近五年吉林中考數(shù)學試題及答案

2022年吉林中考數(shù)學試題及答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.圖是由5個相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）

正面

C.

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的概念，從正面看到的圖形就是主視圖，再根據(jù)小正方體的個數(shù)利排列進行作答即可.

其主視圖為:

故選：A.

【點睛】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從上面看所得到的圖形，主視圖是

從正面看所得到的圖形，左視圖時從左面看所得到的圖形，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

2.長春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運版復興號智能動車組，車頭采用鷹隼形的設(shè)計，能讓性能大

幅提升，一列該動車組一年運行下來可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)1800000用科學記數(shù)法表示為（）

A.18xlO5B.1.8xl06C.1.8x107D.O.18xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aXl（T的形式，其中1WIHV10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原

數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>10時，〃是正數(shù)；

當原數(shù)的絕對值VI時，〃是負數(shù).

詳解】解：1800000=1.8X1（）6,

故選:B.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n

為整數(shù)，表示時關(guān)犍要正確確定a的值以及〃的值.

3.不等式x+2>3的解集是（）

A.x<lB.x<5C.x>lD.x>5

【答案】C

【解析】

【分析】直接移項解一元一次不等式即可.

【詳解】x+2>3,

x>3-2,

x>1?

故選：C.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

4.實數(shù)a,。在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

ab

II■IIII'I.

-3-2-10123

A.a>0B.a<bC./?—1<OD.ab>0

【答案】B

【解析】

【分析】觀察數(shù)軸得：—2vav—lv2v6v3,再逐項判斷即可求解.

【詳解】解：觀察數(shù)軸得：一2〈?！匆?<2〈人<3,故A錯誤，不符合題意；B正確，符合題意；

.-.Z?-l>0,故C錯誤，不符合題意；

???砥<0,故D錯誤，不符合題意；

故選：B

【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的大小比較，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵.

5.如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點力,

變幅索的底端記為點氏AO垂直地面，垂足為點〃BC±AD,垂足為點C.設(shè)NMC=a,下列關(guān)系

式正確的是（）

.AB.BCABAC

A.sina=---Bn.sina=——C.sina=---D.sina=---

BCABACAB

【答案】I）

【解析】

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】BC1AC,

???△力比'是直角三角形，

,:4ABC=a,

..AC

??sina------，

AB

故選：D.

【點睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義.在直角三角形中任意銳角NR的對邊與斜邊之比叫做/力的正弦,

記作sin/4掌握正弦三角困數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形.若NBCD=121。,則NBOD的度數(shù)為（）

A.133°B.121°C.118°D.112°

【答案】C

【解析】

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NA=59。，再由圓周定理可得NB8=2NA=118。.

【詳解】解：???四邊形/枚力內(nèi)接于圓，

...Z4+ZC=180°

VZBCD=121°

???4=59。

AZBOD=2ZA=118°

故選：C

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解答本題的關(guān)鍵

7.如圖，在△旗。中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C./DBF+NDFB=90°D.ZBAF=ZEBC

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得而垂直平分力ABE是NABC的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角

平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得如垂直平分力8BE是NA/C的角平分線，

AF=BF,/BDF=90°,ZABF=/CBE,

/ABF=ZBAF,4DBF+/DFB=90°,

NBAF=/EBC,

綜上，正確的是A、C、D選項，

故選:B.

【點睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角立分線的定義，直角三角形兩

銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例函數(shù)y=&（2>0,x>0）的圖象上，其縱坐標為2,過

x

點產(chǎn)作P0〃y軸，交X軸于點。，將線段QP繞點0順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段。若點材也在該反比例

函數(shù)的圖象上，則〃的值為（）

A.—B.石C.2百D.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】作拗iLx軸交于點M分別表示出。乂J用利用左值的幾何意義列式即可求出結(jié)果.

