四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試文試題含解析

Page1四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試（文）試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將選項(xiàng)填涂在答題卡上）1.集合，，則等于（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)交集運(yùn)算法則干脆計(jì)算即可.【詳解】，，則.故選：A2.已知，則z的虛部是（）．A.5 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得.【詳解】,虛部是.故選：C.3.在手工課上，老師將這藍(lán)、黑、紅、黃、綠5個(gè)紙環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，每人分得1個(gè)，則事務(wù)“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（）．A.對(duì)立事務(wù) B.不行能事務(wù)C.互斥但不對(duì)立事務(wù) D.不是互斥事務(wù)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的概念求解即可.【詳解】甲、乙不行能同時(shí)得到紅色，故這兩件事是互斥事務(wù).又因?yàn)榧?、乙可能都拿不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事務(wù)不是必定事務(wù)，所以這兩件事不是必定事務(wù).故選：C4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先推斷函數(shù)的奇偶性解除B,D，再依據(jù)f(1)解除C得解.【詳解】由題得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，解除選項(xiàng)B,D.由題得，所以解除選項(xiàng)C.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查函數(shù)的奇偶性的推斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.5.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為（）．A.6 B.5 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意作出可行域，進(jìn)而依據(jù)z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖，作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，得三角形ABC，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值，聯(lián)立，此時(shí)．故選：D.6.函數(shù)在上是（）．A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.先增后減 D.先減后增【答案】A【解析】【分析】干脆利用三角函數(shù)圖像與性質(zhì)推斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，依?jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)知，此時(shí)單調(diào)遞增;故選：A7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中幾何模型“陽(yáng)馬”意指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．某“陽(yáng)馬”的三視圖如圖所示，則它的體積為（）．A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先還原幾何體，由棱錐的體積公式求解即可.【詳解】如下圖，還原幾何體，其中平面，底面為矩形，，，側(cè)棱，所以四棱錐的體積為.故選：C8.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個(gè)險(xiǎn)種，并對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：

用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）．A.57周歲以上參保人數(shù)最少B.18～30周歲人群參?？傎M(fèi)用最少C.C險(xiǎn)種更受參保人青睞D.31周歲以上的人群約占參保人群80％【答案】B【解析】【分析】依據(jù)扇形圖、散點(diǎn)圖、頻率圖對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是，是最少的，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，“18～30周歲人群參保平均費(fèi)用”比“57周歲以上人群參保平均費(fèi)用”的一半還多，而18～30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，所以57周歲以上參保人群參?？傎M(fèi)用最少，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，C險(xiǎn)種參保比例，是最多的，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，31周歲以上的人群約占參保人群，D選項(xiàng)正確.故選：B9.已知數(shù)列中，，當(dāng)其前項(xiàng)和最小時(shí)，n是（）．A.4 B.5 C.5或6 D.4或5【答案】D【解析】【分析】令，求出的范圍，即可得出答案.【詳解】令，可得，令，可得，又，所以當(dāng)其前項(xiàng)和最小時(shí)，4或5.故選：D.10.已知函數(shù)，其中表示不大于x的最大整數(shù)（如，），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案.【詳解】令，則，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)?，所以，所以，由圖可知的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).故選：C11.過(guò)橢圓：（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)作直線：交于，兩點(diǎn)，，，則的值為A. B. C. D.不能確定【答案】B【解析】【分析】消去參數(shù)得到橢圓的一般方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的一般方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由此求得的值.【詳解】消去參數(shù)得到橢圓的一般方程為，故焦點(diǎn)，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得.故（異號(hào)）.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的參數(shù)方程化為一般方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查利用直線參數(shù)的幾何意義解題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12.關(guān)于x方程的兩個(gè)根為a，b，且，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）．（1）；（2）；（3）；（4）．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)推斷（1），再由不等式的性質(zhì)推斷（2）（3），構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性推斷（4）.【詳解】方程的兩個(gè)根為a，b，所以，如圖，，，即，，故（1）正確；，，解得，故（2）正確；由，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，所以，故（3）正確；由知，，設(shè)，則，令解得，故當(dāng)時(shí)，，故在上遞增，因?yàn)?，所以，，故，又由上遞增知，則，故（4）錯(cuò)誤.故選：C二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填在答題卡指定橫線上）13.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，然后依據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示建立方程求解.【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，解?故答案為：.14.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的3倍，則______.【答案】##3.5【解析】【分析】由題意列出方程，求出.【詳解】由題知：，故由焦半徑公式得：.故答案為：.15.已知二次函數(shù)滿足條件：（1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；（2）曲線在處的導(dǎo)數(shù)為4，則的解析式可以是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取，確定函數(shù)為偶函數(shù)，，，滿足條件，得到答案.【詳解】取，則，函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；，，滿足條件.故答案為：（答案不唯一）16.