三重積分的概念與計(jì)算

作業(yè)115頁3,4,6,12,132021/6/271第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三重積分的概念與計(jì)算

第九章2021/6/272一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:

設(shè)在空間有界閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為2021/6/273定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作2021/6/274三重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)、單調(diào)性、積分估值公式2.區(qū)域可加性4.微元法5.對(duì)稱奇偶性*6.中值定理.在有界閉域

上連續(xù),則存在使得V為的體積,2021/6/275二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次積分法2021/6/276方法1.

投影法

(“先一后二”)記作2021/6/277投影法

三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:適用范圍:由平面圍成的情況2021/6/2782021/6/279其中

為三個(gè)坐標(biāo)例.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面2021/6/2710.計(jì)算,其中由錐面及平面圍成.解：例2.2021/6/2711化為三次積分，由曲面及平面圍成.解：如圖所以曲面與xOy坐標(biāo)面交于x軸和y軸.例1.2021/6/2712方法2.截面法

(“先二后一”)2021/6/2713特別適用于積分區(qū)域中一坐標(biāo)的范圍易獲得，截面范圍易表示的情況。2021/6/2714其中

為三個(gè)坐標(biāo)例3.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.面及平面為面上軸，解:如圖，：軸和圍成的等腰直角三角形.所以

注：此題可用投影法求解．2021/6/2715計(jì)算三重積分其中是上半橢球體解：則而原式例4.2021/6/2716例.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”2021/6/2717補(bǔ)充：三重積分對(duì)稱性：2021/6/2718補(bǔ)充：三重積分對(duì)稱性：2、奇偶對(duì)稱性：2021/6/2719解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),球面關(guān)于xoy面對(duì)稱2021/6/2720解2021/6/27212021/6/27222021/6/27231.

將用三次積分表示,其中

由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成,2021/6/27243.設(shè)計(jì)算提示:利用對(duì)稱性原式=奇函數(shù)2021/6/2725tobecontinue2021/6/2726作業(yè)115頁3,4,6,12,132021/6/2727換元法三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:體積元素一一對(duì)應(yīng)雅可比行列式2021/6/2728利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:2021/6/2729圓柱面2021/6/2730平面半平面2021/6/27312021/6/2732圓柱面半平面平面2021/6/2733在柱面坐標(biāo)下2021/6/2734若從小到大邊界到邊界則有在投影區(qū)域上做極坐標(biāo)變換2021/6/2735例.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=2021/6/27364.計(jì)算其中解:利用對(duì)稱性2021/6/2737利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系2021/6/2738球面半平面錐面2021/6/2739在球面坐標(biāo)系中從小到大，從邊界到邊界。體積元素為化為三次積分，2021/6/2740求的體積，解：球面方程為在球坐標(biāo)系下方程為所以例6.2021/6/2741內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;2021/6/2742xzOy圖2-3222計(jì)算，其中為雙曲面，錐面及柱面圍成．思考與練習(xí)2021/6/27433.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對(duì)稱性用球坐標(biāo)2021/6/2744,其中由錐面平面圍成.解法：用投影法.計(jì)算2021/6/2745例5.計(jì)算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面2021/6/2746例6.求曲