統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第二節(jié)排列與組合學生用書

其次節(jié)排列與組合·最新考綱·1．理解排列、組合的概念．2．能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能解決簡潔的實際問題．·考向預料·考情分析：排列組合的綜合問題仍是高考的重點，近幾年難度降低，單獨考查較少．學科素養(yǎng)：通過排列組合的應用考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．積累必備學問——基礎落實贏得良好開端eq\a\vs4\al(一、必記2個學問點)1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素依據(jù)肯定的依次________組合合成一組[留意]區(qū)分一個問題屬于排列問題還是組合問題，關鍵在于是否與依次有關，假如與依次有關，則是排列；假如與依次無關，則是組合．2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部________的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部________的個數(shù)公式Ann!Cnmn（n－1）（n－2）…（n－m＋1)m！性質AnCnm＝Cnn-m，C二、必明2個常用結論正確理解組合數(shù)的性質1．Cnm＝2．Cnm＋Cnm-1＝Cn+1m：從n＋1個不同元素中取出m個元素可分以下兩種狀況：①不含特別元素A有Cnm三、必練4類基礎題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)全部元素完全相同的兩個排列為相同排列．()(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()(3)若組合式Cnx＝(4)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只探討被取出的元素也各不相同的狀況．也就是說，假如某個元素已被取出，則這個元素就不再取了．()(二)教材改編2．[選修2－3·P27T7改編]學校要支配一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出依次，除第1個節(jié)目和最終1個節(jié)目已確定外，還有4個音樂節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目，2個曲藝節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目要求不能相鄰，2個曲藝節(jié)目出場前后依次已定，共有________種不同排法．3．[選修2－3·P26學問改編]計算C73＋C74＋(三)易錯易混4．(分類不清)某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法種數(shù)為________．5．(不會用間接法)現(xiàn)有6個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不同時相鄰的排法有________種．(四)走進高考6．[2024·全國乙卷]將5名北京冬奧會志愿者安排到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只安排到1個項目，每個項目至少安排1名志愿者，則不同的安排方案共有()A．60種B．120種C．240種D．480種提升關鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一排列問題[基礎性、應用性][例1]有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必需站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．聽課筆記：反思感悟1．求解排列應用題的主要方法干脆法分類法選定一個適當?shù)姆诸悩藴剩瑢⒁瓿傻氖聞辗殖蓭讉€類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個適當?shù)臉藴?，將事務分成幾個步驟來完成，分別計算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時留意捆綁元素的內部排列(如本例(3))插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中(如本例(4))間接法對于分類過多的問題，按正難則反，等價轉化的方法2.解決有限制條件排列問題的策略(1)依據(jù)特別元素(位置)優(yōu)先支配進行分步，即先支配特別元素或特別位置．(2)依據(jù)特別元素當選數(shù)量或特別位置由誰來占進行分類．【對點訓練】1．[2024·甘肅蘭州實戰(zhàn)模擬]某國際會議結束后，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人也站在前排并與中國領導人相鄰，假如對其他國家領導人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A.C.A2．[2024·福建龍巖質檢]若用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中的六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字且任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性都不同的六位數(shù)，則這樣的六位數(shù)共有________個(用數(shù)字作答)．考點二組合問題[基礎性、應用性][例2]要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)男生甲和女生乙入選；(3)男生甲、女生乙至少有一個人入選．聽課筆記：反思感悟兩類含有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必需非常重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直解法或間接法都可以求解，通常用干脆法分類困難時，用間接法求解．【對點訓練】1．[2024·昆明市“三診一?！辟|量檢測]小華在學校里學習了二十四節(jié)氣歌，準備在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關的古詩，他準備在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6個冬季節(jié)氣與立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨6個春季節(jié)氣中一共選出3個節(jié)氣，若冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少選出1個，則小華選取節(jié)氣的不同方法種數(shù)是()A．90B．180C．220D．3602.[2024·廣州市綜合測試]如圖，洛書(古稱龜書)，是陰陽五行術數(shù)之源．在古代傳聞中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)．若從4個陰數(shù)和5個陽數(shù)中隨機選取3個數(shù)，則選取的3個數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為()A．30B．40C．44D．70考點三排列、組合的綜合應用[綜合性、應用性][例3](1)2024年1月18日，國家航天局探月與航天工程中心組織完成了我國首輛火星車全球征名活動的初次評審．