已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、棱錐的體積公式、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋哉忮F外接球半徑，如圖所示，設(shè)外接球圓心為O，過(guò)向底面作垂線垂足為D，，要使正三棱錐體積最大，則底面與在圓心的異側(cè)，因?yàn)槭钦忮F，所以D是的中心，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，令，解得或，?dāng)，；當(dāng)，，所以在遞增，在遞減，故當(dāng)時(shí)，正三棱錐的體積最大，此時(shí)正三棱錐的高為，故正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.故答案為：三、解答題（本題共7小題，17～21題各12分，22或23題10分．解答過(guò)程應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)作答在答題卡上）17.已知等差數(shù)列{}的前三項(xiàng)和為15，等比數(shù)列{}的前三項(xiàng)積為64，且.（1）求{}和{}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列{}的前20項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等差，等比數(shù)列的性質(zhì)，分別求公差和公比，即可求得通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)（1）的結(jié)果求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件可知，，得，，所以，等比數(shù)列中，，則，，所以；【小問(wèn)2詳解】,對(duì)數(shù)列為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為6的等差數(shù)列，對(duì)數(shù)列為偶數(shù)，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為：.18.隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對(duì)飲食的要求也愈來(lái)愈高．某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嫚顩r，隨機(jī)抽取了100人對(duì)該地區(qū)的餐飲狀況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．請(qǐng)依據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問(wèn)題．組別分組頻數(shù)頻率第1組140.14第2組m第3組360.36第4組0.16第5組4n合計(jì)（1）求m，n，x，y的值；（2）滿足度在90分以上的4位居民為2男2女，現(xiàn)邀請(qǐng)2人參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求2人中有男性的概率．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）干脆依據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖計(jì)算即可；（2）利用列舉法結(jié)合古典概型求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得第四組的人數(shù)為，所以，，又內(nèi)的頻率為，所以，內(nèi)的頻率為0.04，所以；【小問(wèn)2詳解】設(shè)四個(gè)人為男1、男2、女1、女2，抽兩人有男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2，共6種狀況，有男性的狀況是男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2，總共5種，所以2人中有男性概率為．19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，點(diǎn)M在棱PD上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)N為BC中點(diǎn)．（1）若，求證：直線平面PAB；（2）已知點(diǎn)M滿足，求異面直線MN與AD所成角．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）90°．【解析】【分析】（1）取PA的一個(gè)靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)Q，連接MQ，QB，由題意可證得，再由線面平行的判定定理即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)M作，交AD于K，連接KN，由線面垂直的判定定理證明面MNK，即可得出，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】取PA的一個(gè)靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)Q，連接MQ，QB，因?yàn)?，所以且，又因?yàn)?，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以且，則四邊形MQBN為平行四邊形，所以，平面PAB，平面PAB，所以直線平面PAB．【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)M作，交AD于K，連接KN，可知面ABCD，因?yàn)槊鍭BCD，所以，又因?yàn)?，所以．∵∴，∴，，所以四邊形AKNB為平行四邊形，，又因?yàn)?，所以，又，∴面MNK，因?yàn)槊鍹NK，∴，所以異面直線MN與AD成角為90°．20.橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為A，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交x軸于點(diǎn)P，直線PB交橢圓E于另一點(diǎn)C，直線BA和CA分別交直線l于點(diǎn)M和N，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率得，代入面積的最大值為可求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線BC方程為，，，直線方程代入橢圓方程后由韋達(dá)定理得，由直線方程求得的縱坐標(biāo)，從而計(jì)算并代入可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】由題意，設(shè)橢圓半焦距為c，則，即，得．設(shè)，，由，所以的最大值為，將代入，有，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)B為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則直線BC不與x軸重合，設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，直線BA的方程為，令得點(diǎn)M縱坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)N縱坐標(biāo)．則，，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與橢圓相交問(wèn)題，經(jīng)常設(shè)出直線方程，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），再利用交點(diǎn)坐標(biāo)表示出題中要求的量，代入韋達(dá)定理的結(jié)果化簡(jiǎn)即可得結(jié)論．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若實(shí)數(shù)滿足，證明：．【答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)可得，令，再對(duì)求導(dǎo)，求出的單調(diào)性以及正負(fù)，即可求出的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將題目轉(zhuǎn)化為，令，有，要證，即證，即，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，探討的單調(diào)性和最值，即可證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，令，故恒成立，故函?shù)在R上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】由得，令，有，由（1）可得在在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故a，b一正一負(fù)．不妨設(shè)，要證，即證，即證，即，設(shè)，留意到，則，令，則，當(dāng)時(shí)，明顯恒成立，所以上單調(diào)遞增，則，又在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，因?yàn)?，所以，即得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．留意分類(lèi)探討與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要留意分類(lèi)探討和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.很多問(wèn)題，假如運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．請(qǐng)考生用2B鉛筆將答題卡上所做題目的題號(hào)涂黑．22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線交于P、Q兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為；即曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）2【解析】【分析】（1）通過(guò)消參求得曲線的一般方程，再將一般方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)