相似三角形專題解答題試題一附答案

相似三角形專題解答題試題精選一附答案一．解答題（共30小題）1．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E．（1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形；（2）選擇（1）中一對加以證明．2．（2015?南京）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。?．（2015?寧夏）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點．連結AE．（1）若AB=AE，求證：∠DAE=∠D；（2）若點E為BC的中點，連接BD，交AE于F，求EF：FA的值．4．（2015?濱州）如圖，已知B、C、E三點在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形，其中線段BD交AC于點G，線段AE交CD于點F，求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．第1頁（共45頁）5．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ是否成立？請說明理由．6．（2015?樂山）如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD邊的長；（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點P，交CB于點Q（點Q運動到點B停止）．設DP=x，四邊形PQCD的面積為y，求y與x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍．7．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．第2頁（共45頁）8．（2015?茂名）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．9．（2015?廈門）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．10．（2015?杭州）如圖，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E．（1）若=，AE=2，求EC的長；（2）設點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F，C，G為頂點的三角形與△EDC有一個銳角相等，FG交CD于點P．問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由．第3頁（共45頁）11．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延長BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延長線于點E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．12．（2015?岳陽）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．13．（2015?淄博）如圖，在△ABC中，點P是BC邊上任意一點（點P與點B，C不重合），平行四邊形AFPE的頂點F，E分別在AB，AC上．已知BC=2，S=1．設BP=x，平行△ABC四邊形AFPE的面積為y．（1）求y與x的函數關系式；（2）上述函數有最大值或最小值嗎？若有，則當x取何值時，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請說明理由．第4頁（共45頁）14．（2015?大連）在△ABC中，點D，E，F分別在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如圖1，當DE=DF時，圖1中是否存在與AB相等的線段？若存在，請找出，并加以證明；若不存在，說明理由；（2）如圖2，當DE=kDF（其中0＜k＜1）時，若∠A=90°，AF=m，求BD的長（用含k，m的式子表示）．15．（2015?湘潭）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．16．（2015?撫順）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．（1）如圖①，當∠ABC=45°時，求證：AD=DE；（2）如圖②，當∠ABC=30°時，線段AD與DE有何數量關系？并請說明理由；（3）當∠ABC=α時，請直接寫出線段AD與DE的數量關系．（用含α的三角函數表示）17．（2015?威海）（1）如圖1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長．（2）如圖2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長．第5頁（共45頁）18．（2015?赤峰）如圖，直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點，過點C作CD⊥x軸，點P是x軸下方直線CD上的一點，且△OCP與△OBC相似，求過點P的雙曲線解析式．19．（2015?連云港）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點，AC=3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的長．20．（2015?泰安）如圖，在△ABC中，AB=AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD=∠B．（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當PD∥AB時，求BP的長．第6頁（共45頁）21．（2015?武漢）已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8．（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點K．①求的值；②設EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數關系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上，另兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長．22．（2015?邵陽）如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度．23．（2015?陜西）晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時語塞．小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高．于是，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖，當小聰正好站在廣場的A點（距N點5塊地磚長）時，其影長AD恰好為1塊地磚長；當小軍正好站在廣場的B點（距N點9塊地磚長）時，其影長BF恰好為2塊地磚長．已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰的身高AC為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．請你根據以上信息，求出小軍身高BE的長．（結果精確到0.01米）第7頁（共45頁）24．（2015?崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個正方形零件的邊長；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？25．（2015?湖州模擬）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．26．（2015?鎮(zhèn)江）某興趣小組開展課外活動．如圖，A，B兩地相距12米，小明從點A出發(fā)沿AB方向勻速前進，2秒后到達點D，此時他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達點F，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達點H，此時他（GH）在同一燈光下的影長為BH（點C，E，G在一條直線上）．（1）請在圖中畫出光源O點的位置，并畫出他位于點F時在這個燈光下的影長FM（不寫畫法）；（1）求小明原來的速度．第8頁（共45頁）27．（2015?黃岡校級自主招生）如圖，已知銳角△ABC的面積為1，正方形DEFG是△ABC的一個內接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面積的最大值．28．（2015?青島模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，問△AOB與△COD是否相似？有一位同學解答下：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO．∴△AOD∽△BOC．∴．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD．請判斷這位同學的解答是否正確并說明理由．29．（2015?大慶模擬）如圖，點C為線段AB上任意一點（不與A、B兩點重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BDE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BDE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）請你判斷△AMC與△DPM的形狀有何關系，并說明理由．30．（2015?常州模擬）如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，點F在邊CD上，且CF=3FD，△ABE與△DEF相似嗎？為什么？第9頁（共45頁）第10頁（共45頁）相似三角形專題解答題試題精選一附答案參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E．（1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形；（2）選擇（1）中一對加以證明．【考點】相似三角形的判定；全等三角形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的性質以及全等三角形的性質得出符合題意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分別得出即可．【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD為角平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD為角平分線，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【點評】此題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵．2．（2015?南京）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．第11頁（共45頁）（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。究键c】相似三角形的判定與性質．【分析】（1）由兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據相似三角形的對應角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是：熟記相似三角形的判定定理與性質定理．3．（2015?寧夏）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點．連結AE．（1）若AB=AE，求證：∠DAE=∠D；（2）若點E為BC的中點，連接BD，交AE于F，求EF：FA的值．【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．【分析】（1）根據平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEB=∠EAD，根據等邊對等角可得∠ABE=∠AEB，即可得證；（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，第12頁（共45頁）∴∠DAE=∠D；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴，∵E為BC的中點，∴BE=BC=AD，∴EF：FA=1：2．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質與平行四邊形的性質．熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．4．（2015?濱州）如圖，已知B、C、E三點在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形，其中線段BD交AC于點G，線段AE交CD于點F，求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．【專題】證明題．【分析】（1）由三角形ABC與三角形CDE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，一對角相等，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS即可得證；（2）由（1）得出的三角形全等得到對應角相等，再由一對角相等，且夾邊相等，利用ASA得到三角形GCD與三角形FCE全等，利用全等三角形對應邊相等得到CG=CF，進而確定出三角形CFG為等邊三角形，確定出一對內錯角相等，進而得到GF與CE平行，利用平行線等分線段成比例即可得證．【解答】證明：（1）∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，第13頁（共45頁）∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG為等邊三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及等邊三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．5．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ是否成立？請說明理由．【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質．【專題】證明題．【分析】（1）①由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′，由SAS證明△AOC′≌△BOD′，得出對應邊相等即可；②由全等三角形的性質得出∠OAC′=∠OBD′，又由對頂角相等和三角形內角和定理得出∠BEA=90°，即可得出結論；（2）由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行線得出比例式，得出，證明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由對頂角相等和三角形內角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）證明：①∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點，第14頁（共45頁）∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延長AC′交BD′于E，交BO于F，如圖1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如圖2所示：∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【點評】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握旋轉的性質，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．第15頁（共45頁）6．（2015?樂山）如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD邊的長；（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點P，交CB于點Q（點Q運動到點B停止）．設DP=x，四邊形PQCD的面積為y，求y與x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍．【考點】相似三角形的判定與性質；函數關系式；平移的性質；解直角三角形．【分析】（1）分別延長AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA=，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通過等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，于是得到cos∠ECD==，即問題可得；（2）由（1）可知tan∠ECD=，得到ED=，如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，得到比例式，求得PQ=，由S=S﹣S，于是得到y(tǒng)=PQ?EP四邊形PQCD△EPQ△EDC﹣DC?ED=﹣=，于是當Q點到達B點時，點P在M點處，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，于是結論可得．【解答】解：（1）如圖（3），分別延長AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，∵tanA=，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5，又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，∴cos∠ECD==，∴CD=；第16頁（共45頁）（2）如圖4，由（1）可知tan∠ECD=，∴ED=，如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，∴，∴，即PQ=，∵S=S﹣S，四邊形PQCD△EPQ△EDC∴y=PQ?EP﹣DC?ED=﹣=，∴當Q點到達B點時，點P在M點處，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自變量x的取值方范圍為：0＜x≤．