福建省漳州市薌城區(qū)廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年第二次月考九年級數(shù)學(xué)試題卷（考試時間：120分鐘，滿分：150分）一、單選題（共40分）1.下列函數(shù)關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，是正比例函數(shù)，不符合題意；B、，是一次函數(shù)，不符合題意；C、，是反比例函數(shù)，符合題意；D、，不是反比例函數(shù)，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的識別，熟練掌握反比例函數(shù)的定義：形如，這樣的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，是解題的關(guān)鍵．2.如圖，，，，則的長是（）A.3 B.4 C.6 D.10【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，根據(jù)，可得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．故選：A3.如圖，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于點和點，則點坐標(biāo)為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖像交點問題，根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于點，得到反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式，再聯(lián)立方程組求解，即可得到點坐標(biāo)．【詳解】解：∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于點，∴點在反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖像上，滿足函數(shù)解析式，∴將代入到，得到；同理將代入到，得到，聯(lián)立方程組解得，，．故選：A4.已知的半徑為6，點A為平面內(nèi)一點，，那么點A與的位置關(guān)系是（）A.點A在內(nèi) B.點A在外 C.點A在上 D.無法確定【答案】B【解析】【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，由于點A到圓心的距離8大于圓的半徑6，從而可判斷點A在⊙O外．【詳解】解：∵的半徑為6，，∴點A到圓心的距離大于圓的半徑，∴點A在外．故選：B．5.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了求拋物線與y軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為0進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，當(dāng)時，，∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為，故選C．6.如圖，已知點、點是同一幢樓上兩個不同位置，從點觀測標(biāo)志物的俯角是65°，從點觀測標(biāo)志物的俯角是35°，則的度數(shù)為（）A.25° B.30° C.35° D.65°【答案】B【解析】【分析】如圖，標(biāo)注字母，由題意得：證明再利用從而可得答案．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，由題意得：故選：【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7.如圖，的半徑為13，弦，于點，則的長為（）A.10 B.6 C.5 D.12【答案】C【解析】【分析】由于于點，所以由垂徑定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．【詳解】解：在中，∵，，∴，∵在中，，，∴由勾股定理可得：故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理的性質(zhì)，熟練運用垂徑定理并結(jié)合勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．8.已知函數(shù)是二次函數(shù)，則等于（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，根據(jù)定義解題即可．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)定義，得：，且，解得，故選：B．9.如圖，將放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在直角三角形中，根據(jù)正切的意義可求解．【詳解】解：如圖，在中，，故選：D．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義．將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解答的關(guān)鍵．10.如圖，在矩形中，點在上，若且，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別以，為直角邊作等腰和等腰，判定，即可得到的長．【詳解】解：如圖，分別以，為直角邊作等腰和等腰，

依題意得，，，，,即解得：（負(fù)值舍去），故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形以及相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（共24分）11.如圖是函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的交點坐標(biāo)是_____________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的對稱性，掌握其對稱軸的計算方法是解題的關(guān)鍵．設(shè)另一個交點的橫坐標(biāo)為，根據(jù)中點橫坐標(biāo)的計算方法“”即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖示可知，對稱軸為，一個交點為，∴設(shè)另一個交點的橫坐標(biāo)為，∴，解得，，∴另一個交點的坐標(biāo)為，故答案為：．12.如圖點是反比例函數(shù)的圖象上的一點，過作軸，垂足為．已知面積為3，則這個反比例函數(shù)的關(guān)系式為________．【答案】【解析】【分析】本題考查已知圖形面積，求反比例函數(shù)的解析式．根據(jù)值的幾何意義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：面積為，∴，∵圖象在第二象限，∴，∴，∴解析式為：；故答案為：．13.已知某斜坡的坡度，則斜坡的坡角的大小為__________【答案】##30度【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．根據(jù)坡度等于坡角的正切值，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．14.黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值．如圖，某校藝術(shù)節(jié)“達(dá)人秀”活動舞臺的長為16米，主持人站在點C處自然得體（點C是線段靠近點B的黃金分割點），此時主持人與點A的距離是________米；【答案】【解析】【分析】本題考查了黃金分割．由黃金分割點的定義得，再代入的長計算即可．【詳解】解：由題意可知，點是線段上靠近點的黃金分割點，米，，（米），即此時主持人與點A的距離為米，故答案為：．15.如圖，點A，B，C在上，，則的度數(shù)為________．【答案】##35度【解析】【分析】本題考查圓周角定理：“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半”，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．16.拋物線（是常數(shù)）的頂點在第四象限，且．