新教材2024-2025學年高中數(shù)學第一章數(shù)列2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第1課時等差數(shù)列的概念及其通項公式分層作業(yè)北師大版選擇性必修第二冊

2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第1課時等差數(shù)列的概念及其通項公式A級必備學問基礎練1.設{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37=()A.0 B.37 C.100 D.-372.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣,自冬至日起,其日影長依次成等差數(shù)列,立春當日日影長為9.5尺,春分當日日影長為6尺,則立夏當日日影長為()A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺3.若數(shù)列{an}滿意3an+1=3an+1,則數(shù)列{an}()A.是公差為1的等差數(shù)列 B.是公差為13C.是公差為-134.已知等差數(shù)列1,-1,-3,-5,…,-89,則它的項數(shù)是 ()A.92 B.47 C.46 D.455.設數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,若a2=4,a4=6,則d等于()A.4 B.3 C.2 D.16.[2024北京豐臺第十二中學?？计谥衇在等差數(shù)列{an}中,若a1=5,a5=1,則a6=.

7.[2024浙江杭州四中?？计谥衇已知數(shù)列{an}的遞推公式an+1=anan+1,且首項a1=1,則a8.[2024廣東廣州試驗中學階段練習]已知在數(shù)列{an}中,對隨意的n∈N+,都有an+an+1=4n.(1)若{an}為等差數(shù)列,求{an}的通項公式;(2)若a1=3,求{an}的通項公式.B級關鍵實力提升練9.在等差數(shù)列{an}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,則公差d=()A.1 B.2 C.13 D.10.在等差數(shù)列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則b15等于()A.30 B.45 C.90 D.18611.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值為()A.24 B.22 C.20 D.-812.圖1是程陽永濟橋,又名“程陽風雨橋”,因為行人過往能夠躲避風雨而得名.已知程陽永濟橋上的塔從上往下看,其邊界構成的曲線可以看作正六邊形結構,如圖2所示,且各層的六邊形的邊長均為整數(shù),從內(nèi)往外依次成等差數(shù)列,若這四層六邊形的周長之和為156,且圖2中陰影部分的面積為3323,則最外層六邊形的周長為(A.30 B.42 C.48 D.5413.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的首項為-32,若{an}從第6項起出現(xiàn)正數(shù),則公差d的值可能為(A.13 B.310 C.314.(多選題)在等差數(shù)列{an}中每相鄰兩項之間都插入k(k∈N+)個數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列{bn}.若b9是數(shù)列{an}的項,則k的值可能為()A.1 B.3 C.5 D.715.若a,x1,x2,x3,b與a,y1,y2,y3,y4,y5,b均為等差數(shù)列,則x3-x16.[2024安徽宣城高二統(tǒng)考期末]數(shù)列2an+1是等差數(shù)列,且a1=1,a4=-12,那么a17.數(shù)列{an}滿意a1=4,an=4-4an-1(n≥2),設b(1)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列嗎?試證明;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練18.已知等差數(shù)列{an}滿意a3=5,a4+a6=18.(1)求{an}的通項公式;(2)若對一切n∈N+,an≥λn恒成立,求λ的取值范圍.

參考答案§2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第1課時等差數(shù)列的概念及其通項公式1.C設cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差數(shù)列,則{cn}也是等差數(shù)列,且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,∴{cn}的公差d=c2-c1=0.∴c37=100,即a37+b37=100.故選C.2.D設日影長依次成等差數(shù)列{an},其公差為d.則a4=9.5,a7=6,∴6=9.5+3d,∴d=-76∴a10=a4+6d=9.5+6×-76=2故選D.3.B由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=13,所以數(shù)列{an}是公差為134.C設公差為d,d=-1-1=-2,∵-89為第n項,則-89=a1+(n-1)d=1+(n-1)·(-2),解得n=46.5.D∵a4-a2=a1+3d-(a1+d)=6-4=2.∴d=1.6.0∵在等差數(shù)列{an}中,由a1=5且a5=a1+4d=1,解得a∴a6=5+5×(-1)=0.7.1n因為an+1=anan+1,且a1=1,則a以此類推可知,對隨意的n∈N+,an>0,在等式an+1=anan+1兩邊取倒數(shù)可得1a所以數(shù)列1an為等差數(shù)列,且其首項為11an=1+(n-1)×1=n,故對隨意的n∈N+,an=8.解(1)由條件an+an+1=4n,可得a1+a2=4,a2+a3=8,因為{an}為等差數(shù)列,設公差為d,由上式可得a1+所以{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)由條件an+an+1=4n,可得an+1+an+2=4(n+1),兩式相減得an+2-an=4.因為a1=3,所以a2=1,數(shù)列{an}的奇數(shù)項是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2k-1=a1+(k-1)d=4k-1,偶數(shù)項是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2k=a2+(k-1)d=4k-3.綜上,an=29.D等差數(shù)列{an}中,∵a2+a3+a4=6,a6=4,∴3a1+6d=6,a1+5d=4,解得d=23,故選D10.C設數(shù)列{an}的公差為d,則a解得a1=3,d=3,∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a∴b15=6×15=90.11.A設公差為d,∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.12.C設該圖形中各層的六邊形邊長從內(nèi)向外依次為a1,a2,a3,a4成等差數(shù)列,由題意得6(a1+a2+a3+a4)=156,即a1+a2+a3+a4=26,所以2a1+3d=13.因為陰影部分的面積S=6×34×(a22-所以2a1d+d2=11,聯(lián)立得2解得a1故a4=a1+3d=8,所以最外層六邊形的周長為48.13.ACan=-32+(n-1)d∵從第6項起先為正數(shù),∴a6=-32+5d>0,a5=-32+4解得310<d≤3814.ABD由題意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,∴在等差數(shù)列{an}中的項在新的等差數(shù)列{bn}中間隔排列,且下標是以1為首項,k+1為公差的等差數(shù)列,則an=b1+(n-1)(k+1),∵b9是數(shù)列{an}的項,令1+(n-1)(k+1)=9,當n=2時,k=7,當n=3時,k=3,當n=5時,k=1,故k的值可能是1,3,7.15.32設等差數(shù)列a,x1,x2,x3,b的公差為m,等差數(shù)列a,y1,y2,y3,y4,y5,b的公差為n則有b=a+4m,且b=a+6n,∴4m=6n,即2m=3n,則x316.-10101011令bn=2an+1,因為a1=1,a所以b1=1,b4=4,則{bn}的公差為4-1所以bn=n,故an=2n-所以a2024=22022-1=11011-1=-17.解(1)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.證明如下:由已知可得,an+1=4-4an,則bn+1=所以bn+1-bn=an所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)由(1)知,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項b1=1a1-2所以bn=b