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，平移的性質，求函數的解析式，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．7．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．第17頁（共45頁）【考點】相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質．【專題】證明題．【分析】（1）由平行四邊形的性質得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據平行四邊形的判定即可得到結論；（2）根據等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，熟記定理是解題的關鍵．8．（2015?茂名）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．第18頁（共45頁）【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形．【專題】壓軸題；動點型．【分析】（1）根據題意得出BM，CN，易得BN，BA，分類討論當△BMN∽△BAC時，利用相似三角形的性質得，解得t；當△BMN∽△BCA時，，解得t，綜上所述，△BMN與△ABC相似，得t的值；（2）過點M作MD⊥CB于點D，利用銳角三角函數易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性質得，解得t．【解答】解：（1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當△BMN∽△BAC時，，∴，解得：t=；當△BMN∽△BCA時，，∴，解得：t=，∴△BMN與△ABC相似時，t的值為或；（2）過點M作MD⊥CB于點D，由題意得：DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，第19頁（共45頁）∴，∴=，解得t=．【點評】本題主要考查了動點問題，相似三角形的判定及性質等，分類討論，數形結合是解答此題的關鍵．9．（2015?廈門）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．【考點】平行線分線段成比例．【分析】根據平行線分線段成比例定理得出=，再根據AD=3，AB=5，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理．此題難度不大，解題的關鍵是注意準確應用平行線分線段成比例定理與數形結合思想的應用．10．（2015?杭州）如圖，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E．（1）若=，AE=2，求EC的長；（2）設點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F，C，G為頂點的三角形與△EDC有一個銳角相等，FG交CD于點P．問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由．第20頁（共45頁）【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】分類討論．【分析】（1）易證DE∥BC，由平行線分線段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三種情況討論：①若∠CFG=∠ECD，此時線段CP是△CFG的FG邊上的中線；②若∠CFG=∠EDC，此時線段CP為△CFG的FG邊上的高線；③當CD為∠ACB的平分線時，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如圖1，若∠CFG=∠ECD，此時線段CP是△CFG的FG邊上的中線．證明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴線段CP是△CFG的FG邊上的中線；②如圖2，若∠CFG=∠EDC，此時線段CP為△CFG的FG邊上的高線．證明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴線段CP為△CFG的FG邊上的高線．③如圖3，當CD為∠ACB的平分線時，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．第21頁（共45頁）【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有關概念，分類討論，能全面的思考問題是解決問題的關鍵．11．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延長BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延長線于點E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質．【專題】證明題．【分析】（1）過點M作MP⊥BC交BD的延長線于點P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結論；（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長．【解答】（1）證明：過點M作MP⊥BC交BD的延長線于點P，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，第22頁（共45頁）∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形∴BP=BM∴BD+2DE=BM．（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴設正方形邊長為a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．故答案為：．第23頁（共45頁）【點評】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合運用，運用三角形相似求出正方形的邊長是解決第2小題的關鍵．12．（2015?岳陽）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．【考點】相似三角形的判定與性質；正方形的性質．【分析】（1）由正方形的性質得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結論；第24頁（共45頁）（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中點，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．13．（2015?淄博）如圖，在△ABC中，點P是BC邊上任意一點（點P與點B，C不重合），平行四邊形AFPE的頂點F，E分別在AB，AC上．已知BC=2，S=1．設BP=x，平行△ABC四邊形AFPE的面積為y．（1）求y與x的函數關系式；（2）上述函數有最大值或最小值嗎？若有，則當x取何值時，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請說明理由．【考點】相似三角形的判定與性質；二次函數的最值；平行四邊形的性質．【分析】（1）由平行四邊形的性質得出PF∥CA，證出△BFP∽△BAC，得出面積比等于相2似比的平方，得出S=，同理：S=（），即可得出y與x的函數關系式；△BFP△PEC（2）由﹣＜0得出y有最大值，把（1）中函數關系式化成頂點式，即可得出結果．【解答】解：（1）∵四邊形AFPE是平行四邊形，第25頁（共45頁）∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴=（），2∵S=1，△ABC∴S=，△BFP2同理：S=（），△PEC∴y=1﹣﹣，∴y=﹣+x；（2）上述函數有最大值，最大值為；理由如下：2∵y=﹣+x=﹣（x﹣1）+，﹣＜0，∴y有最大值，∴當x=1時，y有最大值，最大值為．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、二次函數的最值；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形相似得出關系式是解決問題的關鍵．14．（2015?大連）在△ABC中，點D，E，F分別在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如圖1，當DE=DF時，圖1中是否存在與AB相等的線段？若存在，請找出，并加以證明；若不存在，說明理由；（2）如圖2，當DE=kDF（其中0＜k＜1）時，若∠A=90°，AF=m，求BD的長（用含k，m的式子表示）．【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【分析】（1）如圖1，連結AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四點共圓，根據圓周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由第26頁（共45頁）∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，則∠AEB=∠DEF=∠BAE，根據等角對等邊得出AB=BE；（2）如圖2，連結AE．