2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.3概率5.3.3古典概型學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE25．3.3古典概型【課程標(biāo)準(zhǔn)】(1)結(jié)合詳細(xì)實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)潔隨機(jī)事務(wù)的概率．(2)通過(guò)實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，駕馭隨機(jī)事務(wù)概率的運(yùn)算法則．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一古典概型一般地，假如隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的(簡(jiǎn)稱為有限性)，而且可以認(rèn)為每個(gè)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事務(wù)(即基本領(lǐng)件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡(jiǎn)稱為等可能性)，則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱為古典概型．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二古典概型的計(jì)算公式試驗(yàn)的樣本空間包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事務(wù)C包含有m個(gè)樣本點(diǎn)，則事務(wù)C發(fā)生的概率為：P(C)＝________．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三古典概型中概率的性質(zhì)假設(shè)古典概型對(duì)應(yīng)的樣本空間含n個(gè)樣本點(diǎn)，事務(wù)A包含m個(gè)樣本點(diǎn)，則：(1)由0≤m≤n與P(A)＝mn可知0≤P(A)≤(2)因?yàn)锳中包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n－m，所以P(A)＝n?mn＝1－mn＝1－P(A)，即P(A)＋P((3)若事務(wù)B包含有k個(gè)樣本點(diǎn)，而且A與B互斥，則簡(jiǎn)潔知道A＋B包含m＋k個(gè)樣本點(diǎn)，從而P(A＋B)＝m+kn＝mn＋kn＝P(A)＋P狀元隨筆(1)由古典概型的定義可得古典概型滿意基本領(lǐng)件的有限性和等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事務(wù)的概率就可以不用通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．(2)在古典概型中，每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都相等，稱這些基本領(lǐng)件為等可能基本領(lǐng)件．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列問(wèn)題中是古典概型的是()A．種下一粒楊樹(shù)種子，求其能長(zhǎng)成大樹(shù)的概率B．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地不勻稱的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C．在區(qū)間[1，4]上任取一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5的概率D．同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率2．若書架上放有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書分別是5本、3本、2本，則隨機(jī)抽出一本是物理書的概率為()A．15 B．C．35 D．3．同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地勻稱的硬幣，則“兩枚硬幣均為正面對(duì)上”的概率是()A．14 B．C．23 D．4．將一顆骰子先后拋擲兩次，視察它們落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，一共有______________個(gè)樣本點(diǎn)．課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1對(duì)古典概型的推斷[經(jīng)典例題]例1(1)向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，假如該點(diǎn)落在圓內(nèi)隨意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？(2)如圖所示，射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中).你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？方法歸納推斷一個(gè)試驗(yàn)是古典概型的依據(jù)推斷隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性，二者缺一不行．跟蹤訓(xùn)練1下列試驗(yàn)是古典概型的為_(kāi)_______．依據(jù)古典概型的定義推斷．①?gòu)?名同學(xué)中選出4人參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小；②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．題型2簡(jiǎn)潔古典概型概率的計(jì)算例2(1)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選擇進(jìn)行競(jìng)賽(規(guī)則：每匹馬只能參與一局競(jìng)賽，三局兩勝)，則齊王獲勝的概率為()A．12B．56C．2狀元隨筆首先分析總的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，再分析滿意題意的事務(wù)的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，最終依據(jù)古典概型求出概率即可．(2)將兩顆骰子各投擲一次，則點(diǎn)數(shù)之和是8的概率為_(kāi)_______，點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為_(kāi)_______．方法歸納求古典概型概率的步驟(1)推斷是否為古典概型；(2)求樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n；(3)算出事務(wù)A中包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m；(4)算出事務(wù)A的概率，即P(A)＝mn跟蹤訓(xùn)練2將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是________．題型3有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率例3(1)從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產(chǎn)品中，按先后依次隨意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率是()A．34 B．23 C．12(2)從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A．14 B．38 C．12方法歸納在求解概率問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到這樣的狀況，即從一堆小球中抽取幾個(gè)小球，依據(jù)小球的顏色求解概率．解決此類問(wèn)題時(shí)，首先要分清抽取的方式，即“有放回”與“無(wú)放回”．“有放回”是指抽取物體時(shí)，每一次抽取之后，都將被抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時(shí)，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無(wú)放回”是指抽取物體時(shí)，在每一次抽取后，被抽取的物體放到一邊，并不放回到原處，這樣，前后兩次抽取時(shí)，后一次被抽取的物體的總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少1.這兩種狀況下基本領(lǐng)件總數(shù)是不同的．跟蹤訓(xùn)練3(1)從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩數(shù)，則所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率是()A．110B．15C．2(2)甲盒中有一個(gè)紅球，兩個(gè)白球，這三個(gè)球除了顏色外完全相同，有放回地連續(xù)抽取兩次，每次從中隨意抽取一個(gè)，取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球的概率為()A．19B．13C．