數(shù)學(xué)課堂探究：隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．古典概型與幾何概型的異同剖析:古典概型與幾何概型都是概率類型的一種，它們的區(qū)別在于：古典概型的基本事件數(shù)為有限個(gè)，而幾何概型的基本事件數(shù)為無限個(gè)；共同點(diǎn)在于：兩個(gè)概型都必須具備等可能性，即每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等．判斷一次試驗(yàn)是否是古典概型，有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來衡量:一是試驗(yàn)結(jié)果的有限性，二是試驗(yàn)結(jié)果的等可能性，如果這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合，則這次試驗(yàn)是古典概型，否則不是古典概型;判斷一次試驗(yàn)是否是幾何概型有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：一是試驗(yàn)結(jié)果的無限性，二是試驗(yàn)結(jié)果的等可能性,三是可以轉(zhuǎn)化為求某個(gè)幾何圖形測度的問題．如果一次試驗(yàn)符合這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，則這次試驗(yàn)是幾何概型．這兩種概率模型的本質(zhì)區(qū)別是試驗(yàn)結(jié)果的種數(shù)是否有限．2．基本事件的選取對概率的影響剖析:先比較以下兩道題:(1）在等腰Rt△ABC中,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM＜AC的概率．(2)在等腰Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M,求AM＜AC的概率．這兩道題雖然都是在等腰Rt△ABC中求AM＜AC的概率，但題干明顯不同，題目（1)是“在斜邊AB上任取一點(diǎn)M”,而題目(2）是“在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM”,其解答分別如下：（1)在AB上截取AC′＝AC,于是P（AM＜AC）＝P(AM＜AC′）＝eq\f(AC′，AB)＝eq\f（AC，AB）＝eq\f（\r（2）,2）。（2）在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM作在任何位置都是等可能的．在AB上取AC′＝AC，則△ACC′是等腰三角形,且∠ACC′＝eq\f（180°－45°，2)＝67.5°，故滿足條件的概率為eq\f（67。5°，90°）＝0。75。由此可見，背景相似的問題，當(dāng)基本事件的選取不同，其概率是不一樣的．題型一與“長度"有關(guān)的幾何概型【例1】某公共汽車站每隔15min有1輛汽車到達(dá),乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的,求1個(gè)乘客到達(dá)車站后候車時(shí)間大于10min的概率．分析:把時(shí)刻抽象為點(diǎn)，時(shí)間就抽象為線段，故可用幾何概型求解．解：設(shè)上一輛車于時(shí)刻T1到達(dá),而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá),線段T1T2的長度為15,設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且T1T=5，T2T=10。如圖所示．記候車時(shí)間大于10min為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻t落在線段T1T上時(shí)，事件A發(fā)生，設(shè)區(qū)域D的測度為15，則區(qū)域d的測度為5.所以.答：候車時(shí)間大于10min的概率是。反思在求解與長度有關(guān)的幾何概型時(shí),首先找到幾何區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段,然后找到事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域d。在找d的過程中，確定邊界點(diǎn)是問題的關(guān)鍵,但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事件A的概率。題型二與“面積"有關(guān)的幾何概型【例2】甲、乙兩人約定上午7:00到8：00之間到某個(gè)汽車站乘車，在這段時(shí)間內(nèi)有3班公共汽車，開車的時(shí)刻分別為7:20，7：40，8：00，如果他們約定，見車就乘,則甲、乙兩人乘同一班車的概率為（）A.eq\f(1,2)B.eq\f（1，4）C。eq\f(1,3)D.eq\f（1，6）解析：設(shè)甲到達(dá)汽車站的時(shí)刻為x,乙到達(dá)汽車站的時(shí)刻為y,則7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙兩人到達(dá)汽車站的時(shí)刻(x，y)所對應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中是大正方形(如圖所示)．將三班車到站的時(shí)刻在圖形中畫出，則甲、乙兩人要想乘同一輛車，必須滿足7≤x≤7，7≤y≤7；7≤x≤7，7≤y≤7;7≤x≤8，7≤y≤8，即(x，y）必須落在圖形中的三個(gè)帶陰影的小正方形內(nèi)，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,3）)）2×3,12)＝eq\f（1，3）.答案：C反思本題的關(guān)鍵首先要理解好題意，將其歸結(jié)為面積型幾何概型，而不是長度型幾何概型．另外一定要認(rèn)真審題，根據(jù)題意畫出圖形．本題中將甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻作為坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中將汽車的到站時(shí)刻,甲、乙兩人的到站時(shí)刻分別表示出來，就可以直觀地發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，找出兩人乘同一輛車的區(qū)域，然后計(jì)算面積，代入公式求得結(jié)果。題型三與“體積”有關(guān)的幾何概型【例3】已知正三棱錐S。ABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)M,試求點(diǎn)M到底面的距離小于eq\f(h，2）的概率．分析：首先作出到底面距離等于eq\f（h,2)的截面,然后再求這個(gè)截面的面積，進(jìn)而求出有關(guān)體積．解：如圖所示，在SA，SB，SC上取點(diǎn)A1,B1，C1，使A1，B1，C1分別為SA,SB，SC的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)M位于面ABC和面A1B1C1之間時(shí)，點(diǎn)M到底面的距離小于。設(shè)△ABC的面積為S，由△ABC∽△A1B1C1,且相似比為2，得△A1B1C1的面積為由題意，區(qū)域D的體積為區(qū)域d的體積為。∴P=?！帱c(diǎn)M到底面的距離小于的概率為.反思解與體積有關(guān)的幾何概型時(shí)要注意:(1)尋求區(qū)域d在區(qū)域D中的分界面，但要明確是否含分界面不影響概率大?。?)每個(gè)基本事件的發(fā)生是“等可能的”．(3)概率的計(jì)算公式為：P（A）＝eq\f（構(gòu)成事件A的區(qū)域體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積)。題型四與“角度"有關(guān)的幾何概型【例4】已知半圓O的直徑為AB＝2R。（1)過A作弦AM，求使弦AM＜R的概率；(2)過A作弦AM，求使弦AM＞R的概率；（3）作平行于AB的弦MN,求使弦MN＜R的概率；(4）作平行于AB的弦MN,求使弦MN≥R的概率．分析：過A作弦應(yīng)理解為過A作射線AM交半圓于M，作AB的平行弦MN,可以理解為過垂直于AB的半徑上的點(diǎn)作平行于AB的弦．解:(1)如圖①所示，過點(diǎn)A作⊙O的切線AE，作弦＝R.由平面幾何知識，∠M′AB＝60°，∠M′AE＝30°，∴P（AM＜R)＝P(AM＜AM′）＝P(∠EAM＜∠EAM′)＝eq\f（∠EAM′的大小,∠EAB的大?。絜q\f（30°,90°)＝eq\f（1,3）。（2）類似于（1）可求P（AM＞R）＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2，3）.(3)如圖②所示,過點(diǎn)O作半徑OE⊥AB，作弦M′N′∥AB，交OE于點(diǎn)E′，且＝R。連接OM′，則OE′＝eq\f(\r（3)，2)R，EE′＝R－eq\f(\r(3）,2）R＝eq\f(2－\r（3），2)R.∴P（MN＜R)＝P(MN＜M′N′）＝eq\f(EE′，OE）＝eq\f（2－\r（3），2).（4)類似于（3)可求P(MN≥R)＝eq\f(OE′，OE）＝eq\f(\r（3),2).反思（1）如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示,則其概率計(jì)算公式為P(A)＝eq\f（事件A構(gòu)成區(qū)域的角度,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域的角度).(2)解決此類問題的關(guān)鍵是事件A在區(qū)域內(nèi)是均勻的,進(jìn)而判定事件的發(fā)生是等可能的。題型五利用隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)估計(jì)圖形的面積【例5】利用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算圖中陰影部分(y＝2－2x－x2與x軸圍成的圖形)的面積．分析：解答本題可先計(jì)算與之相應(yīng)的規(guī)則多邊形的面積，而后由幾何概率進(jìn)行面積估計(jì)．解：(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1，b1。(2）經(jīng)過平移和伸縮變換，a＝4a1－3，b＝3b1（3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影部分的點(diǎn)數(shù)N1（滿足條件b＜2－2a－a2的點(diǎn)（a，b(4)計(jì)算頻率eq\f（N1，N)就是點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值．（5）設(shè)陰影部分面積為S，由幾何概型概率公式得點(diǎn)落在陰影部分的概率為eq\f（S,12)，∴eq\f（S,12）≈eq\f(N1,N）?！郤≈eq\f(12N1，N)即為陰影部分面積的近似值．反思在解答本題的過程中，易出現(xiàn)將點(diǎn)（a，b)滿足的條件誤寫為b＞2－2a－a2，導(dǎo)致該種錯(cuò)誤的原因是沒有驗(yàn)證陰影部分的點(diǎn)（a，b題型六易錯(cuò)辨析【例6】在0～1之間隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)把長度為1的線段分成三條,試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．錯(cuò)解：因?yàn)?，，x＋y＜1，所以eq\f（1，2)＜x＋y＜1。所以P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2），1））,(0，1）)＝eq\f(\f（1，2），1)＝eq\f(1，2）.錯(cuò)因分析：錯(cuò)解誤把長度作為幾何度量當(dāng)成本題的模型．正解:設(shè)三條線段的長度分別為x，y,1－x－y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0＜x＜1，,0＜y＜1,,0＜1－x－y＜1，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜y＜－x＋1。）)在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，圍成三角形區(qū)域G,每對（x，y）對應(yīng)著G內(nèi)的點(diǎn)(x，y),由題意知,每一個(gè)