由A、D、E、F四點共圓，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再證明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形對應邊成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后將AF=m，DE=kDF代入，計算即可求解．【解答】解：（1）如圖1，連結AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四點共圓，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如圖2，連結AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四點共圓，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE與△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，第27頁（共45頁）∴==，∴BD=．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，四點共圓，圓周角定理，勾股定理等知識，有一定難度．連結AE，證明A、D、E、F四點共圓是解題的關鍵．15．（2015?湘潭）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．【考點】相似三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）．【分析】（1）根據折疊的性質得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B證明三角形相似即可；（2）由折疊的性質知CD=DE，AC=AE．根據題意在Rt△BDE中運用勾股定理求DE，進而得出AD即可．【解答】證明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折疊的性質知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，222DE+BE=BD，222即CD+4=（8﹣CD），解得：CD=3，第28頁（共45頁）222在Rt△ACD中，由勾股定理得AC+CD=AD，222即3+6=AD，解得：AD=．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，關鍵是根據1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、勾股定理求解．16．（2015?撫順）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．（1）如圖①，當∠ABC=45°時，求證：AD=DE；（2）如圖②，當∠ABC=30°時，線段AD與DE有何數量關系？并請說明理由；（3）當∠ABC=α時，請直接寫出線段AD與DE的數量關系．（用含α的三角函數表示）【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【分析】（1）首先過點D作DF⊥BC，交AB于點F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）證明：如圖1，過點D作DF⊥BC，交AB于點F，則∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，第29頁（共45頁）∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如圖2，過點D作DG⊥BC，交AB于點G，則∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE?tanα；理由：如圖2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，則=tanα，∴AD=DE?tanα．第30頁（共45頁）【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，得出△EBD∽△AGD是解題關鍵．17．（2015?威海）（1）如圖1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長．（2）如圖2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長．【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．【分析】（1）連接BE，證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）連接BE，證明△ACD∽△BCE，得到==，求出BE的長，得到AD的長．【解答】解：（1）如圖1，連接BE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵AC=BC，DC=EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，第31頁（共45頁）∵AC=BC=6，∴AB=6，∵∠BAC=∠CAE=45°，∴∠BAE=90°，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，∴BE=9，∴AD=9；（2）如圖2，連接BE，在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，tan30°==，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴==，∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，∴BE=10，∴AD=．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵，正確作出輔助線是重點．18．（2015?赤峰）如圖，直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點，過點C作CD⊥x軸，點P是x軸下方直線CD上的一點，且△OCP與△OBC相似，求過點P的雙曲線解析式．第32頁（共45頁）【考點】相似三角形的判定與性質；一次函數圖象上點的坐標特征；待定系數法求反比例函數解析式．【分析】由直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點，易得OC=2，OB=4，再分兩種情況①當∠OBC=∠COP時，△OCP與△OBC相似，②當∠OBC=∠CPO時，△OCP與△OBC相似分別求出點的坐標，再求出過點P的雙曲線解析式．【解答】解：∵直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點，∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，①如圖1，當∠OBC=∠COP時，△OCP∽△BOC，∴=，即=，解得CP=1，∴P（2，﹣1），設過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=，把P點代入解得k=﹣2，∴過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=﹣，②如圖2，當∠OBC=∠CPO時，△OCP∽△COB，第33頁（共45頁）在△OCP和△COB中，∴△OCP≌△COB（AAS）∴CP=BO=4，∴P（2，﹣4）設過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=，把P點代入得﹣4=，解得k=﹣8，∴過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=．綜上可得，過點P的雙曲線的解析式為y=﹣或y=．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，待定系數求反比例函數，解題的關鍵是分兩種情況正確畫出圖形．19．（2015?連云港）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點，AC=3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的長．【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形．【分析】（1）首先根據DH∥AB，判斷出△ABC∽△DHC，即可判斷出=3；然后求出BH的值是多少，再根據在Rt△BHD中，cos∠HBD=，求出BD?cos∠HBD的值是多少即可．第34頁（共45頁）（2）首先判斷出△ABC∽△BHD，推得；然后根據△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根據，求出DH的值是多少，進而求出AB的值是多少即可．【解答】解：（1）∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，∴△ABC∽△DHC，∴=3，∴CH=1，BH=BC+CH，在Rt△BHD中，cos∠HBD=，∴BD?cos∠HBD=BH=4．