2題型4概率基本性質(zhì)的應(yīng)用[經(jīng)典例題]例4為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料．若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？狀元隨筆“中獎(jiǎng)”包括第一罐中獎(jiǎng)但其次罐不中獎(jiǎng)、第一罐不中獎(jiǎng)但其次罐中獎(jiǎng)、兩罐都中獎(jiǎng)三種狀況．假如設(shè)A＝“中獎(jiǎng)”，A1＝“第一罐中獎(jiǎng)”，A2＝“其次罐中獎(jiǎng)”，那么就可以通過(guò)事務(wù)的運(yùn)算構(gòu)建相應(yīng)事務(wù)，并利用概率的性質(zhì)解決問(wèn)題．方法歸納(1)對(duì)于一個(gè)較困難的事務(wù)，一般將其分解為幾個(gè)簡(jiǎn)潔的事務(wù)．當(dāng)這些事務(wù)彼此互斥時(shí)，即可用概率加法公式．(2)運(yùn)用事務(wù)的概率加法公式解題的步驟：①確定題中哪些事務(wù)彼此互斥；②將待求事務(wù)拆分為幾個(gè)互斥事務(wù)之和；③先求各互斥事務(wù)分別發(fā)生的概率，再求和．跟蹤訓(xùn)練4在某超市的一個(gè)收銀臺(tái)等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下表所示：等候人數(shù)01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人數(shù)不超過(guò)2的概率；(2)等候人數(shù)大于等于3的概率．狀元隨筆等候人數(shù)不超過(guò)2包括等候人數(shù)為0或1或2三種狀況；等候人數(shù)大于等于3包括等候人數(shù)為3，4和大于等于5三種狀況．5．3.3古典概型新知初探·自主學(xué)習(xí)m[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：A，B兩項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的發(fā)生不是等可能的；C項(xiàng)中樣本點(diǎn)的總數(shù)是無(wú)限的；D項(xiàng)中每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的，且樣本點(diǎn)總數(shù)有限．答案：D2．解析：樣本點(diǎn)總數(shù)為10，“抽出一本是物理書”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以其概率為310答案：B3．解析：同時(shí)擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，基本領(lǐng)件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4種，出現(xiàn)兩枚正面朝上包含的基本領(lǐng)件只有1種：(正，正)，則兩枚硬幣均為正面對(duì)上的概率P＝14答案：A4．解析：兩次擲出的點(diǎn)數(shù)列表如下：1234561(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)易知共有36個(gè)樣本點(diǎn)．答案：36課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果是圓面內(nèi)的全部點(diǎn)．試驗(yàn)的全部可能結(jié)果數(shù)是無(wú)限的．因此，盡管每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，這個(gè)試驗(yàn)也不是古典概型．(2)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有11個(gè)，但是命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中)的出現(xiàn)不是等可能的，這個(gè)試驗(yàn)也不是古典概型．跟蹤訓(xùn)練1解析：①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn)．③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?，降雨受多方面因素影響．答案：①②④?【解析】(1)設(shè)齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別記為a1，a2，a3，田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別記為b1，b2，b3，齊王與田忌賽馬，其狀況有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌獲勝；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齊王獲勝；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齊王獲勝，共6種，其中齊王獲勝的有5種，所以齊王獲勝的概率為56(2)將兩顆骰子各投擲一次，一共有6×6＝36種狀況．其中點(diǎn)數(shù)之和為8的事務(wù)有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5種狀況．故概率為536其中點(diǎn)數(shù)之和不小于10的狀況有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6種狀況，故概率為636＝1【答案】(1)B(2)5跟蹤訓(xùn)練2解析：總事務(wù)數(shù)為6×6＝36，滿意條件的事務(wù)有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4種，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率為436＝1答案：1例3【解析】(1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件有：(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)(括號(hào)左邊表示第一次取出的產(chǎn)品，括號(hào)右邊表示其次次取出的產(chǎn)品)，共6種；滿意要求的的基本領(lǐng)件有：(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，共4種，所以目標(biāo)事務(wù)的概率為：P＝46＝2(2)從寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為4×4＝16，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的基本領(lǐng)件為(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共6個(gè)，因此抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為616＝3【答案】(1)B(2)B跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)從1，2，3，4，5中抽取兩個(gè)數(shù)基本領(lǐng)件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10種，所取的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的有(2，4)，共1種，所以所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率為P＝110(2)由題意可知，設(shè)抽到紅球?yàn)槭聞?wù)A，抽到兩個(gè)白球分別為事務(wù)B1，B2，則基本領(lǐng)件共有AA，AB1，AB2，B1A，B1B1，B1B2，B2A，B2B1，B2B2共9個(gè)，則取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球由8個(gè)基本領(lǐng)件，所以由古典概型可知：P＝89答案：(1)A(2)D例4【解析】設(shè)事務(wù)A＝“中獎(jiǎng)”，事務(wù)A1＝“第一罐中獎(jiǎng)”，事務(wù)A2＝“其次罐中獎(jiǎng)”，那么事務(wù)A1A2＝“兩罐都中獎(jiǎng)”，A1A2＝“第一罐中獎(jiǎng)，其次罐不中獎(jiǎng)”，A1A2＝“第一罐不中獎(jiǎng)，其次罐中獎(jiǎng)”，且A＝A1A2∪A因?yàn)锳1A2，A1A2，A1A2兩兩互斥，所以依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式，可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＋P我們借助樹(shù)狀圖(如圖)來(lái)求相應(yīng)事務(wù)的樣本點(diǎn)數(shù)．可以得到，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n(Ω)＝6×5＝30，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的．因?yàn)閚(A1A2)＝2，n(A1A2)＝8，n(A1A2)＝8，所以P(A)＝230+8上述解法須要分若干種狀況計(jì)算概率．留意到事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”，由于A1A2＝“兩罐都不中獎(jiǎng)”，而n(A1A2)＝4×3＝12，所以P(因此P(A)＝