上恒成立．，又在上單調(diào)遞增．所以，因此，解得，又為整數(shù)，所以或1．18．解析：（1）恒成立等價于，當時，，對一切實數(shù)x不恒成立，則，當時，開口向下，對不恒成立．所以此時必有解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．（2）依題意，因為，則，當時，，解得；當時，，解得或；當時，，解得或，所以，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．19．解析：（1）取的中點D，連接，因為D，E分別為的中點，所以，又因為，所以，因為D，F(xiàn)分別為的中點，所以，又因為為直三棱柱，所以，所以，因為平面平面，所以平面，因為平面，所以．（2）設(shè)，以C為原點，分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，因為，則，，設(shè)平面的一個法向量，則即取，為平面的一個法向量，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，所以，解得，由（1）知即直線與平面所成的角，，，所以直線與平面所成的角的正弦值為．20．解析：（1）由，得，令，即，最小三東法公式得：，∵，∴，∴，則，故y關(guān)于x的回來方程為．（2）∵，所以，∴，解得，引入云計算后，，所以，若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則，∴，若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變（即誤差的概率分布不變），則，∴，即單件產(chǎn)品降價元．21．解析：（1）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學校有4所，則X的可能取值為0，1，2，3．．所以X的分布列為：X0123P所以．（2）由題可知，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人的學校，且參與“單板滑雪”的人數(shù)不超過30人的學校為C、G，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人，且參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學校為D、I，參與“自由式滑雪”的人數(shù)不超過40人，且參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學校為A、B、E、H，參與“自由式滑雪”的人數(shù)不超過40人，且參與“單板滑雪”的人數(shù)不超過30人的學校為F、J，設(shè)事務(wù)A為“從這10所學校中抽3所學校恰有一個參與‘自由式滑雪？的人數(shù)超過40人”．事務(wù)B為“從這10所學校中抽3所學校恰有一個參與‘單板滑雪’的人數(shù)超過30人”．則．若“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人和“單板滑雪”人數(shù)超過30人為同一個學校，則有種狀況，若“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人和“單板滑雪”人數(shù)超過30人非同一個學校，則有種狀況，，所以．（3）由題意可得小明同學在一輪測試中為“優(yōu)秀”的概率為：．所以小明在n輪測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)Y滿意，由，得．所以理論上至少要進行12輪測試．22．解析：函數(shù)，由，可得，．即為奇函數(shù)，且時遞減，可得在遞減，且的值域為，不等式，即為，則，即，即為，解得，則原不等式的