（2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴，∵△ABC∽△DHC，∴，∴AB=3DH，∴，解得DH=2，∴AB=3DH=3×2=6，即AB的長是6．【點評】（1）此題主要考查了相似三角形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．（2）此題還考查了直角三角形的性質和應用，要熟練掌握．20．（2015?泰安）如圖，在△ABC中，AB=AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD=∠B．（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當PD∥AB時，求BP的長．【考點】相似三角形的判定與性質．第35頁（共45頁）【分析】（1）易證∠APD=∠B=∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB?CD=CP?BP，由AB=AC即可得到AC?CD=CP?BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運用相似三角形的性質即可求出BP的長．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB?CD=CP?BP．∵AB=AC，∴AC?CD=CP?BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、三角形外角的性質等知識，把證明AC?CD=CP?BP轉化為證明AB?CD=CP?BP是解決第（1）小題的關鍵，證到∠BAP=∠C進而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關鍵．21．（2015?武漢）已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8．（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點K．①求的值；②設EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數關系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上，另兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長．第36頁（共45頁）【考點】相似三角形的判定與性質；二次函數的最值；矩形的性質；正方形的性質．【專題】壓軸題．【分析】（1）①根據EF∥BC，可得，所以，據此求出的值是多少即可．②首先根據EH=x，求出AK=8﹣x，再根據=，求出EF的值；然后根據矩形的面積公式，求出S與x的函數關系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．（2）根據題意，設正方形的邊長為a，分兩種情況：①當正方形PQMN的兩個頂點在BC邊上時；②當正方形PQMN的兩個頂點在AB或AC邊上時；分類討論，求出正方形PQMN的邊長各是多少即可．【解答】解：（1）①∵EF∥BC，∴，∴=，即的值是．②∵EH=x，∴KD=EH=x，AK=8﹣x，∵=，∴EF=，∴S=EH?EF=x（8﹣x）=﹣+24，∴當x=4時，S的最大值是24．（2）設正方形的邊長為a，①當正方形PQMN的兩個頂點在BC邊上時，，解得a=．②當正方形PQMN的兩個頂點在AB或AC邊上時，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12÷2=6，第37頁（共45頁）∴AB=AC=，∴AB或AC邊上的高等于：AD?BC÷AB=8×12÷10=∴，解得a=．綜上，可得正方形PQMN的邊長是或．【點評】（1）此題主要考查了相似三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．（2）此題還考查了二次函數的最值的求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．（3）此題還考查了矩形、正方形、直角三角形的性質和應用，以及勾股定理的應用，要熟練掌握．22．（2015?邵陽）如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度．【考點】相似三角形的應用．【分析】根據題意可得：△DEF∽△DCA，進而利用相似三角形的性質得出AC的長，即可得出答案．【解答】解：由題意可得：△DEF∽△DCA，則=，第38頁（共45頁）∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗桿的高度為11.5m．【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，得出△DEF∽△DCA是解題關鍵．23．（2015?陜西）晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時語塞．小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高．于是，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖，當小聰正好站在廣場的A點（距N點5塊地磚長）時，其影長AD恰好為1塊地磚長；當小軍正好站在廣場的B點（距N點9塊地磚長）時，其影長BF恰好為2塊地磚長．已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰的身高AC為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．請你根據以上信息，求出小軍身高BE的長．（結果精確到0.01米）【考點】相似三角形的應用．【分析】先證明△CAD～△MND，利用相似三角形的性質求得MN=9.6，再證明△EFB～△MFN，即可解答．【解答】解：由題意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN，∴△CAD～△MND，∴，∴，∴MN=9.6，又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN，∴△EFB～△MFN，∴，∴∴EB≈1.75，∴小軍身高約為1.75米．【點評】本題考查的是相似三角形的判定及性質，解答此題的關鍵是相似三角形的判定．第39頁（共45頁）24．（2015?崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個正方形零件的邊長；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？【考點】相似三角形的應用；二次函數的應用．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據矩形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．（2）根據正方形邊的平行關系，得出對應的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD，從而得出邊長之比，，得到，進而求出正方形的邊長；（3）分別討論長方形的長和寬在BC上的情況，再根據相應得關系式得出所求．【解答】解：（1）∵四邊形EGFH為矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）設正方形零件的邊長為a在正方形EFGH中，EF∥BC，EG∥AD∴△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD∴，，∴，即：解得：a=48即：正方形零件的邊長為48；（3）設長方形的長為x，寬為y，當長方形的長在BC時，由（1）知：，∵，∴當，即x=60，y=40，xy最大為2400第40頁（共45頁）當長方形的寬在BC時，，∵，∴當，即x=40，y=60，xy最大為2400，又∵x≥y，所以長方形的寬在BC時，面積＜2400綜上，長方形的面積最大為2400．【點評】本題考查了正方形以及矩形的性質，結合了平行線的比例關系求解，注意數形結合的運用．25．（2015?湖州模擬）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．【考點】相似三角形的判定；正方形的性質；平行線分線段成比例．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）利用正方形的性質，可得∠A=∠D，根據已知可得，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．【解答】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴，第41頁（共45頁）又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【點評】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應用．解題的關鍵是數形結合思想的應用．26．（2015?鎮(zhèn)江）某興趣小組開展課外活動．如圖，A，B兩地相距12米，小明從點A出發(fā)沿AB方向勻速前進，2秒后到達點D，此時他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達點F，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到