遼寧省鞍山市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題含解析

遼寧省鞍山市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.假如，那么在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先計算出，然后推斷其所在象限，即可求解【詳解】由可得，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D2.已知集合，，則集合子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先解指數(shù)不等式得到，即可得到，再求子集個數(shù)即可.【詳解】，則，子集的個數(shù)為，故選：D．3.“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當(dāng)時，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A．4.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)拋物線的標(biāo)準方程以及焦點坐標(biāo)求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標(biāo)為故選：C5.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】要求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.【詳解】，要求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.令，所以.故選：A.6.如圖，某加工廠要在一圓柱體材料中打磨出一個直三棱柱模具，已知該圓柱底面圓面積為，高為6，則能截得直三棱柱體積最大為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直三棱柱的定義及三角形的面積公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，結(jié)合棱柱的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)底面圓的半徑為，則,解得.因為直三棱柱的定義可知，要使能截得直三棱柱體積最大，只須要圓的內(nèi)接三角形面積最大即可，當(dāng)且僅當(dāng)，即時。等號成立，所以三角形是正三角形時，圓的內(nèi)接三角形面積最大，.所以能截得直三棱柱體積最大為.故選：B.7.標(biāo)準對數(shù)視力表（如圖）采納的“五分記錄法”是我國獨創(chuàng)的視力記錄方式.標(biāo)準對數(shù)視力表各行為正方形“E”字視標(biāo)，且從視力5.1的視標(biāo)所在行起先往上，每一行“E”的邊長都是下方一行“E”的邊長的倍，若視力4.0的視標(biāo)邊長為，則視力4.9的視標(biāo)邊長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式計算．【詳解】設(shè)第行視標(biāo)邊長為，第行視標(biāo)邊長為，由題意可得，則，則數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則視力4.9的視標(biāo)邊長為，故選：D.8.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個改變，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．依據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（）A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.【詳解】因a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，即，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以函數(shù)的最小值為25.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，則（）.A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義得出，.【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，所以，故B正確.又∵，所以C正確.故選：BC.10.針對當(dāng)下的“抖音熱”，某校團委對“學(xué)生性別和喜愛抖音是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜愛抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜愛抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為是否喜愛抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能（）附：A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先設(shè)男生人數(shù)為，，列出列聯(lián)表，利用獨立性檢驗計算觀測值，再結(jié)合觀測值列關(guān)系即得答案．【詳解】解：由題意被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，設(shè)男生的人數(shù)為：，，由題意可列出列聯(lián)表：男生女生合計喜愛熬煉不喜愛熬煉合計．由于有的把握認為是否喜愛抖音和性別有關(guān)，所以；解得：，因為，故的可能取值為：9、10、11、12、13，即男生的人數(shù)可以是45，50，55，60，65.則選項中被調(diào)查學(xué)生中男生的人數(shù)可能45或60．故選：BC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，，點滿意，設(shè)點的軌跡為，則（）A.的周長為B.（不重合時）平分C.面積的最大值為6D.當(dāng)時，直線與軌跡相切【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)題意求得曲線的方程為，結(jié)合圓的周長公式，可判定A正確；求得，延長到，使，連結(jié)，得到，進而求得，可判定B正確；利用三角形的面積公式和圓的性質(zhì)，可判定C錯誤；不妨取，求得直線的方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】設(shè)，因為，且點滿意，可得，整理得，即曲線的方程為．對于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長為，所以A正確；對于B中，因為，所以，所以，延長到，使，連結(jié)，如圖所示，因為，所以，所以，所以，，因為，所以，所以，即平分，所以B正確．對于C中，由的面積為，要使得的面積最大，只需最大，由由點的軌跡為，可得，所以面積的最大值為，所以C錯誤；對于D中，當(dāng)時，或，不妨取，則直線，即，因為圓心到直線的距離為，所以，即直線與圓相切，所以D正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列說法正確的是()A.當(dāng)時，在單調(diào)遞增B.當(dāng)時，在處的切線方程為C.當(dāng)時，在上至少有一個零點D.當(dāng)時，在上不單調(diào)【答案】ABD【解析】【分析】A．代入m＝1，求，依據(jù)指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)在上的值域即可推斷的正負，由此可推斷f(x)在上的單調(diào)性；B﹒代入m＝1，求f(0)和，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點斜式方程即可求切線方程；C﹒代入m＝－1，求，令，求，依據(jù)在上的正負推斷的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性可推斷其在上是否有零點；D﹒推斷在，上的正負，由此推斷的單調(diào)性，由此可推斷在，上有零點，故可推斷f(x)在，上不單調(diào)．【詳解】①當(dāng)時，，，當(dāng)x＞0時，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上單調(diào)遞增，故A正確；∵f(0)＝0，，∴在處的切線方程為y＝x，故B正確；②當(dāng)m＝－1時，，，令，則，當(dāng)x＞0時，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x≥0時，≥＝1，∴在上無零點，∴C錯誤；當(dāng)，時，cosx＜0，＞0，∴＞0，∴在，單調(diào)遞增，又，而，∴由零點存在定理可知，存在唯一，，使得，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，∴在，上不單調(diào)，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的綻開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項式綻開式的通項特點即可求解.【詳解】的綻開式中第四項為，故的系數(shù)為：，故答案為：14.的值為_________.【答案】1【解析】【分析】把拆成，然后利用公式進行化簡.【詳解】因為，所以；故答案為：1.15.依據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以表示事務(wù)“試驗反應(yīng)為陽性”，以表示事務(wù)“被診斷者患有癌癥”，則有，.現(xiàn)在對自然人群進行普查，設(shè)被試驗的人患有癌癥的概率為，即，則__________.【答案】【解析】【分析】先求，，依據(jù)條件概率和全概率公式可得，代入計算即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以由全概率公式可得，因為所以.故答案為：.16.若實數(shù)，，，滿意，則的最小值為__________.【答案】2【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為曲線上的點與上點的距離的平方，進一步轉(zhuǎn)化為點到直線的距離公式求解．【詳解】解：因為，所以，，即，，令，，設(shè)直線與曲線相切于點，由，得，則，由，解得或（舍去），所以．，則到直線距離．而的幾何意義為曲線上的點與直線上點的距離的平方，則的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列滿意首項為的值，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運算法則求得的首項，再利用等差數(shù)列的通項公式代入即可求解；（2）將（1）中代入，利用裂項求和法即可求得.【小問1詳解】依據(jù)題意得，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則由，得，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角B；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)兩角和的正弦公式化簡，結(jié)合正弦定理邊化角即可得，進而可求解，（2）依據(jù)三角形面積公式以及可得，由余弦定理可求，進而可得周長.【小問1詳解】∵，∴，∴.由正弦定理得，，∴，∵，∴.【小問2詳解】∵的面積為，即，得，∵，∴，∵，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴三角形的周長為.19.如圖，已知正三棱柱中，全部棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱，的中點.（1）求與平面AEF所成角的正弦值；（2）過A、E、F三點作一個平面，則平面AEF與平面有且只有一條公共直線：①這一結(jié)論可以通過空間中關(guān)于平面的一條基本領(lǐng)實（也稱為公理）得出，請寫出該基本領(lǐng)實的內(nèi)容；②求這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長度.【答案】（1）（2）①假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；②【解析】【分析】（1）取AC中點O連接OB，OF，以O(shè)為原點，OA，OB，OF為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角的正弦值；（2）①由基本領(lǐng)實3可得，②延長交延長線于點M，連接FM且.則FP即為所求，確定點位置，由余弦定理求得的長．小問1詳解】取AC中點O連接OB，OF，因為正三棱柱，F(xiàn)為的中點，與三棱柱的側(cè)棱平行，所以O(shè)A，OB，OF兩兩垂直，以O(shè)為原點，OA，OB，OF為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以，，，，所以，，，設(shè)平面AEF的法向量，則，即，令，則，，所以，設(shè)與平面AEF所成角為，則，所以與平面AEF所成角的正弦值為.【小問2詳解】①基本領(lǐng)實3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.②如下圖，延長交延長線于點M，連接FM且.則FP即為所求.是中點，且，所以是的一條中位線，所以是中點，又是中點，所以是的重心，∴.由余弦定理可得：，∴.20.北京時間2024年7月25日3時13分，問天試驗艙勝利對接于天和核心艙前向端口，2024年7月25日10時03分，神舟十四號航天員乘組勝利開啟問天試驗艙艙門，順當(dāng)進入問天試驗艙.8月，中國空間站第2個試驗艙段——夢天試驗艙已運抵文昌航天放射場，安排10月放射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建立任務(wù)，成為長期有人照料的國家級太空試驗室，支持開展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)試驗.為普及空間站相關(guān)學(xué)問，某部門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動，它是由太空放射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關(guān)勝利.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.（1）求乙闖關(guān)勝利的概率；（2）求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和期望，并推斷甲和乙誰闖關(guān)勝利的可能性更大.【答案】（1）（2）分布列見解析，，甲【解析】【分析】（1）依據(jù)獨立重復(fù)事務(wù)概率公式即可求解，（2）依據(jù)超幾何分布的概率公式計算概率，即可得分布列，通過比較甲乙兩人闖關(guān)勝利的概率大小，即可推斷誰的勝利的可能性更大.【小問1詳解】乙正確完成2個程序或者3個程序則闖關(guān)勝利，記乙闖關(guān)勝利為事務(wù)A，則.【小問2詳解】由題意知隨機變量X全部可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)勝利的概率為，因為，所以甲比乙闖關(guān)勝利的可能性大.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點關(guān)于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.（1）求動點P的軌跡方程，并注明x的范圍；（2）設(shè)直線AP與BP分別與直線交于M，N，問是否存在點P使得與面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）依據(jù)兩點間斜率公式以及題中條件斜率之積即可列方程求解，（2）由面積相等可得長度的比例關(guān)系，由相像轉(zhuǎn)化為長度關(guān)系，即可列式子求解.【小問1詳解】因為點B與點關(guān)于原點O對稱，所以點B的坐標(biāo)為設(shè)點P的