機械振動復習題及解答

1、某測量低頻振動用的測振儀（倒置擺）如下列圖所示。試根據(jù)能量原理推導系統(tǒng)靜平衡

穩(wěn)定條件。假設整個系統(tǒng)的轉動慣量=1.725x10-3依.機2,彈簧剛度A=24.5N/〃2,小球

質量m=0.085&:g,直角折桿的一邊/=4tv%。另一邊/>=5cm。試求固有頻率。

k

Io

0

'b解：彈性

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勢能Uk=-k(h3)\

重力勢能Ug=-rng(l-lcos0)

總勢能U=Uk+"g=—kb10~+〃2g/cos,—

dU

代入正=0可得

X=Xj

可求得6=0滿足上式。

d-U

>0判別0位置是否穩(wěn)定及其條件:

再根據(jù)公式產(chǎn)=0

X=Xj

即滿足火〃2>〃區(qū)/條件時，振動系統(tǒng)方可在9=0位置附近作微幅振動。

系統(tǒng)的動能為了=/32

或7+U）

代入可得n

由e=0為穩(wěn)定位置，那么在微振動時sin。=0,可得線性振動方程為:

固有頻率

代入數(shù)據(jù)，可得

2、用能量法解此題：一個質量為均勻半圓柱體在水平面上做無滑動的往復滾動，如上圖所

示，設圓柱體半徑為R,重心在c點,oc二一，物體對重心的回轉體半徑為L,試導出運動微

分方程。

解：如下圖，在任意角度。⑴時,重心c的升高量為

A=r(l-cos<9)=2rsin2f

取重心c的最低位置為勢能零點，并進行線性化處理，那么柱體勢能為

V=mgA=2mgrsin2f?7mgr6^2(a)

Ib=Ic+rnbe2=m(L2+be2)(b)

/?c2=r-i-R2-2rRcos/9(t)(c)

而柱體的動能為把(b)式，(c)式兩式代入，并線性化有

T={m[L2+(R-r)2]O2(d)

根據(jù)能量守恒定理，有

ym[L2+(R—r)2]2+7mgr=E=const

對上式求導并化簡，得運動微分方程為

[L2+(R-r)2]7+gr6=o(e)

3、一質量為〃?、轉動慣量為/的圓柱體作自由純滾動，圓心受到一彈簧攵約束，如下圖，

求系統(tǒng)的固有頻率。

解：取圓柱體的轉角。為坐標，逆時針為正，靜平衡位置時。=0,那么當〃，有

6轉角時，系統(tǒng)有：

由d(號+U)=0可知：

解得

4=&產(chǎn)/(/+機產(chǎn))(rad/s)

4、圖中，半徑為r的圓柱在半徑為R的槽內(nèi)作無滑滾動，試寫出系統(tǒng)作微小振動時的微分

方程

解1)建立廣義坐標。設槽圓心O與圓柱軸線Oi的連線偏離平衡位置的轉角

為廣義坐標，逆時針方向為正。

2)寫出系統(tǒng)的動能和勢能。圓柱的動能由兩局部組成，即它跟隨質心的移動

動能和繞質心轉動的動能，而質心的速度為(R~r)l,圓柱相對于質心的角速度

(R-r)6>/r,因此系統(tǒng)的動能為

假設取系統(tǒng)靜平衡時的勢能為零，那么在一般位置系統(tǒng)的勢能為

U=mg(R-r)(1-cos0)

