2025屆四川省瀘州市高三第一次質量診斷性考試（一模）數(shù)學試題【含答案解析】

瀘州市高2022級第一次教學質量診斷性考試數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．注意事項：1，答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題的答案標號涂黑．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解分式不等式求集合A，再由集合的交運算求集合.【詳解】由題設，又，所以.故選：D2.設為等差數(shù)列的前項和，若，則的公差為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列前n項和及等差數(shù)列的性質求公差.【詳解】由題設，又，故，所以的公差.故選：C3.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導分析函數(shù)單調性，利用函數(shù)單調性解不等式可得結果.【詳解】∵，∴，∴在上為增函數(shù)，由得，，解得，故的取值范圍是.故選：B.4.已知函數(shù)在處取得極大值，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極值點求參數(shù)，再由所得參數(shù)驗證在處是否取得極大值，即可得答案.【詳解】由題設，則，可得或，當時，當或時，則在和上遞增，當時，則在上遞減，此時在處取得極小值，不符；當時，當或時，則在和上遞增，當時，則在上遞減，此時在處取得極大值，符合；綜上，.故選：C5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分不必要條件判斷即可.【詳解】由可知，所以，所以充分性成立，當時，滿足，但是不成立，所以必要性不成立，故選：A．6.若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)單調性求參數(shù)范圍即可.【詳解】由題設，則在上遞增，所以，又，故.故選：B7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用差角正切公式列方程求得，再由倍角正弦公式及齊次式化弦為切求值.【詳解】由，而，可得，所以.故選：A8.已知平面向量，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】由題設分別在以為原點，半徑為的圓上運動，且，數(shù)形結合及向量加法的幾何意義確定的范圍，即可得答案.【詳解】由題設，分別在以為原點，半徑為的圓上運動，且，所以，若是的中點，則，而，如下圖示，由圖知，，而，即.所以的最小值是.故選：D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若復數(shù)滿足，則（）A. B.的虛部為C.為純虛數(shù) D.【答案】BCD【解析】【分析】設，由條件可得.由復數(shù)模長公式可得選項A錯誤；由復數(shù)的概念可得選項B正確；通過復數(shù)的除法運算可得選項C正確；通過復數(shù)乘方運算可得選項D正確.【詳解】設，則，∴，∴，解得，故.A.，選項A錯誤.B.的虛部為，選項B正確.C.，為純虛數(shù)，選項C正確.D.由得，故，選項D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.是的一個周期 B.的圖象關于直線對稱C.在上單調遞減 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】通過可得選項A正確；由可得選項B錯誤；求導函數(shù)可得當時，f′x<0，選項C正確；通過分析函數(shù)單調性可得選項D正確.【詳解】A.，是一個周期，選項A正確.B.，，的圖象不關于直線對稱，選項B錯誤.C.，當時，，，故f′x<0，所以在上單調遞減，選項C正確.D.由選項C得，，，由f′x≥0得，，由得，，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，選項D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，若，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】應用賦值法可求得，和，變換可得，與聯(lián)立即可求得，應用可得，進而可得.【詳解】因為所以所以，取，由可知，，故A錯誤；取，由知，，所以，故B正確；令，由知，，即，又因為，所以，故C錯誤；由得，，所以，所以，所以，又，所以，所以，故D正確故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）注意事項：（1）非進擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效，（2）本部分共8個小題，共92分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分12.已知向量，則在上的投影向量的坐標為______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的坐標運算計算，利用投影向量的公式即可計算結果.【詳解】由題意得，，，，所以在上的投影向量為.故答案為：.13.已知函數(shù)，對任意實數(shù)，方程有解，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意知的值域為R，由對數(shù)函數(shù)的性質及分段函數(shù)形式確定在上的單調性和界點值范圍，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設的值域為R，而在上遞增，且值域為，所以在上的一次函數(shù)也遞增，且，則.故答案為：14.設函數(shù)，當時，，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的性質得時有或，時有，且在上遞減，在上遞增，結合題設判斷的開口方向和零點，即可得結果.【詳解】由題設，當，所以或，即或，當，所以，即，根據(jù)余弦型函數(shù)的性質易知：在上遞減，在上遞增，而x∈0,2時，則開口向下且是函數(shù)的兩個零點，所以，，則.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共T7分、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，（1）求不等式的解集；（2）將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，得到的圖象，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積．【答案】（1）且；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的單調性解不等式求解集即可；（2）由題意得，利用導數(shù)求切線方程并確定與坐標軸交點，即可求三角形面積.【小問1詳解】由題設，則，所以且，可得且，所以解集為且.【小問2詳解】由題意，則，所以，，所以曲線y=gx在點處的切線為，顯然切線過，故其與坐標軸圍成的三角形面積為.16.設為數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)關系求得，結合等比數(shù)列的定義寫出通項公式；（2）由題設得，累乘法求通項公式，再應用裂項相消求和即可.【小問1詳解】若，則，若，則，故，所以，所以是首項為9，公比為3的等比數(shù)列，則.【小問2詳解】由題設，故，時，，顯然也滿足，所以，綜上，.17.設的內角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若的最大值為，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦邊角關系及差角正弦公式得，結合三角形內角性質求角A的大??；（2）根據(jù)正弦邊角關系及倍角余弦公式可得，結合（1）及三角恒等變換有，最后根據(jù)正弦型函數(shù)性質及已知求邊長.【小問1詳解】由題設及正弦邊角關系，有，所以，整理得，即，顯然不合題設，則，所以，而，可得.【小問2詳解】由，可得，，所以，由（1）知：，則，由，則，又的最大值為，所以，可得（負值舍），綜上，.18.已知函數(shù)．（1）證明：為奇函數(shù)；（2）求的導函數(shù)的最小值；（3）若恰有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定義判斷奇偶性即可；（2）由題設可得，應用基本不等式求其最小值；（3）問題化為與在和上各有一個交點，利用導數(shù)研究的性質，數(shù)形結合確定參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設，令，所以，又定義域R，所以為奇函數(shù)，得證.【小問2詳解】由題設，當且僅當，即時取等號，所以的導函數(shù)的最小值為.【小問3詳解】令，用代換，則，對于，有，易知為奇函數(shù)，又恰有三個零點，即恰有三個零點，顯然，只需保證在和上各有一個零點即可，令，則，即與在和上各有一個交點，由，且，即為奇函數(shù)，令，則，顯然上，上，綜上，在R上遞增，但遞增速率先變快后變慢，大致圖象如下圖示，又與都過原點，且原點處的切線斜率為，結合圖象知：當時，與在和上各有一個交點，所以.【點睛】難點點睛：導數(shù)類綜合應用問題，綜合性較強，計算量大，解答的難點在于第三問的零點問題，解答時將零點問題轉化為函數(shù)圖象的焦點問題，數(shù)形結合進行解決.19.對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”．（1）已知數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，求實數(shù)的取值范圍；（2）若首項為1的等差數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”，且其前項和滿足恒成立，求的公差的取值范圍；（3）已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，數(shù)列不是“優(yōu)美數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“優(yōu)美數(shù)列”，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）時數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列新定義列不等式組，求參數(shù)范圍；（2）根據(jù)定義有，結合不等式恒成立求公差的上界，即可得范圍；（3）根據(jù)題意有最小項為，最小項為，進而有，根據(jù)討論，并由數(shù)列新定義判斷是否存在數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”即可.【小問1詳解】由題意log4m+1>1log2m?【小問2詳解】由題意，令的公差為，且，則，可得，顯然時不