下列四個結(jié)論：①；②；③若，則當(dāng)時，隨的增大而增大；④若拋物線的頂點為，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論是__________．（填寫序號）．【答案】①②④【解析】【分析】①拋物線（a、b、c是常數(shù)）的頂點在第四象限，可得拋物線開口向上，可判斷①符合題意．②由，可得，可判斷②符合題意．③求解，可得當(dāng)時，隨的增大而增大，錯誤，判斷③不符合題意．④拋物線的頂點為，可得有兩個相等的實數(shù)根，證明，可得有兩個不相等的實數(shù)根，判斷④符合題意．【詳解】解：①拋物線（a、b、c是常數(shù)）的頂點在第四象限，∴，∵，∴圖象經(jīng)過，∴拋物線開口向上，∴，∴，故①符合題意．②∵，∴，∴，故②符合題意．③∵，∴，∴，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，錯誤，故③不符合題意．④∵拋物線的頂點為，∴拋物線的對稱軸為直線，，∴有兩個相等的實數(shù)根，∵，∴，∴，∵，整理得：，而函數(shù)圖象開口向上，∴有兩個不相等的實數(shù)根，故④符合題意．故答案為：①②④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于中等題型．三、解答題（共86分）17.（1）解方程：（2）計算：．【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函數(shù)的混合運算；（1）利用因式分解法解即可；（2）利用特殊角三角函數(shù)值計算即可．【詳解】解：（1）原方程可化為：，即或，所以；（2）．18.中，，如果，，求的長．【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形，根據(jù)正弦函數(shù)的定義和60度角的正弦值求解即可．【詳解】解：中，，∴，∵，∴，∴19.為預(yù)防新冠病毒，某學(xué)校每周末用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒，已知藥物釋放過程中，教室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與時間成正比例；藥物釋放完畢后，與成反比例，如圖所示，根據(jù)圖象信息，解決以下問題：（1）寫出從藥物釋放開始，與之間的兩個函數(shù)解析式；（2）當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于6毫克且持續(xù)時間不低于20分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌．你認(rèn)為此次消毒是否有效？并說明理由．【答案】（1）（2）此次消毒有效，理由見解析【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法先求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，求出正比例函數(shù)的解析式即可；（2）求出時對應(yīng)的兩個自變量的值，進(jìn)而求出含藥量不低于6毫克的時間，進(jìn)行判斷即可．【小問1詳解】解：設(shè)藥物釋放完畢后，與的解析式為：，由圖可知：，解得：，∴，當(dāng)時，，∴，設(shè)藥物釋放過程中，與的解析式為：，則：，解得：，∴；綜上：；【小問2詳解】有效，理由如下：當(dāng)時，，解得：；，解得：，∴空氣中每立方米含藥量不低于6毫克的時間為：；∵，∴此次消毒有效．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式．20.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．（1）以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出，使與位似，且相似比為2：1，點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)是________．（2）求的面積．【答案】（1）作圖見解析，（2）10【解析】【分析】本題考查了三角形的相似，作位似圖形，求網(wǎng)格中圖形的面積；（1）按要求作出符合條件的位似圖即可，根據(jù)作出的圖形即可寫出頂點的坐標(biāo)；（2）利用割補法即可求得三角形的面積．【小問1詳解】解：所畫的位似圖形如下：點的坐標(biāo)是，故答案為：；【小問2詳解】解：．21.如圖，海中有一個小島P，它的周圍9海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東方向上，航行6海里到達(dá)B點，這時測得小島P在北偏東方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由．【答案】有觸礁危險．理由見解析【解析】分析】過點P作，設(shè)，根據(jù)題意得出，，列出方程求解x，再于9進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點P作于，設(shè)，∵，，，∴，，即，，∵，，∴，解得：，∵，∴有觸礁危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．22.已知：如圖，等邊三角形的三個頂點都在上求證：．【答案】見解析【解析】【分析】連接，，，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系證明即可．【詳解】證明：連接，，．，．【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系，掌握定理是解題的關(guān)鍵．23.用一條長的繩子圍成一個矩形，設(shè)矩形的一邊長為．（1）若圍成的矩形面積為，求的值；（2）當(dāng)為何值時圍成的矩形面積最大，最大面積是多少？【答案】23.的值為或；24.當(dāng)時，面積最大，最大面積為．【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）首先表示矩形的另一邊長，進(jìn)而利用矩形面積求法得出答案；（2）利用二次函數(shù)最值求法得出答案．根據(jù)題意表示出矩形的面積是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：由題意可得：另一邊長為：，設(shè)矩形的面積為則，當(dāng)時，，解得：，∴的值為或；【小問2詳解】由題意可得：，故當(dāng)為時，矩形面積最大，最大面積為：．24.如圖，在中，，，是邊上的一個動點（不與，重合），是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再通過角度和差即可求解；（）利用，得出對應(yīng)邊成比例，則可證明，再由相似三角形對應(yīng)角相等即可；（）在線段上截取連接，可證，則有，利用，可得出；此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】∵，，∴，同理：，∴，∴；【小問2詳解】設(shè)與交于點，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小問3詳解】，理由：在線段上截取連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．25.如圖1，拋物線與x軸于交，兩點，交y軸于點C，連接，點D為上方拋物線上一個動點，過點D作于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段的最大值，并求出此時點D的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線沿y軸翻折得到拋物線，拋物線的頂點為F，對稱軸與x軸交于點G，過點的直線（直線除外）與拋物線交于J，I兩點，直線分別交x軸于點M，N.試探究是否為定值，若是，求出該定值：若不是，說明理由．【答案】（1）（2）線段的最大值，此時D點坐標(biāo)為（3）8【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）過點D作軸于點F，交于點G，則軸，得為等腰直角三角形，求出直線解析式為，設(shè)點D坐標(biāo)為，列得，當(dāng)時，最大，此時，，線段的最大值；（3）由翻折得拋物線的解析式為，可設(shè)直線JI的解析式為，直