【詳解】解：作業(yè)VJ_x軸交于點M如圖所示，

???尸點縱坐標為：2,

，尸點坐標表示為：（&,2）,PQ=2,

2

由旋轉(zhuǎn)可知：Q拒PT2,佇60°,

???/.他忙30°,

：?ON.MN=k,

即：-+y/3=k,

0

解得：A=2』，

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是女的幾何意義，表示出對應線段是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

9.分解因式：m2+3m=_______.

【答案】加(m+3)

【解析】

【分析】原式提取公因式加即可得到結(jié)果.

【詳解】解：+3加=機(機+3)

故答案為：利(利+3).

【點睛】本題主要考查了提公因式分解因式，正確找出公因式是解答本題的關(guān)鍵.

10.若關(guān)于x的方程X2+x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為_______.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)方程d+x+c=o有兩個相等的實數(shù)根，可得△=(),計算即可.

【詳解】???關(guān)于x的方程f+x+c=O有兩個相等的實數(shù)根，

/.A=l2-4xlc=0，

解得cj,

4

故答案為：y.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根時，△>()；有兩個

相等的實數(shù)根時，△=()；沒有實數(shù)根時，/<0；熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

11.《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客

多七客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9

人，則余下一間無人住，設(shè)店中共有x間房，可求得x的值為.

【答案】8

【解析】

【分析】設(shè)店中共有x間房，根據(jù)“今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9

人，則余下一間無人住”可列一元一次方程，求解即可.

【詳解】設(shè)店中共有十間房，

由題意得，7x4-7=9(x-l),

解得j=8,

所以，店中共有8間房，

故答案為：8.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，準確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點與量角器的中心0重合，且

兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于力、6兩點.若。4=5厘米，則A3的長度為_______厘米?(結(jié)

果保留兀)

0

【答案】2萬##2.54

2

【解析】

【分析】直接根據(jù)弧長公式進行計算即可.

【詳解】?.?4403=90。,04=5cm,

._90x"x55

AB=----------=一九cm，

1802

故答案為：.萬.

2

nnr

【點睛】本題考查了弧長公式，即/二而，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

13.跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC

和等邊三角形。所組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若48=27厘米，則這個正六邊形的周

長為_________厘米，

【答案】54

【解析】

【分析】設(shè)AB交EF、”與點M、N,力。交EF、功于點G、"BC交FD、即于點0、P,再證明△同雙4ANG、

△笈敗△比火、△67"、△四是等邊三角形即可求解.

【詳解】、設(shè)AB交EF、加與點風M力C交躍ED于點、G、H,BC交FD、戌亍點0、P,如圖，

二六邊形，的如％是正六邊形，

，/公法件120°,

/.ZM^ZM3A60°,

???△用加是等邊三角形，

同理可證明△力A。、4BVO、XDOP、△。公△砌是等邊三角形,

NG=AN,0六PD,G+HE,

,A＞，也也盼4VH仲朋=力8G卅Pm0回階P型PD=DE,

???等邊△/!次叫等邊

:"方DE,

???止27cm,

?Z^=27cm,

.正六邊形S/NGHPO供）周長為：NGhiaMSQKPJ代0六A濟D拄54cm,

故答案為:54.

【點睛】木題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握正六邊

的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.已知二次函數(shù)y=-21+3,當源/g時，函數(shù)值y的最小值為1,則a的值為.

【答案】-l-V3##-x/3-l

【解析】

【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點式可得當xvT時，y隨x的增大而增大，當”>-1時，y隨x的增大而

減小，然后分兩種情況討論：若aN—1：若av-1,即可求解.

【詳解】解：y=-x2-2x+3=-（x+l）2+4,

.??當1時，y隨x的增大而增大，當工>-1時，y隨x的增大而減小，

若。之一1,當戰(zhàn)火,時，y隨x的增大而減小，

2

17

此時當工二不時，函數(shù)值y最小，最小值為：，不合題意，

24

若avT,當x時，函數(shù)值y最小，最小值為1,

—cr—2。+3=1，

解得：。=一1一行或一1+石（舍去）；

綜上所述，a的值為-1-石.

故答案為：-1-Q

【點睛】本題主要考查了二次困數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.先化簡，再求值：（2+4）（2-4）+4（。+1）,其中4=—4.

【答案】4+〃，O

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式與單項式乘以單項式進行計算，然后將〃=&-4代入求值即可求解.

【詳解】解：原式=4—/+/+。

=4+4

當a二應—4時，原式=4+應—4=0

【點睛】本題考查了整式的混合運算，實數(shù)的運算，代數(shù)式求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

16.拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”.正面朝上記2分，

反面朝上記1分.小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次分數(shù)之和不大于3的概

率.

3

【答案】一

4

【解析】

【分析】采用列表法列舉即可求解.

【詳解】根據(jù)題意列表如下：

一次

第二4、12

123

234

由表可知，總的可能結(jié)果有4種，兩次之和不大于3的情況有3種，

3

故所求概率為：34-4=-,

4

3

即兩次分數(shù)之和不大于3的概率為一.

4

【點睛】本題考查了用列表法或者樹狀圖法列舉求解概率的知識，掌握用列表法或者樹狀圖法列舉求解概

率是解答本題的關(guān)鍵.

17.為了讓學生崇尚勞動，尊重勞動，在勞動中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動實踐活動.甲、乙兩班

在一次體驗挖土豆的活動中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時間相同.已知甲班平

均每小時比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時挖多少千克土豆？

【答案】乙班每小時挖400千克的土豆

【解析】

【分析】設(shè)乙班每小時挖x千克的土豆，則甲班每小時挖（100+x）千克的土豆，根據(jù)題意列出分式方程即可

求解.

【詳解】設(shè)乙班每小時挖x千克的土豆，則甲班每小時挖（100+力千克的土豆，

15001200

根據(jù)題意有:

x+ioo--T-

解得：尸400,

經(jīng)檢驗，產(chǎn)400是原方程的根，

故乙班每小時挖400千克的土豆.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，明確題意列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,其頂點稱為格點，△ABC的

頂點均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

(1)網(wǎng)格中△A8C的形狀是；

(2)在圖①中確定一點〃連結(jié)08、DC,使△03C與全等：

(3)在圖②中△A8C的邊8C上確定一點發(fā)連結(jié)AE，使△ABEs/xcBA：

(4)在圖③中△ABC的邊48上確定一點凡在邊理上確定一點。，連結(jié)P。，使△P8QSZ\A8C,且相

似比為1：2.

【答案】(1)直角三角形

(2)見解析(答案不唯一)

(3)見解析(4)翔解析

【解析】

【分析】(1)運用勾股定理分別計算出AB,AC,BC的長，再運用勾股定理逆定理進行判斷即可得到結(jié)論;

(2)作出點A關(guān)于BC的對稱點D,連接BD,CD即可得出△OBC與AABC全等：

(3)過點A作AE_LBC于點E,則可知△A6￡s2\C8A：

(4)作出以AB為斜邊的等腰直角三角形，作出斜邊上的高，交AB于點P,交BC于點Q,則點P,Q即為

所求.

【小問1詳解】

?:AB2=42+22=20,AC2=22+12=5,BC1=52=25

???AB2+AC2=BC2,

...dASC是直角三角形,

故答案為：直角三角形;

【小問2詳解】

如圖，點D即為所求作，使△O3C與△ABC全等:

如圖所示，點E即為所作，且使

【小問4詳解】

如圖，點P,Q即為所求，使得△P8Q-A48C,且相似比為1：2.

勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似

三角形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵.

19.如圖，在此“LBC中，ZABC=90%BC.點〃是AC的中點，過點〃作OEJ.AC交8c于

點￡延長石。至點凡使得。尸=Z)E,連接4E、A尸、CF.

A

\/D

BE

（1）求證：四邊形AEC尸是菱形；

BE1

（2）若』二:，貝ijtanNBC尸的值為.

EC4

【答案】（1）見解析（2）V15

【解析】

【分析】（1）根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；

（2）設(shè)班：=〃，則EC=4a,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=EC=W,AE//FC,勾股定理求得A8,

AD

根據(jù)NBCr=NBE4,tanZ^CF=tanZBE4=—，即可求解.

BE

【小問1詳解】

證明：???A0=DC,DE=DF，

:.四邊形AECF是平行四邊形，

,：DELAC,

二?四邊形4EC尸是菱形；

【小問2詳解】

小BE1

解：——=一,

EC4

設(shè)=則EC=4tz,

???四邊形AECV是菱形；

/.AE=EC=4a,AE//FC,

ZBCF=ZBEA,

在RtAABE中，AB=\lAE2-BE2=^（4a）2-a2=y/15a，

?.tanZBCF=tanZBE4=—=^^=715，

BEa

故答案為：

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

20.黨的十八大以來，我國把科技自立自強作為國家發(fā)展的戰(zhàn)略支撐，科技事業(yè)發(fā)生了歷史性、整休性、

格局性變化，成功跨入創(chuàng)新型國家的行列，專利項目多項指數(shù)顯著攀升?如圖是長春市2016年到2020年

(1)長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是年:

(2)長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是

(3)與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了_______件，專利授權(quán)量年增長率提高了_______個

百分點；(注：1%為1個百分點)

(4)根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，有下列說法，正確的畫“J”，錯誤的畫“X”.

①因為2019年的專利授權(quán)量年增長率最低，所以2019年的專利授權(quán)量的增長量就最小?()

②與2018年相比，2019年的專利授權(quán)量年增長率雖然下降，但專利授權(quán)量仍然上升?這是因為專利授權(quán)量

當年專利授權(quán)量一上一年專利授權(quán)量

年增長率二xlOO%,所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當年

上一年專利授權(quán)量

專利授權(quán)量就一定增加.()

③通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可以看出長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢，為國家科技自立自強貢獻吉林力量.()

【答案】(1)2020

(2)18.1%(3)5479,30.2

(4)①X,②③J

【解析】

【分析】(1)觀察統(tǒng)計圖可得專利授權(quán)量最多的是2020年，即可求解；

(2)先把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列，即可求解；

（3）分別用2020年長春市專利授權(quán)量減去2019年長春市專利授權(quán)量，202Q年專利授權(quán)量年增長率減去

2019年專利授權(quán)量年增長率，即可求解：

（4）①根據(jù)題意可得2017年的的專利授權(quán)量的增長量低于2019年的，可得①錯誤；②根據(jù)專利授權(quán)量年

增長率二口當年］專利:授權(quán)二量-上一二年專利”授又權(quán)伏量軍X100%,可得②正確；③觀察統(tǒng)計圖可得從2016年到

上一年專利授權(quán)量

2020年，每年的專利授權(quán)量都有所增加，可得③正確，即可求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是2020年；

故答案為：2020

【小問2詳解】

解：把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列為：15.8%,16.0%,18.1%,25.4%,46.0%,

位于正中間的是18.1%,

???專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是18.1%；

故答案為：18.陶

【小問3詳解】

解：與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了17373Tl894=5479件；

專利授權(quán)量年增長率提高了46.0%-15.8%=30.2%,

專利授權(quán)量年增長率提高了302個百分點；

故答案為:5479,30.2

【小問4詳解】

解：①因為2017年的專利授權(quán)量的增長量為8190-7062=1128件；2019年的專利授權(quán)量的增長量

11894-10268=1626件,

所以2019年的專利授權(quán)量的增長量高于2017年的專利授權(quán)量的增長量，故。錯誤；

故答案為：X

當年專利授權(quán)量-上一年專利授權(quán)量

②因為專利授權(quán)量年增長率=xlOO%,

上一年專利授權(quán)量

所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當年專利授權(quán)量就一定增加，故②正確;

故答案為：V

根據(jù)題意得：從2016年到2020年，每年的專利授權(quán)量都有所增加，

所以長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢，故③正確；

故答案為：J

【點睛】本題主要考查了折線統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖，理解統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

21.己知/、8兩地之間有一條長440千米的高速公路.甲、乙兩車分別從48兩地同時出發(fā)，沿此公路

相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小

時到達8地；乙車勻速行駛至月地，兩車到達各自的目的地后停止.兩車距4地的路程y（千米）與各自的

行駛時間￥（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（2）求兩車相遇后，甲車距力地的路程？與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）當乙車到達月地時，求甲車距力地的路程.

【答案】（1）2.6（2）甲車距力地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=6O_r+8O

（3）300千米

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)甲乙兩午相遇時甲車行駛的路程除以速度可求出加的值，再用加的值加4即可得〃的

值；

（2）由（1）得（2,200）和（6,440）,再運用待定系數(shù)法求解即可'；

（3）先求出乙車的行駛速度，從而可求出行駛時間，代入函數(shù)關(guān)系式可得結(jié)論.

【小問1詳解】

根據(jù)題意得，小=200+100=2（時）

〃=，九+4=2+4=6（時）

故答案為：2.6；

【小問2詳解】

由（D得（2,200）和（6,440）,

設(shè)相遇后，甲車距力地的路程y與*之間的函數(shù)關(guān)系式為丁=奴+方

2&+匕=200

則有:

6%+/?=44()

%=60

解得，

力=80

甲車距力地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=60x+80

【小問3詳解】

甲乙兩車相遇時，乙車行駛的路程為440-200=240千米,

，乙車的速度為：240+2=120（千米/時）

，乙車行完全程用時為：440+120=?（時）

3

11）

>2

3

，當x=g■時，y=60x?+80=300千米，

即：當乙車到達力地時，甲車距/!地的路程為300千米

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，讀懂圖象是解答本題的關(guān)鍵.

22.【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的幽紙，如圖①，矩形A8C。為它的示意圖.他

查找了別紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中=他先將網(wǎng)紙沿過點力的直線折疊，使

點8落在AO上，點5的對應點為點￡方痕為人尸；再沿過點尸的直線折疊，使點。落在E尸上，點。

的對應點為點"折痕為尸G；然后連結(jié)AG,沿4G所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點〃與點尸重合，進而猜

想△ADG名AAFG.

圖①圖②

【問題解決】

（1）小亮對上面AADG四的猜想進行了證明，下面是部分證明過程:

證明：四邊形A8CO是矩形，

???/BAD=NB=NC=NO=90。.

由折置可知，^BAF=-^BAD=45a,/BFA=7EFA.

2

???ZEM=ZBE4=45°.

???AF=42AB=AD-

請你補全余下的證明過程.

【結(jié)論應用】

(2)ND4G的度數(shù)為_______度，或的值為__________；

AF

(3)在圖①的條件下，點/在線段AF上，且點0在線段AG上，連結(jié)/Q、PQ,如圖②，

設(shè)則尸。+尸。的最小值為________.(用含a的代數(shù)式表示)

【答案】(1)見解析(2)22.5°,72-1.

⑶旦

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得仍力F，ZAFG=ZD=90°,由應可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NZMG=LNDA產(chǎn)=22.5。；證明AGCb是等腰直角三角形，可求出訪的長,

2

從而可得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可知點尸與點。關(guān)于NG對稱，連接做則乃為即用最小值，過煎P作PR上AD,求出

PPA%昱a,求出胸，根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論.

4

【小問1詳解】

證明：四邊形43co矩形，

???NB4O=N8=NC=N￡>=90。.

由折疊可知，ZBAF=-ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.

2

???NE/弘=NW弘=45。.

???AF=QAB=AD.

由折疊得，NCFG=/GFH=45°,

???ZAFG=ZAFE+Z.GFE=45°+45°=90°

???ZAFG=ZD=90°

又AMF,AG^AG

???/\ADG^/\AFG

【小問2詳解】

由折疊得，NBAF=NEAF,

又NAAF+NEA/=90°

ZEAF=-/BAE=-x90°=45°,

22

由AADG絲AAFG得，NDAG=ZFAG=-ZFAD=-x450=22.5°,

22

NA尸G=NAZ)G=90°,

又NA產(chǎn)8=45°

AZGFC=45°,

AZFGC=45°,

：.GC=FC.

設(shè)A3=匹則8尸=x,A尸=JIr=AO=8C,

???FC=BC-BF=>/2x-x=(y/2-\)x

???GF=yf2FC=(2-y/2)x

...且=勺處3]

AF

【小問3詳解】

如圖，連接F。，

ARED

???DG=FG

.,./G是加的垂直平分線，即點尸與點〃關(guān)于力G軸對稱,

連接勿交4G于點0，則即⑶的最小值為勿的長；

過點尸作PR上AD交加于點R,

yZDAF=ZBAF=45'

，NAPR=45°.

：?AR=PR

又AR2+PR2=AP2=(￡)2=:

???AR=PR=—a,

4

：?DR=AD-AR=42a--a=-y/2a

44

在Rt\DPR中,DP2=AR2+PR2

???DP=y)AR2+PR2=J(^a)2+a)2=^a

???尸Q+世的最小值為無a

2

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定

理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

23.如圖，在oABCD中，A5=4,4D=3O=JT5,點"為邊A8的中點，動點P從點力出發(fā)，沿折

線以每秒個單位長度的速度向終點6運動，連結(jié)PM.作點1關(guān)于直線PM的對稱點4,

連結(jié)A'P、AM.設(shè)點尸的運動時間為1秒.

（2）用含Z的代數(shù)式表示線段OP的長；

（3）連結(jié)AD，當線段AD最短時，求△￡>口?的面積;

（4）當以A'、C三點共線時，直接寫出片的值.

【答案】（1）3（2）當0W1W1時，DP=V13-Vi3/：當1V￡W2時，尸。=Ji弓-布；

【解析】

【分析】（1）連接〃從根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再由勾股定理，即可求解；

（2）分兩種情況討論：當0W-W1時，點尸在力〃邊上；當1VCW2時，點?在劭邊上，即可求解：

（3）過點尸作砌_如于點￡,根據(jù)題意可得點力運動軌跡為以點也為圓心，4,長為半徑的圓，可得到當

點。、4、J/三點共線時，線段4。最短，此時點P在49上，再證明可得

2

DE=3-3tyPE=2-2tf從而得到A%=。七一4。二2—3,，在心“VPE中，由勾股定理可得/=不，

即可求解；

（4）分兩種情況討論：當點火位于M。之間時，此時點尸在初上；當點A（A〃）位于。獷的延長線上

時，此時點刀在做上，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖，連接。從

?：A斤4,4。=5￡>=萬，點加為邊48的中點,

???4生爾，2,D1LLAB,

：?DM=y/AD2-AM2=3，

即點力到邊A8的距離為3；

故答案為：3

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意得：當OW，W1時，點戶在力〃邊上,

DP二屈-屈

當lvtW2時，點尸在切邊上，PD=>/T3r-Vi3；

綜上所述，當OWtWl時，DP=屈-/t；當1VEW2時，PD=M-屈;

【小問3詳解】

???"始4g2,

點A的運動軌跡為以點材為圓心，力必長為半徑的圓，

，當點。、HM三點共線時，線段AQ最短，此時點尸在初上,

???A￡>=1，

根據(jù)題意得：A/=AP=Ji5f,DP=^-屈t,

由（1）得：rnflAB,

二心呵

:.PE//AB,

???△/場s△力〃機

.PDDEPE

??茄一而一行‘

.屈_屈1DEPE

??----M-==---，

V1332

解得：DE=3-3i,PE=2-2t,

AE=DE-AD=2-3t,

在中，AfP2=PE2+AE2

/.(Vi3r)2=(2-2r)2+(2-3r)2,解得：r=-,

:.PE=-

5f

：?^=1xlx|=|：

44。J

【小問4詳解】

當點M、A'、C三點共線時，且點A'位于機。之間時，此時點尸在力〃上，

連接,A1B,過點尸作用］_力8于點E過點"作"于點G,則441PM,

??38為直徑，

工/4=90°,即AArLA'B,

：.PM/!A'B>

：?NF雁NABA',

過點，作CN1AB交47延長線于點N,

在oABCZ）中，AB//DC,

?：DMLAB,

：.DM/!CNy

???四邊形?！哆摓槠叫兴倪呅?，

:,CN=DM=3,M2CD=4,

佐5,

CN3

???sinZCM/V=—=-,

CM5

■:A'滬2,

,ArG=2x-=-

55

Q

?,MG=2,

5

??BG=BM-MG=~,

5

NG

?.tanZA,BA=—=3,

BG

*.tan/PMF=tanZABA=3,

,.—=3,即上34機

FM

DMPF_3AF2

：tanZ.DAM=cosZDAM=—

~AM~~AF~2AD713

3

??PF=-AF,

2

3

??3FM=-AF,即A產(chǎn)2FM,

2

:4JU2,

?.AF=-,

_2

??_3_=;_,解得：/=-；

Vl3/-7133

如圖，當點A'（A〃）位于CM的延長線上時，此時點戶在做上，PB=2j\3-yf\3t，

過點A〃作A〃G_LAB于點G',則NAA%〃=NCMN,取44〃的中點〃，則點J/、P、〃三點共線，過點

〃作HKVAB于點K,過點。作于點T,

同理:A"G，=*AG，=,,

,:HK1AB,A"G'_LAB,

A''G',

:?&AHK?△A4〃G,

?.?點〃是A4〃的中點,

.HKAKAH1

??477，_/一而一/'

31

???HK=—，AK=-,

55

9

???MK=3,

5

HK1

tan4PMT=tanNHMK=——=-

MK3

PT1

:.——=-,即nn〃r3尸7,

DMPT_3BM_2

VtanZPBT=8s叩嚕

~BT~2BD-713

???BT=-PT,

3

9

???MT=-BT,

2

■:MRB4BM-2,

4

???BT=一,

11-2,解得：t=—；

2>/13-Vi3r-V1311

綜上所述，，的值為2;或三20.

【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點4的運動軌跡是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題.

24.在平面直角坐標系中，拋物線）=/一版（6是常數(shù)）經(jīng)過點（2,0）.點4在拋物線上，且點火的橫坐

標為卬（相￥0）.以點力為中心，構(gòu)造正方形尸QMN,PQ=2\n^f且PQ_Lx軸.

（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式：

（2）若點8是拋物線上一點，且在拋物線對稱軸左側(cè).過點6作x軸的平行線交拋物線于另一點C,連接

BC.當BC=4時，求點6的坐標；

（3）若機＞0,當拋物線在正方形內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，或者y隨x的增大而減小時，

求/〃的取值范圍；

(4)當拋物線與正方形PQMN的邊只有2個交點，且交點的縱坐標之差為之時，直接寫出勿的值.

4

【答案】(1)y=x2-2x

(2)B(-l,3)

(3)0＜加￡2或加23

2

313

(4)m=一一或加=一或機=—.

822

【解析】

【分析】(1)將點(2,0)代入y=d一公，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)設(shè)8(見加2一2”)，根據(jù)對稱性可得。(2-根,相2—2m)，根據(jù)BC=4,即可求解；

(3)根據(jù)題意分兩種情況討論，分別求得當正方形PQMN點。在x軸上時，此時M與。點重合，當尸Q經(jīng)

過拋物線的對稱軸x=l時，進而觀察圖象即可求解；

(4)根據(jù)題意分三種情況討論，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點的坐標位置，即可求解.

【小問1詳解】

解：?:拋物線(。是常數(shù))經(jīng)過點(2,0)

：.4-2b=0

解得人=2

二.y=x2-2x

【小問2詳解】

如圖，

由y=f_2x=（x-l）2-1

則對稱軸為直線x=l,

設(shè)3（機，加一2相），則。（2-〃7,那一2加）

,:BC=2-m-m=4

解得w=-l

8（-1,3）

【小問3詳解】

???點幺在拋物線上，且點力的橫坐標為勿（加工0）.以點/為中心，構(gòu)造正方形PQMN,P2=2|/n|,且

PQ~Lx軸

:.MN^PQ^Q\n\,且在y軸上，如圖，

①當拋物線在正方形內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，如圖，當正方形尸點。在x軸上時,

此時M與。點重合，

「?OP的解析式為y=x

，A（加,〃?），將代入y=爐-2x

即m2-2m-m=0

解得場=0,加2二3

*/m>0

"（3,3）

觀察圖形可知，當〃?23時，拋物線在正方形內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而增大；

②當拋物線在正方形內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而減小時，當PQ經(jīng)過拋物線的對稱軸x=l時,

,/MQ=PQ=217?），〃7>0

:.2m=\

解得m=—,

2

觀察圖形可知，當時，拋物線在正方形內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而增大;

綜上所述，勿的取值范圍為0或〃

2

【小問4詳解】

33

①如圖，設(shè)正方形與拋物線的交點分別為民尸，當為-》「二:時，則MN=：

44

A是正方形PQMN的中心，A^n,m2-2m^

No

BPw=--

8

A{m,nr-2m)

=

yEyA+~MN=yA+rn=rn~—2m十m=nr—rn

???交點的縱坐標之差為3,

4

3

尸的縱坐標為-m--

4

?.?尸的橫坐標為MQ=PQ=2m

.，23）

..r2m,m-m——

\4J

尸在拋物線y=x2-2x±,

32

/.zn2-zn--=（27n）-2x2m

解得!

2

③當A在拋物線對稱軸的右側(cè)時，正方形與拋物線的交點分別為0,S工設(shè)直線AM交x軸于點T，如圖,

匕i

v-H

3

貝rt5I=%=彳

3

.?.0"=。7=二

4

即加足）,亞,0、

設(shè)直線MN解析式為y=kx^b

-k+b=O

4

則c

k=-\

解得L3

b=—

4

3

???直線MN解析式為y=-x+-

聯(lián)立y=x2-2x

31

解得辦=1，%2=-/（舍去）

33

即A的橫坐標為大，即〃2=大，

22

3

綜上所述，m二-二或機二1一或加=一3.

822

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)的對稱性，正方形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

2021年吉林中考數(shù)學真題及答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.-（-2）的值為（）

A.AB.-AC.2D.-2

22

【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義可得答案.

【解答】解：?（?2）的值為2.

故選：C,

2.據(jù)報道，我省今年前4個月貨物貿(mào)易進出口總值為52860000000元人民幣，比去年同期增長28.2%.其

中52860000000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.5286X10"B.5.286X1O10

C.52.86X10°I）.5286X107

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為々X10〃的形式，其中l(wèi)W|a|V10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把

原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【解答】解：52860000000=5.286X1O10.

故選：B.

3.如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.圓錐B.長方體C.球D.圓柱

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

【解答】解：由于主視圖和俯視圖為長方形可得此幾何體為柱體，由左視駕為圓形可得為圓柱.

故選：D.

4.關(guān)于x的一元二次方程系-6戶/=0有兩個不相等的實數(shù)根，則r的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=（-6）2-4加＞0,然后解關(guān)于卬的不等式，最后對各選項進行判斷.

【解答】解：根據(jù)題意得△=（-6）2-4加＞0,

解得〃/<9.

故選：A.

5.如組是凈月潭國家森林公園?段索道的示意圖.已知力、6兩點間的距離為30米，ZJ=a,則纜車從力

點到達占點，上升的高度（8。的長）為（）

」小

A.30sina米B.戰(zhàn)米C.30cosa米D.30一米

sinCLcosa

【分析】根據(jù)sina=里求解.

AD

【解答】解：??飛江。=區(qū)=弛，

AB30

???灰=30sina米.

故選:A.

6.如圖，力8是。。的直徑，勿是。。的切線，若N為C=