專題1-2二次根式（考題猜想壓軸大題5個考點40題專練）原卷版

專題1-2二次根式（考題猜想，壓軸大題5個考點40題專練）二次根式的性質(zhì)與化簡分母有理化二次根式的混合運算二次根式的化簡求值二次根式的應(yīng)用一．二次根式的性質(zhì)與化簡（共12小題）1．（2023?舟山一模）觀察下列各式：①，②；③，（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個等式：；（2）請用含的式子寫出你猜想的規(guī)律：；（3）請證明（2）中的結(jié)論．2．（2022春?蓬江區(qū)校級月考）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點為點的“橫負(fù)縱變點”．例如：點的“橫負(fù)縱變點”為，點的“橫負(fù)縱變點”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點的“橫負(fù)縱變點”為，點的“橫負(fù)縱變點”為；（2）化簡：；（8）已知為常數(shù)，點，且，點是點的“橫負(fù)縱變點”，則點的坐標(biāo)是．3．（2021春?安徽期末）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個數(shù)、，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：（1）；（2）．4．（2021春?朝陽區(qū)校級期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點為點的“橫負(fù)縱變點”．例如：點的“橫負(fù)縱變點”為，點的“橫負(fù)縱變點”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點的“橫負(fù)縱變點”為，點的“橫負(fù)縱變點”為；（2）化簡：；（3）已知為常數(shù)，點，且，點是點的“橫負(fù)縱變點”，則點的坐標(biāo)是．5．（2022秋?吉安縣期末）先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)、使，，這樣，，那么便有例如：化簡解：首先把化為，這里，；由于，，即，，由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．6．（2022秋?市中區(qū)期末）觀察下列各式：請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想：（1）（2）請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用為正整數(shù)）表示的等式：；（3）利用上述規(guī)律計算：（仿照上式寫出過程）7．（2023春?蕪湖期末）觀察下列各式：；；，請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題①猜想：；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個用為正整數(shù)）表示的等式：；③應(yīng)用：計算．8．（2023春?太原期中）觀察下列各式并按規(guī)律填空：；；（1），．（2）按此規(guī)律第個式子可以表示為．（3）并說明上面式子成立的理由．（請寫出推導(dǎo)過程）9．（2022春?杭錦后旗期中）像，這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：．再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：（1）化簡：；（2）化簡：；（3）若，且，，為正整數(shù)，求的值．10．（2021秋?沿河縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．化簡：．．．請你仿照上例將下列各式化簡：?）；（2）．11．（2023秋?渠縣校級期中）觀察下列各式及驗證過程：，驗證；，驗證，驗證（1）按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗證．（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．12．（2023春?前郭縣期中）觀察下面的運算，完成下列各題的解答．①判斷下列各式是否成立：②根據(jù)①判斷的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用含有自然數(shù)的式子將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并注明的取值范圍．③請說明你所發(fā)現(xiàn)式子的正確性．二．分母有理化（共7小題）13．（2021秋?射洪市校級月考）小芳在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，請你根據(jù)小芳的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．①求的值；②求的值．14．（2021春?淮北期末）已知，，求：（1）的值；（2）的值．15．（2021秋?高州市校級月考）閱讀下面問題：；；．試求：（1）為正整數(shù)）．（2）利用上面所揭示的規(guī)律計算：．16．（2021春?饒平縣校級期末）先觀察下列的計算，再完成習(xí)題：；請你直接寫出下面的結(jié)果：（1）；；（2）根據(jù)你的猜想、歸納，運用規(guī)律計算：．17．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：；；．（1）求的值；（2）計算：．18．（2021春?裕華區(qū)校級期末）【知識鏈接】（1）有理化因式：兩個含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數(shù)式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去．指的是如果代數(shù)式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達(dá)到化去分母中根號的目的．如：，．【知識理解】（1）填空：的有理化因式是；（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：①；②．【啟發(fā)運用】（3）計算：．19．（2021秋?安仁縣校級期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請用其中一種方法化簡；（2）化簡：．三．二次根式的混合運算（共7小題）20．（2020春?興縣期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得，；（2）試著把化成一個完全平方式．（3）若是216的立方根，是16的平方根，試計算：．21．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分．的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）化簡．22．（2022春?大理市校級期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值；（2）計算．23．（2022春?開州區(qū)期中）我們知道平方運算和開方運算是互逆運算，如：，那么，那么如何將雙重二次根式，，化簡呢？如能找到兩個數(shù)，，使得即，且使即，那么，雙重二次根式得以化簡；例如化簡：；且，由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到，使得，且，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：；；（2）化簡：①②（3）計算：．24．（2022秋?晉安區(qū)期末）我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：，．你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：（1）（2）（3）．25．（2023?舟山二模）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）若，且、、均為正整數(shù)，求的值．26．（2023春?宜豐縣校級月考）已知，，且．試求正整數(shù)．四．二次根式的化簡求值（共9小題）27．（2023春?東莞市校級期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．28．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值．（2）已知是正整數(shù)，求與的值；（3）計算．29．（2021春?環(huán)翠區(qū)校級期中）已知：，，求的值．30．（2021春?黃岡期中）已知，，試求代數(shù)式的值．31．（2023春?新會區(qū)校級期末）小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．求：①求的值．②直接寫出代數(shù)式的值；．32．（2023春?東莞市校級期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．33．（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）先化簡，后求值：，其中．34．（2020秋?惠濟(jì)區(qū)校級月考）閱讀下面的文字后，回答問題．小明和小芳解答題目“先化簡下式，再求值：，其中”時，得到了不同的答案．小明的解答是：原式；小芳的解答是：原式；（1）的解答是錯誤的．（2）錯誤的解答錯在未能正確運用二次根式的性質(zhì)：．35．（2023秋?天府新區(qū)期中）已知，．求：（1）的值；（2）的值．五．二次根式的應(yīng)用（共5小題）36．（2023春?湯陰縣期中）已知線段，，，且線段，滿足．（1）求，的值；（2）若，，是某直角三角形的三條邊的長度，求的值．37．（2022春?東莞市校級期中）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．，；，；，；（1）請用含有為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：，．（2）若一個三角形的面積是，計算說明它是第幾個三角形？（3）求出的值．38．（2022春?岳麓區(qū)校級期中）已知，均為正整數(shù)．我們把滿足的點稱為幸福點．（1）下列四個點中為幸福點的是；；；；（2）若點是一個幸福點，求的值；（3）已知點，是一個幸福點，則存在正整數(shù)，滿足，試問是否存在實數(shù)的值使得點和點，到軸的距離相等，且到軸的距離也相等？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．39．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）小明在解方程時采用了下面的方法：由，又有，可得，將這兩式相加可得，將