初評環(huán)節(jié)遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、風火輪、追夢、天行、星火共10個名稱，作為我國首輛火星車的命名范圍．某同學為了探討這些初選名字的內涵，支配從中隨機選取4個依次進行分析，若同時選中哪吒、赤兔，則哪吒和赤兔連續(xù)被分析，否則隨機依次分析，則全部不同的分析狀況有()A.4704種B．2800種C．2688種D．3868種(2)一次表彰大會上，支配支配5名優(yōu)秀學生代表上臺發(fā)言，這5名優(yōu)秀學生分別來自高一、高二和高三三個年級，其中高一、高二年級各2名，高三年級1名．發(fā)言時若要求來自同一年級的學生不相鄰，則不同的排法共有________種．()A．36B．48C．72D．120聽課筆記：反思感悟解排列、組合綜合應用題的思路【對點訓練】1．[2024·江蘇南京市高三調研]將4名志愿者全部支配到某社區(qū)參與3項工作，每人參與1項，每項工作至少有1人參與，則不同的支配方式共有()A．24種B．36種C．60種D．72種2．現(xiàn)有4份不同的禮物，若將其全部分給甲、乙兩人，要求每人至少分得1份，則不同的分法共有()A．10種B．14種C．20種D．28種微專題37排列組合中的分組安排問題思想方法分組問題是同學們學習中的難點問題，在考試中不簡潔得分，在解題過程中簡潔掉入陷阱，本文結合一些典型問題談談如何避開掉進分組問題中的陷阱．解決這類問題的一個基本指導思想是先分組后安排．關于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無論分成幾組，應留意的是只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．一、不等分組問題[例1]7人參與志愿者活動，按下列不同方法分組各有多少種不同的分法？(1)分成3組，各組人數(shù)分別為1人、2人、4人；(2)選出5個人分成2組，其中一組2人，另一組3人．解析：(1)先從7人中選出1人，有C最后由剩下的4人為一組，有由分步乘法計數(shù)原理得分組方法共有C(2)可“選分同步”：先從7人中選出2人，有C有C也可“先選后分”：先選出5人，再分為兩組，由分步乘法計數(shù)原理得分組方法共有C7名師點評解決此類“完全非勻稱分組”問題時，由于分組的不等分與組合數(shù)的相乘不產(chǎn)生沖突，不會出現(xiàn)重復計數(shù)的問題，因此只要分開就可以干脆達到完全非勻稱分組的目的，無須考慮重復問題．[變式訓練1]將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法．二、整體均分問題[例2]國家教化部為了發(fā)展貧困地區(qū)教化，在全國重點師范高校免費培育教化專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培育的教化專業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學校去任教，有________種不同的安排方法．解析：先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有C62C42答案：90名師點評對于整體均分，解題時要留意分組后，不管它們的依次如何，都是一種狀況，所以分組后肯定要除以Ann(n為均分的組數(shù))，[變式訓練2]將9名高校生志愿者支配在星期五、星期六、星期日3天參與社區(qū)公益活動，每天分別支配3人，每人參與一次，則不同的支配方案共有________種．(用數(shù)字作答)三、部分均分問題[例3]10個人參與義務勞動，分成4組，各組分別為2人、2人、2人、4人，則不同的分組方案共有________種．(用數(shù)字作答)解析：由于分成2人、2人、2人、4人的四個組對應的種數(shù)分別為C的分組方案共有C答案：3150名師點評對于“部分勻稱分組”問題，只需考慮由于部分勻稱分組中的無序與組合數(shù)相乘中產(chǎn)生的依次而導致的重復問題，在部分勻稱分組中，假如有m個分組的元素是勻稱的，都有對應的全排列數(shù)Amm或m！種[變式訓練3]4名同學到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少支配1名同學，則不同的支配方法共有________種．其次節(jié)排列與組合積累必備學問一、1．排成一列2．不同排列不同組合n！1三、1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：先把4個音樂節(jié)目，2個曲藝節(jié)目，進行全排列A66，由于2個曲藝節(jié)目出場前后依次已定，故有12答案：756003．解析：原式＝C答案：2104．解析：分兩類，A類選修課2門，B類選修課1門，或者A類選修課1門，B類選修課2門，因此，共有C答案：305．解析：假如6個人隨意排有A66＝720(種)排法；其中甲，乙，丙排在一起的排法有A44答案：5766．解析：依據(jù)題設中的要求，每名志愿者只安排到1個項目，每個項目至少安排1名志愿者，可分兩步進行支配：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1人，共有C52種分法；其次步，將分好的4組支配答案：C提升關鍵實力考點一例1解析：(1)從7人中選5人排列，有A7(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A7(3)解法一(特別元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A66種排列方法，共有解法二(特別位置優(yōu)先法)首尾位置可支配另6人中的兩人，有A6(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A4(5)(插空法)先排女生，有A男生，有A對點訓練1．解析：中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人站在前排并與中國領導人相鄰，有A計數(shù)原理，共有A答案：D2．解析：分兩步進行，第一步，先從1，3，5，7中選3個進行排列，有A43＝24種排法；其次步，將2，4，6這3個數(shù)插空排列，有答案：288考點二例2解析：(1)方法一至少有1名女生入選包括以下幾種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分類加法計數(shù)原理知總選法數(shù)為C方法二“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求解．從12人中任選5人有所以“至少有1名女生入選”的選法有C(2)男生甲和女生乙入選，即只要再從除男生甲和女生乙外的10人中任選3名即可，故有C2(3)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有C為對點訓練1．解析：根據(jù)題意，選出的3個節(jié)氣可以是2個冬2個春季節(jié)氣，對應的方法種數(shù)都是答案：B2．解析：由題意可知，陰數(shù)為2，4，6，8，陽數(shù)為1，3，5，7，9，若從這9個數(shù)中隨機選取3個數(shù)，且選取的3個數(shù)之和為奇數(shù)，則這3個數(shù)可以為1個奇數(shù)和2個偶數(shù)或3個均為奇數(shù)，所以不同的選取方法有C答案：B考點三例3解析：(1)①同時選中哪吒和赤兔，則只需從剩余的8個初選名字中選出2個，再進行排列即可，有C②哪吒和赤兔有一個入選，則需從剩余的8個初選名字中選出3個，再進行排列，有C21③哪吒和赤兔都不選，則需從剩余的8個初選名字中選出4個，再進行排列，有A84＝1680種∴不同的分析狀況共有336＋2688＋1680＝4704種．解析：(2)先排高一年級學生，有A有②若高一學生中間無高三學生，有C答案：(1)A(2)B對點訓練1．解析：先取2人為一組有C42種取法，