空間向量基本定理　課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.2空間向量基本定理共線向量定理:共面向量定理:復(fù)習(xí)引入平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo復(fù)習(xí)引入

下面我們先從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論。情境導(dǎo)學(xué)

情境導(dǎo)學(xué)

學(xué)習(xí)新知PO圖1.2-1Q

問題探究

類似平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理.都叫做基向量注:

如果三個向量不共面,那么對空間任一向量,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使（1）空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.特別提示：對于基底{

},除了應(yīng)知道不共面，還應(yīng)明確：（3）由于可視為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,所以三個向量不共面,就隱含著它們都不是.（2）一個基底是指一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)連的不同概念.學(xué)習(xí)新知

(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.(

)√

做一做×

√

√

2.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有(

)A.1個 B.2個

C.3個 D.4個C

做一做做一做空間向量的正交分解xyz學(xué)習(xí)新知

QPO典型講評例1如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且用向量表示.例2如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分別為D1C1,C1B1的中點,求證MN⊥AC1.典型講評典型講評例3如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,E,F,G分別為C'D',A'D',D'D的中點.(1)求證：EF//AC;(2)求CE與AG所成角的余弦值.所以EF//AC.1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(

)C

解析:只有選項C中的三個向量是不共面的,可以作為一個基底.A

達(dá)標(biāo)練習(xí)3.下列說法正確的是(

)A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底B.空間的基底有且僅有一個C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應(yīng)相等C

解析:A項中應(yīng)是不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基底;B項,空間基底有無數(shù)個;D項中因為基底不唯一,所以D錯.故選C.達(dá)標(biāo)練習(xí)4.已知空間四邊形求證：。證明：∵達(dá)標(biāo)練習(xí)達(dá)標(biāo)練習(xí)6、已知向量{a,b,c}是空間的一個基底．求證:向量a+b,a-b,c能構(gòu)成空間的一個基底.達(dá)標(biāo)練習(xí)應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.第一根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角).課堂小結(jié)5.若{a,b,c}是空間的一個基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個基底.解:假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個基底,∴a,b,c不共面.即不存在實數(shù)λ,