3)利用能量守恒原理得到

當系統(tǒng)作微小振動時夕很小，sine。。，2不恒等于零，方程就簡化為

O

5>單圓盤轉子如圖(a)所示，可化簡為圖(b)所示的簡

一m

支梁系

統(tǒng)，求其在跨度中點垂直方向的剛度及系統(tǒng)的自然頻率。

解：當忽略軸的質量時，系統(tǒng)簡化為圖(5)的模型，這是一個彎曲變形振動問題。為了求其剛度,

按照材料力學中的公式，其跨度中點在集中力P的作用下，產(chǎn)生的撓度y為

那么由k=P/y得到

系統(tǒng)可進一步簡化為“m-k”系統(tǒng)，那么單自由度系統(tǒng)的自然頻率為

6、機械式振動儀原埋圖如卜圖。支承于水平軸。的擺“連接一個剛度為左的螺線彈簧，在

重力作用下擺的平衡位置偏離水平線成夕角。設擺在水平線上方成。角處，螺線彈簧不受

力。擺的質量為〃，，它繞。軸的轉動慣量為擺重心。至。軸的距離為"，擺。?？蓢@平

衡位置作微幅振動，求其固有頻率。

振動儀原理圖

解：

方法一：

當擺處于平衡位置時，有

擺的微振動角位移記為6,由動量矩定理，可得擺的運動微分方程為

考慮到式(a),并精確到一階小量，上式可線性化為

因此，擺的振動固有頻率為

方法二：能量法

由于不考慮阻尼，因而系統(tǒng)的機械能守恒。這時系統(tǒng)的動能和勢能可以分別表示為

由&+"=￡=常數(shù)，；=0,可得

因此,擺的振動固有頻率為

7、例：重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞，梁長￡,抗彎剛度EJ

其中給出

工二mgF

由材料力學：“48EJ

求：梁的自由振動頻率和最大撓度

解：

取平衡位置

以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系

靜變形：4

自.士由工振辦動班頻土率在為：g=J舊3=J1—48E1J

撞擊時刻為零時刻，那么匚0時，有：

那么自由振動振幅為：

梁的最大擾度：

8、質量m=0.5Kg的物塊，沿光滑斜面無初速度滑下，如上圖所示。當物塊從高度h=0.1m

時撞于彈簧上并不在別離。彈簧的剛度系數(shù)為k=0.8KN/m,傾角8=30°,求此系統(tǒng)的固有

頻率和振幅，并寫出物塊的運動方程。

解：物塊平衡時，彈簧的變形為

50=mgsin"/k（i）

以物塊平衡位置0為原點，建立圖示x坐標。物塊受力如下圖，其運動微分方程為

me=mgsinJ3-ka+x）

將式（1）帶入上式，化簡后得

系統(tǒng)的固有頻率為

當物塊碰上彈簧時，取時間1:0,作為振動的起點。那么運動的的初始條件為:

初位移：x=-品=-3.D6x初速度：v0=-j2gh=iAm/s

代入式A=和tan6=四^得

丸

幫么物塊的運動方程為x=35.lsin(40r-0.087)(mm)

9、今有離心式自動脫水洗衣機，質量為M=2000kg,有四個垂直的螺旋彈簧支撐，每個彈

簧的剛度由試驗測定為k=830N/cm,另有四個阻尼器，總的相對阻尼系數(shù)為C=0.15。簡化

如下圖。洗衣機在初次脫水時以n=300r/min運行。此時衣物的偏心質量為m=13kg,偏心

距為e=50cm。試計算其垂直振幅。由于結構的對稱性，在計算其垂直方向振幅時，可作為

單自由度系統(tǒng)來處理。

解偏心質量的離心慣性力在垂直方向的分量引起洗衣機機體在垂直方向上的受迫運動，其振動方程

為：

式中右邊分子上的nwco1為離心慣性力，3為激振力頻率：

系統(tǒng)的四個彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=332ON/cm,固有頻率以為

頻率比為

這說明此時超過共振點較遠，不會發(fā)生共振。振幅為：

1。、為了估計機器基座的阻尼比《，用激振器使機器上下振動。激振器有兩個相同的偏心

塊組成，它們沿相反的方向以同一角速度①如下列圖明示回轉，這樣可以產(chǎn)生垂直慣性力。

當轉速3逐漸提高時機器到達最大振幅Xmax=2cm,繼續(xù)提高◎時，機器振幅到達穩(wěn)態(tài)值

X=0.25cm,求其阻尼比二。

meZ2

解: