浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析1

浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考生須知：1.本卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)；3.全部答案必需寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷（選擇題部分，共40分）一、選擇題：本題共8小題.每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.集合的子集個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】干脆列出集合的全部子集即可.【詳解】集合的子集有，，，，，，，共8個(gè).故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式后，依據(jù)集合的包含關(guān)系可得解.【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的推斷，一般可依據(jù)如下規(guī)則推斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．3.命題“，”的否定是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可解出.【詳解】命題“，”的否定為“，”．故選：C.4.已知，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)可得：，則，將不等式兩邊同時(shí)乘以即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則有，將不等式的兩邊同時(shí)乘以可得：，所以，故選：.5.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意求出集合S,T，再用并集運(yùn)算即得解.【詳解】由解得，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以，則，所以.故選：C.6.對(duì)于函數(shù)，下列表述中錯(cuò)誤的是（）A.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)锽.若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性和定義域分別進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】對(duì)于，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑒t，所以，解得：，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于軸對(duì)稱，而函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)?，即，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故選項(xiàng)正確，綜上：表述錯(cuò)誤的是，故選：.7.已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，其值域也是，并且對(duì)于隨意的，都有，則等于（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件可得“存在，使得”，再利用給定函數(shù)關(guān)系式，求出解析式即可計(jì)算作答.【詳解】由于在上單調(diào)，且值域?yàn)椋瑒t必存在，使得，令得，，即，于是，，則，從而，有.故選：D8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).并且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)隨意的恒成立，則的最大值是（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性以及所給的解析式確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，令，分別參變量，用基本不等式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且小于0，則在上單調(diào)遞增，若，則，則原式?，令，則上式?，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即即時(shí)取等，從而.故選:D.二、選擇題：本題共4小題.每小題4分，共16分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】AC【解析】【分析】若兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域以及函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系都得相同，所以只要逐一推斷每個(gè)選項(xiàng)中定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同即可．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，的定義域與的定義域均為，且，∴是同一函數(shù)，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋嗖皇峭缓瘮?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，的定義域與的定義域均為，且，∴是同一函數(shù)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，∴不是同一函數(shù)．故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.下列關(guān)于函數(shù)解析式的敘述中，正確的是（）A.若，則B.若，則C.若一次函數(shù)滿意，則D.若奇函數(shù)滿意當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】【分析】換元法可求A,構(gòu)造方程組求解析式求B，依據(jù)一次函數(shù)的解析式求C，利用奇函數(shù)的定義求D.【詳解】對(duì)于A,，且，所以，A正確；對(duì)于B，由得，聯(lián)立解得，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，即，所以解得或，所以或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，時(shí)，，且函數(shù)為奇函數(shù)，所以，D錯(cuò)誤，故選:AB.11.下列選項(xiàng)正確是（）A.若，則的最小值為2B.若，則的最小值為C.若，則的最小值為D.若，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用或構(gòu)造基本不等式逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，所以選項(xiàng)D正確．故選：ABD.12.設(shè)，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A.與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則B.與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則C.的解集是D.的解集是【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)題意作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】函數(shù)圖象圖所示：由圖可知，若與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故A正確；若與有三個(gè)交點(diǎn)，則，故B正確；若，則，故C正確；若，則，則，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.第Ⅱ卷（非選擇題部分，共60分）三、填空題：本題共4小題.每小題3分，共12分.13.不等式的解集為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式解法求解.【詳解】由得，，整理得，解得或.故答案為:.14.若函數(shù)是冪函數(shù)，且滿意，則的值為_(kāi)_______.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)表達(dá)式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，由，解得，所以，則.故答案為：4.15.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，.則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】分別常數(shù)后求得，再推斷的值域.【詳解】∵，又，故，則，故答案為：16.若，且，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式求解.【詳解】原式，當(dāng)，且時(shí)取等,故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共48分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.計(jì)算：（1）；（2）已知，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；(2)依據(jù)完全平方分別求出分子、分母即可求解【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】，，，，.18.已知集合，.（1）若，求；（2）若為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)分式不等式和不等式組的解集即可求解；（2）依據(jù)是否為空集，分類(lèi)探討比較參數(shù)范圍即可求解.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，，.【小問(wèn)2詳解】①，即，此時(shí)明顯成立，②()：或，得：.綜上所述，的取值范圍是.19.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的值，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸可求得；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）將化簡(jiǎn)為一元二次不等式，確定其對(duì)應(yīng)方程的兩根，并探討兩根的大小，從而確定不等式解集.【小問(wèn)1詳解】由題意函數(shù)，，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，則，此時(shí)，定義域?yàn)椋趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為：.【小問(wèn)2詳解】不等式即化簡(jiǎn)為：，對(duì)于，其圖象拋物線開(kāi)口向上，且有兩根和，①時(shí)，此時(shí)兩根相等，則的解集為.②時(shí)，此時(shí)，則不等式解集為.③時(shí)，此時(shí)，則.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.20.設(shè)定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿意（其中），且.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)由已知可得，結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)變形求解即可；(2)令，函數(shù)可化為關(guān)于函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值，列方程求的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，，又，，所以或(舍)，從而，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，，所以，令，則：所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，所以，所以.21.二十大的順當(dāng)召開(kāi)，標(biāo)記著我們黨對(duì)長(zhǎng)期執(zhí)政的馬克思主義政黨建設(shè)的規(guī)律性相識(shí)達(dá)到了新的高度，也標(biāo)記著中國(guó)共產(chǎn)黨帶領(lǐng)中國(guó)人民踏上了其次個(gè)百年奮斗目標(biāo)的趕考之路.為了慶祝二十大的順當(dāng)閉幕，某地印刷廠擬將部分亞運(yùn)會(huì)宣揚(yáng)冊(cè)的生產(chǎn)線關(guān)閉，轉(zhuǎn)而生產(chǎn)二十大紀(jì)念冊(cè).已知兩種產(chǎn)品的售價(jià)（單位：元/冊(cè)）都限制在的范圍中，且在市場(chǎng)調(diào)研中，預(yù)期11月亞運(yùn)會(huì)宣揚(yáng)冊(cè)的銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)冊(cè)）與其售價(jià)（單位：元/冊(cè)）的關(guān)系為，預(yù)期11月二十大紀(jì)念冊(cè)的銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)冊(cè)）與其售價(jià)（單位：元/冊(cè)）的關(guān)系為，求：（1）若兩種產(chǎn)品的售價(jià)都為5元/冊(cè)，求總銷(xiāo)售額；（2）兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別定為多少時(shí)，可以獲得最大的總銷(xiāo)售額，并求此時(shí)最大總銷(xiāo)售額.【答案】（1）30萬(wàn)元（2）元/冊(cè)和元/冊(cè)，萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由兩種產(chǎn)品的售價(jià)都為5元/冊(cè)，先求出，，相加即可；（2）①設(shè)亞運(yùn)會(huì)宣揚(yáng)冊(cè)的銷(xiāo)售額為（萬(wàn)元）：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分別求出最大值，②設(shè)二十大紀(jì)念冊(cè)的銷(xiāo)售額為（萬(wàn)元）：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，分別求出最大值,把兩類(lèi)最大值相加即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)銷(xiāo)售額為（萬(wàn)元），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)銷(xiāo)售額為（萬(wàn)元），所以總銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）.【小問(wèn)2詳解】①設(shè)亞運(yùn)會(huì)宣揚(yáng)冊(cè)的銷(xiāo)售額為（萬(wàn)元）：當(dāng)時(shí)，，令，則，在，即時(shí)取最大值，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取最大值，從而當(dāng)時(shí)，最大，最大值為.②設(shè)二十大紀(jì)念冊(cè)的銷(xiāo)售額為（萬(wàn)元）：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，則在時(shí)取最大值，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則小于，從而當(dāng)時(shí)，最大，最大值為.綜上所述，亞運(yùn)會(huì)宣揚(yáng)冊(cè)和二十大紀(jì)念冊(cè)的售價(jià)應(yīng)分別定為元/冊(cè)和元/冊(cè)，最大的總銷(xiāo)售額為萬(wàn)元.22.設(shè)函數(shù).（1）若，且在上恒成立，求取值范圍；（2）若常數(shù)滿意，且在上有解，求的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)分別參變量，進(jìn)而可